2024年高考数学二轮复习高频考点5-2 空间向量在空间几何体中的应用（8种题型）解析版

专题验收评价

专题5-2空间向量在空间几何体中的应用

内容概览

A­常考题不丢分

一.空间中的点的坐标（共1小题）

二,共线向量与共面向量（共1小题）

三.空间向量的数量积运算（共1小题）

四,向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）

五,平面的法向量（共1小题）

六.直线与平面所成的角（共12小题）

七,二面角的平面角及求法（共12小题）

A.点、线、面间的距离计算（共6小题）

B•拓展培优拿高分（压轴题）（6题）

C•挑战真题争满分（7题）

A•常考题不丢分、

一,空间中的点的坐标（共1小题）

1.（2023•黄浦区模拟）在空间直角坐标系O-g，z中，点A（2,-1,3）关于平面）Oz对称的点的坐标是

（-2JT-3）_・

【分析】根据点关于平面对称的点坐标的特点可直接得到结果.

【解答】解：•.,点3，〃，c）关于平面yOz对称的点为（-。，b,c）,

.4（2,-1,3）关于平面yOz对称的点的坐标为（-2,-1,3）.

故答案为：（一2,-1,3）.

【点评】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题.

二,共线向量与共面向量（共1小题）

o91

2.(2023•浦东新区三模)空间向量4=(2,2,-1)的单位向量的坐标是.

-333―

【分析】得出|〃|=3,从而得出〃的单位向量坐标为：-=-(2,2-1),然后进行向量坐标的数乘运算即

1。13

可.

【辞答】解：|d|=j4+4+l=3,

二a的单位向量的坐标为：—=-(2,2,-1)=.

\a\3333

故答案为:

333

【点评】本题考杳了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，

考查了计算能力，属于基础题.

三,空间向量的数量积运算(共1小题)

3.(2023•徐汇区三模)在棱长为2的正方体4BCO-A用中，点。在正方体的12条棱上(包括顶点)

运动，则ACBP的取值范围是-一

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出AC/P的表达式，再求出的取值范围.

【蟀答】解：以。为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

则A(2,0,0),C(0,2,0),8(2,2,0),

AC=(-2,2,0),。在正方体的12条棱上运动，

设气九，)，，z),贝i]8〃=(x-2,y-2,z),

..AC-BP=4-2x+2y-4=2y-2xt

c，.\-4^iy-2x4,

[0领卜2'

当x=2,)，=0时，AC8P取最小值

当x=0,)，=2时，A。取最大值4,

二.AC8P的取值范围是[-4,4].

故答案为：[T,4].

【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，考查正方体的结构特征、向量数量积公式笔基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

四,向量的数量积判断向量的共线与垂直(共1小题)

4.(2023•松江区二模)己知空间向量6=。,2,3),1=(2,-2,0),c=(1,1,4),若。_L(2a+b),则

【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解.

【解答］解:d=(l,2,3),ZJ=(2,-2,0),

则2d+b=(2,4,6)+(2,-2,0)=(4,2,6),

c=(1,1,A),c±(2a+b),

则4+2+64=0,解得2=—1.

故答案为；-1.

【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题.

五.平面的法向量(共1小题)

5.(2023•静安区二模)若直线/的方向向量为a,平面a的法向量为〃，则能使〃/a的是()

A.a=(l,0,0),n=(-2,0,0)B.〃=(1,3,5)»/?=(1>0,1)

C.。=(1,-1,3),〃=(0,3,1)D.a=(0,2,1),〃=(一1,0,-1)

【分析】由〃/。，得a-〃=0,由此能求出结果.

【辞答】解：.•直线，的方向向量为〃，平面a的法向量为〃，

l〃a,

«♦〃=()，

在A中，。=(1,0,0),〃=(-2,0,0),无方二一2。0,故A错误；

在3中，a=(\,3,5),”=(1,0,1),小〃=6=0,故8错误；

在C中，a=(\,1,3),n=(0,3,1),an=O,故C正确；

在。中，4=(0,2,1),〃=(-2,1,0),G•6=230,故O错误.

故选：C.

【点评】本题考查线面平行的条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意线面平行的性质的合理运

用.

六.直线与平面所成的角(共12小题)

6.(2023•静安区二模)如图，止方体/WCO-A4G。中，石为的中点，尸为止方形8。。的的中心，

则直线即与侧面四c。所成角的正切值是_显_.

O

【分析】由直线与平面所成角的作法可得NEF8为直线"'与侧面BB&C所成的角，然后求解即可.

【释答】解：连接3G，

用上平面BBCC，

则/EFB为直线EF与侧面BB©C所成的角，

设|AB|=2,

贝|J|8K|=1,|Hb|=x/2,

则ta“加侬=；="

I杯|夜2

则直线EF与侧面BBCC所成角的正切值是立.

/o

故答案为：*.

2

【点评】本题考查了直线与平面所成角的作法，重点考查了直线与平面所成角的求法，属基础题.

7.(2023•黄浦区校级模拟)如图，在四棱锥中，底面A46为菱形，E,产分别为以，BC

的中点.

(I)证明：以7//平面PCD.

(2)若PDL平面力38,ZADC=120°,且尸D=2AD=4,求直线AF与平面DEF所成角的正弦值.

【分析】⑴取加的中点G,连接CG,EG,则由三角形中位线定理可得EG〃SEG44。，再结合

底面四边形为菱形，可得四边形EGCF为平行四边形，从而得M//CG.然后由线面平行的判定定理可证

得结论，

(2)由已知可得OF,DA,。尸两两垂直，所以以。为坐标原点建立如图所示的空间直•角坐标系。-孙z,

然后利用空间向最求解即可.

【释答】(1)证明：取的中点G,连接CG,EG,

因为K,F分别为RA,BC的中点，

所以EGHAD.EG=-AD,

2

又底面A4CO为菱形，所以CF//4ZC/=，A。，

2

所以EG//CF,EG=CF,

所以四边形EGCF为平行四边形，

所以EF//CG.

又CGu平面PCD,所C平面PCD,

所以历//平面PCD.

(2)解：连接以)，

因为PO_L平面A4C£>,DF,ZMu平面A5CO,

所以PD上DF,PD.LDA,

囚为四边形A6C£>为菱形，z?WC=120°,

所以MCD为等边三角形，

因为尸为AC的中点，

所以短

因为4C//D4,

所以OF_LDA,

所以。尸，DA,0P两两垂直，

所以以。为坐标原点建立如图所系的空间直角坐标系。-.02,

因为AD==2,所以。(0,0,0),F(区0.0),4(0,2,0),E(0J,2),

则DE=(0,1,2),DF=(6,0,0),A2=(A-2.0),

设平面DEF的法向量6=(Xy,z),

则J，令z=l,得〃?=(0,—2,1),

m-DF==0

设直线AF与平面DEF所成的角为0,

则sin0Hcos〈访,AF)|=受竺1二尸=生匡，

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为生昼.

35

【点评】本题考查了线面平行的证明以及直线与平面所成的角的求解•，属于中档题.

8.(2023•宝山区校级模拟)已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O,底面半径为2.

(I)若圆锥的侧面积为84，求圆锥的体积；

(2)设P0=4,点A、8在底面圆周上，且满足N/UM=90。，M是线段A8的中点，如图.求直线PM

与平面/VM所成的角的大小.

【分析】(1)求出圆锥的母线长利高，再计算圆锥的体枳.

(2)取的中点N,连接MN、PN,证明MNJL平面POB,ZM/W是直线与平面PO8所成的角.由

此求出直线PM与平面所成角的大小.

【解答】解：(1)因为圆锥的底面半径为2,侧面积为万*2/=8用，所以圆锥母线长为/=4,

所以圆锥的高为h=742-22=，

圆徘的体积为V」乃x22x2x/5=M乃；

33

(2)取08的中点N,连接PN和MN,如图所示：

因为PO=4,PO_L平面AO8,MNu平面AQ3,所以PO工MN,

又因为NAO8=90。，所以AO08,

又因为M是线段4?的中点，N是OB的中点，所以MN//AO,所以MNtOB,

又因为尸。「|03=0,所以MN_平面208,

所以NA/QV是直线PM与平面0。4所成的角，

MN11

RtAMPN中，tanZMPN=—=.=-=,

PNx/17

【点评】本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，也考查了线面垂直的判定与性质、线面角计算问题，

是中档题.

9.（2023•虹口区校级三模）已知圆锥的顶点为S,底面圆心为O,半径为2,母线SA、5311勺长为2&,

403=90。且M为线段AB的中点.

（I）证明：平面SOM_L平面S/记；

（2）求直线SM与平面SOA所成角的大小.

A

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，再由面面垂直判定定理证明即可.

（2）由线面角定义求线面角正切，再求线面角的大小.

【解答】解：（1）证明：AO=3O,M为AB中点，

SO_L平面AO3,A8u平面408,

.\SO±AB,且0加「5°=0，OMU平面SQM,SOu平面SOW,

.•.A8_L平面SOM,

•.•AAu平面SIB,平面SW_L平面SOA7.

（2）设49的中点为N,连接MV,SN,则MN//OB,

OA1OR,s.OALMN,

SO_L底面AQB,;.SO工MN,SOu平面SOA,O4u平面SOA,OA(}OS=O,

.•.M/V_L平面SOA,

/.ZMSW就是直线SM与平面SOA所成角,

，•圆锥的底面半径为2,母线长为2夜，.•.高50=2,

解得SN=X/5,MN=l,

MNX/5

\SN工MN,：.tanZMSN=—=—,

SN5

直线SM与平面SOA所成角的大小为arctan.

【点评】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直判定定理、线面角定义等基础知识，考杳运算求解能力，

是本档题.

10.（2023•闵行区校级二模）已知正方体A8CO-ASCA,点七为A0中点，直线交平面CDE于点

F.

（1）证明：点尸为与G的中点；

（2）若点M为棱A用上一点,且直线与平面CDE所成角的正弦值为述，求△竺的值.

25A4

【分析】（1）由CD//GR可得CD//平面A笈GA，再利用线面平行的性质定理可得8//比，从而证得

尸为BG的中点;

（2）以O为坐标原点，DA,DC,。"方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正

方体的棱长为3,设剂■=〃（）领巾I）,求出相应点的坐标，进而求出相应向量的坐标，再利用线面夹角的

向量公式求解即可.

【解答】证明：（1）在正方体—中，CDHCR,

又co仁平面且c;〃U平面44G〃，

则CO//平面AgGA，而8c交平面CDE于点r,即/e平面CDE,FwB£,

又4Gu平面A8CQ，有be平面A与因此平面CQEC平面

于是.CD//EF,

乂因为E为AR中点，

所以尸为用G的中点；

（2）以。为坐标原点，分别以OA,DC,。。为x,），，z轴的止方向，建立空间直角坐标系，如图所

示:

不妨设正方体的棱长为3,设4丝而此1),

则M(3,32,3),C(0,3,0),E(-,0,3)/(。,3,3),

22

从而=(334-3,0),CO=(0,3,0),石。=(3,0,3),

22

设平面CDE的一个法向量为〃=(X,y,z),则〃.°。=°

〃£7)=0

JV—0

即心，取x=2,解得一一，所以〃=（2,0,-1）,

-x+3z=0z=-l

[2

又因为直线M户与平面6月所成角的正弦值为竺，

所以I"皆〃|=3=处，解得％=1，

也用向旧）2+（3"3）2•1253

所以包2.

A43

【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题.

11.（2023•浦东新区校级三模）如图，直角三角形A3C和等边一:角形所在平面互相垂直，AB=AC=2,

E是线段4）上一点.

（I）设七为4）的中点，求证：BE工CD；

（II）若直线CO和平面4CE所成角的正弦值为巫，求空的值.

10AD

【分析】（I）由题意得A3_LAC,利用面面垂直的性质可得AC_L3£,AD上BE,利用线面匪直定理可

得应1_L平面AC。，即可证明结论；

Ap

（II）设——=4,2e[0,I],取AB的中点O,8c的中点尸，连接OD,OF,则OD_LA8,OFHA

AD

由（/）得AC_L平面AH）,则OF_L平面建立空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案.

【辞答】解：（/）证明：由题意得A3_LAC,

・平面八AC_L平面4?/）,平面48CC平面

.•.AC_L平面

•跖u平面A4D,

:.AC±BEt

MB。为等边三角形，石是M的中点，

；.AD上BE,

AC「|AD=A,

平面AC。，

..BE1CD；

4/7

（〃）设竺=2,2e[0,1],

AD

取A3的中点O,3c的中点小，连接8,OF,

则OD_LA8,OFIIAC,

由（/）得AC_L平面4?。，/.O/_L平面Afi。，

:.OFIAB,OFIOD,

x

建立空间直角坐标系O—Ayz,则4一1,0,0),8(1,0,0),C(-l,2,0),0(0,0,73),

^4=(-2,0,0),40=(1,0,75),BC=(-2,2,0),CO=(1,-2,G),

BE=BA+AE=BA+AAD=(A-2A^)，

设平面BC£■的法向量为〃=*,y,z),

1〃BC=0[-2x+2v=0.「r-

则，，即1l，取x=x/32，则y=V32»z=2—2,

n-BE=0,[(/i-2)x+v32z=0-

二.平面BCE的法向量为〃=(G/l,x/32,2-2),

「直线6和平面BCE所成角的正弦值为巫，

10

cos<CD,〃>|=e〃l=L产(1-孙------：=巫，整理.得8万一264+11=0,解得a=,或

\CD\-\n\2近年2+3万+(2-/1)2102

4

v2e[0,1],

1AE1

/.2n=一,即HI1---=一•

2AD2

【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，

属于中档题.

12.(2023•普陀区校级三模)如图，在四棱锥C-瓦)中，正方形人的Z)的边长为2,平面/W££)l.平面

A8C,且3C_LAC,AC=G，点G,尸分别是线段EC,加>的中点.

(I)求证：宜线G/，〃平面A4C；

(2)求直线Gr与平面比应所成角的大小.

【分析】(1)连接AE可得G"为4c的中位线，再利用线面平行的判定定理即可■得出证明；

(2)利用四棱锥C-A4EO的结构特征以及线面垂直的判定定理，建立空间直.角坐标系，利用空间向量和

线切角的位置关系，求得直线GF与平面应里所成的舛.

【解答】解：(1)根据题意，连接AE,则AE交加>与产，

在A4CE中，〃为AE的中点，又点G是线段EC的中点，所以G///AC,

又G/©平面ABC,ACu平面ABC，所以直线G尸//平面ABC；

(2)由平面平面/WC,且平面平面A4C=A4,

又四边形4次迫是正方形，所以跖_LA〃，

乂8Eu平面ABED，所以8七_1_平面ABC；

过点4作直线)，平行于AC,又8C_LAC，

以4为坐标原点，分别以直线4C,直.线y,直线4E为x,)，，z轴建立空间直角坐标系,如图所不:

由正方形ABED的边长为2,BCA-AC,AC=G，可得AC=1；

所以8(0,0,0),C(1,0,0),E(0,0,2),01,G，2)：

BE=(0,0,2),ED=(\,50)；

又点G,/分别是线段EC,应)的中点，所以G(‘，0,1),F(-f—,1)；

222

即G尸=((),—,0)；

2

设平面C/花的一个法向量为〃=(x,)，，z)：

所以〃.8E=2z=)，可得z=0,令x=8,解得y=T；

n-ED=x+3y=0

即〃=(6，-1,0),

设直线Gb与平面CDE所成的角为。，0e(0,-],

2

则sin8=|cos<〃，GF〉|=1〃―=-----=—»解得夕=巳；

HG门邑g26

2

所以直线G尸与平面世汨所成的角为三.

【点评】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了直线与平面所成角的订算问题，是中档题.

13.(2023•闵行区校级一模)如图，在四棱锥『-/WCZ)中，底面/WCZ)为正方形，/M_L平面47CZ),M.

N分别为棱PD,AC的中点，%=A5=2.

(I)求证：MN//平面PAB；

(II)求直线MN与平面PC。所成角的正弦值.

【分析】(I)取以的中点石，连接成、EM,证明四边形是平行四边形.然后证明MV//平面

PAB.

(〃)如图建立空间直角坐标系.求出平面夕。的法向量，求出MN-(2,0,-l).利用空间向量的数量积求

解即可.

【解答】解：(I)证明：在四棱锥。-43CD中，

取的中点石，连接EB、EM,

因为例是尸Q的中点，

所以EW//AD,且EM=4A。.

2

又因为底面八ACO是正方形，N是AC的中点，

所以BN//AD,且=

2

〃

所以EM=BN.

所以四边形MNBE是平行四边形.

所以MN//EB.

由于EBu平面八钻，MNU平面八钻，

所以MN//平面%B.

(〃)因为底面A8CD是正方形，所以AB_LAD.

又因为Q4_L平面/WC7).

所以以点A为坐标原点，AB.AD.AP分别为八)，、z轴,

如图建立空间直角坐标系.4(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),N(2,

1,0).PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),

设平面PCD的法向最为m=(x,y,z).

有：卜小叫尸t=。,令尸］,则z

，nCD=0、"二°，

所以加=(0』/).MN=(2,0,-1).

设直线MN与平面PCD所成角为6.

有：sincos<MA.,|==|0x2+lxQ-Mx(-l)|=VlO

\MN\-\m\V5X>/210

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题.

14.（2023•松江区模拟）如图，人“是圆柱底面圆的一条直径，AA=2,以是圆柱的母线，PA=3,点C

是圆柱底面圆周上的点，ZABC=30°.

（I）求证：3cl.平面公C；

（2）若点E在丛上且E4=」A4,求庇与平面A4C所成角的大小.

【分析】（1）依据线面垂直判定定理证明8C_L平面以C；

（2＞证明线面垂直，作出辅助线，找到班:与平面孙。所成角，求出各边长，求出所成角的大小.

【解答】解：（1）证明：因为以_L底面ABC,4Cu平面ABC,所以以_L3C,

因为/W为直径，所以ACJL〃C,

因为PA04C=A,PA,ACu平面E4C,所以BCd.平面E4c.

(2)由(1)知，N4£C为跳:与平面Q4C所成角，

因为以=3,ZA4C=30。，EA=-PA,

3

所以AE=1,AC=-AB=\,BC=—AB=>/3,

22

由勾股定理得：EC=VE42+AC2=X/2,EB=y/CE2+CB2=>;5,

所以3/诋*=生=9=巫，

EC422

所以BE与平面PAC所成角为arctan"，

2

或sin/8EC=g^='^»所以BE与平面PAC所成角为arcsinW^,

EB55

或cos/BEJ区=叵,所以的与平面以。所成角为arccos亚，

EB55

所以8E与平面PAC所成角的大小为arcsin—或arccos—或arctan

C一

【点评】本题主要考行直线与平面垂直得证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档

15.（2023•涌东新区模拟）己知四棱锥。-45CZ）的底面A8CD为矩形，%_!_底面48cD,且

PA=AD=2AB=2,设E,F,G,分别为PC,BC,CZ）的中点，”为EG的中点，如图.

（I）求证：FH//平面PBD；

（2）求直线F4与平面PAC所成角的正弦值.

z

【分析】(l)连接C〃，延长交于点K,连接AK,根据七、F、G分别为PC、BC、6的中点，

易得FH//I3K,再利用线面平行的判定定理证明；

(2)建立空间直角坐标，求得FH的坐标，平面PBC一个法向量〃-(x,y,z),代入公式

」"©」少见

sin"求解.

\FH\-\n\\FH\-\n\

【解答】(I)证明：因E,F,G分别为尸C,BC,8的中点，椒EFHPB,EGI/PD,

从而EF//平面PBD,EG//平面出比＞,

又EF,EGu平面厅G,且石/r)EG=E,故平面EFG〃平面28。,

由切u平面“G,得FH〃平面PBD；

(2)解：以A为原点，直线AB,AD,AP分别为工，y,z轴，建立空间直角坐标系，如可所示:

则由已知条件，得相关点的坐标为4(0,0,0),4(1,0,0),C(l,2,0),0(0,2,0),

P(0,0,2),E(l,lJ),F(l,L0),G(；,2,0),,

于是F/7P^=(l,0-2),BC=(0,2,0),

222

设而PBC的一个法向量为n=(x,y,z),

n~PB=x-2z=0华/日

则,取z=l,得”=(2,0,1),

小4c=2y=0

\FH-n\

设"7与平面P8C所成的角为6,贝Ijsin8=2

15

WFH与平面PBC所成角的止弦值为巫

15

【点评】本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题.

16.(2023♦闵行区校级三模)如图，线段A/\是圆柱。Q的母线，6c是圆柱下底面的直径.

(I)若。是弦45的中点，且AEngAA,,求证：OE"平面A.BC；

⑵若3C=2,ZABC=30°,直线AC与平面ABC所成的角为?，求异面直线40与所成角的大小.

【分析】(i)利用线面平行的判定定理进行证明即可.

(2)根据线面角和异面直线所成角的定义进行计算即可.

【蚱答】证明：(1)若。是弦池的中点，且AE=—A4,,

.•.E是线段A4,的中点，

故在中，DE为△44,8的中位线，则DE//AB,

又A8u面ABC,且直线OE仁面A8C,

则OE//平面ABC.

解：(2)取线段AC的中点尸，连接吊尸，OF,在A48C中，线段O尸是的中位线,

故OFrAB,则幺。尸即为异面直线A6与A,。所成的角，

由题意知，AC=\,AF=-,AB=6,OF=-AI3=—

222

•・・/ACA=q,故AA=G，

故=2,故cos/AO尸=乎，

则异面直线A0与45所成角的大小为arccos^.

4

A|

E

A

【点评】本题主要考查空间线面平行的判定以及异面直线所成角的求解，根据线面线面平行的判定定理以

及空间角的求法进行求解是解决本题的关键，是中档题.

17.（2023•浦东新区三模）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1,

圆锥的高PO=2,三棱锥P-ABC的底面ABC是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且

与圆锥底面在同一个平面上.

（I）求直线PC和平面ABC所成角的大小；

（2）求该几何体的表面积.

【分析】（1）连结CO,则POJ_平面ABC,直线PC在平面48c上的射影为直线CO,直线尸C和平面48c

所成角等于4PCO,由此能求出直线PC和平面ABC所成角的大小.

（2）所求表面积等于圆锥表面积的•半加・上APAC、垃邛B、,笈。的面积，由此能求出该几何体的表面

积.

【解答】解：（1）连结CO,

•.,凡何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆。的半径为1,

圆锥的高PO=2,三棱锥尸-W的底面ABC是以圆锥的底面圆的直径/W为斜边的等腰直角三角形,

且与圆锥底面在同一个平面上，

.•.POJ•平面ABC,

二直线PC在平面A8C上的射影为直线CO,

二.直线PC和平面AHC所成角等于NPCO，

•.•AAAC是以AA为直径的等腰直角三角形,二CO=-AH=\,

2

p（）

由尸0=2,知tan/PCO=~=2,

CO

直线PC和平面ABC所成角的大小为arctan2.

（2）由题意，所求表面积等于圆锥表面积的一半加上MAC、AE4B、AABC的面积，

掰他的高PO=2♦圆锥的底面半径r=OB=1»

12

二员I锥的母线长为垂＞,表面积为乃尸+^,-1=（7rxI+TTXIX芯=（亚+1）4,

在A/^4C和中，PA=PB=PC<,AC=BC=O,

.C—CP?V,

2ApeP5

3—3

/.sinZAPC=」.同理sin/BPC=」,

55

13

S.n,f.=—2AP-CP-sinZAPC=2—=S1V,W.，

而SM…品&C。"，该几何体的表面积为铝〃+4.

【点评】本题考查直线与平面所成角、几何体表面积等基础知识，考杳运算求解能力，是中档题.

七.二面角的平面角及求法（共12小题）

18.（2023•徐汇区校级模拟）如图（1）,在直角梯形4ACQ中，D为CQ的中点，四边形A8CZ）为正方形，

将AAOQ沿AD折起，使点。到达点尸，如图（2）,E为PC的中点,且DE=CE,点尸为线段尸8上的一

点.

图⑵

（2）当。尸与DE夹角最小时，求平面包厅与平面CDF所成锐二面角的余弦值.

【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，求出向量，利用向量的数量积为0,证明即可;

（2）求出cos<OF,OE>,根据题意，求出2,再求出平面尸。的一个法向量，利用向量的夹角公式，求

出即可.

【解答】解：由A4C/）为正方形，得AO_LPD,ADLCD,

E为PC的中点，DE=CE=PE,

:.^PDC=900fB|JPD±CD.

设/W=l,建立一以。为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示,

则。(0,0,0),P(0,0,I),4(1,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),F(0,-,-).

22

（I）・.•点F在线段?8上，.•.设尸尸=2尸3（瞬儿1）,

又尸8=(1,1,-1),...F?=APB=2(1,1,-1)=，

又OP=(0,0,1),DF=DP+PF=(Z,^,l-/l),

又OC=(()/,())，/.CF=DF-DC=(^A-U-A),

XDE=(0,-,-),Cr・£>E=0+土4+上必=0,

2222

:.DE1CF,即。石_LW,

B

x

（2）由（1）知。尸=（儿儿1一%）,"七=（U-」），

22

cos<DF,DE>=-----------------j==—>，

7r+r+（i-2）2.^12.24+i

Ii17

.•.当:二"!"时，85〈。匕。石〉最大，〈。尸,。石〉最小，此时=

3333

由迎知，平面尸£尸的一个法向量为AC=（-1,1,0）,

设平面3C的一个法向量〃=（x,y,z）,

xy2z

DF・n=U—+—4--

即333

DC»n=0y=0

取x=2,得z=-l,则〃=(2,0,-1),

-2Vio

COS(AC,/2>1=1

：.平面PDF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为叵.

【点评】考查向量法在证明直线的垂直，求二面角的余弦值中的应用，中档题.

19.（2023•闵行区二模）如图，在四棱锥尸-醺8中，底面ABC。为矩形，叨_1_平面ABC。，PD=AD=2,

AB=4,点石在线段AB上，且

4

（I）求证；CEL平面08Q；

（2）求二面角夕-。石-人的余弦值.

【分析】（I）利用线的垂直的判定定理，即可证明结论；

（2）由题意得尸。_L平面ABC。，DC_LA。，则建立以A为原点的空间直角坐标系。-;Q2,利用向量法,

即可得出答案.

【解答】解：（1）设切与CE相交于点尸，

PD_L平面A4CD,CEu平面A4C£）,

:.PD1CE,

,，钻=4,8E=-AB,.•.奶=1,

4

在柜形人86中，N£CB=90。，PD=AD=2,则在RtAECB中，lanZECB=-,

2

在RtAABD中，tanN4BO=-,

2

;"ECB=ZABD,

y力BC=ZADB,:./BHC=Z8AD=90°,即8D_LC£：,

乂PD工CE,PEQBD=Df且PDU平面P8。，BDu平面PBD,

•.8，平面28。：

(2)由题意得尸。_L平面ABC。，DC.LAD,则建立以A为原点的空间直角坐标系。-g，z,如图所示:

PD=AD=2,AB=4,则£)(0,0,0),C(0,4,0),A(2,0,0),P(0,0,2),E(2,3,0),

/.PC=(0,4,-2),CE=(2,-1,0),

设平面PCE的一个法向量为〃=(x,)，，z),

则卜PC=4y.2z=0,取e则j，z=4,

n-CE=2x-y=0

.•・平面PCE的一个法向量为〃=(1,2,4),

平面ACE的法向量为。尸=(0,0,2),

设二面角尸-CE-A的平面角为。，且a为锐角,

\DP\-\n\2x72121

故二面角2-Cf-A的余弦值为上包.

21

【点评】本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能

力，属于中档题.

20.(2023•浦东新区校级模拟)如图，在四棱锥夕-A4c。中，E4J_底面A3OABA.AD,AD//BC,

点E,产分别为24,PD的中点,AB=BC=2,AD=AP=4.

<1)证明；直线夕'//平面Z7JC；

(2)求二面角/一。。一4的余弦值.

【分析】(1)由E,/分别为E4,叨的中点，得AD//EF,进而可得EF//BC,由线面平行的判定定

理，即可得出答案.

(2)根据题意可得48J_3C,AC=26,CD=^AB2+(A/?-BC)2=272,由线面垂直的判定定理可得

Ar

COJ■面以C,进而可得C/)_LPC，则二面角?一CD-A得平面角为NACQ,进而可得cos/ACP=—,

PC

即可得出答案.

【解答】解：(1)证明：因为E,产分别为R4,尸。的中点，

所以AD//EF,

因为AD//BC,

所以瓦7/8C，

因为所仁面P8C,BCu面PBC,

所以EF//面PBC.

(2)因为/W_LAO,AD//BC,

所以/W_L4C,

连接AC,由A8=8C=2得AC=2夜，

因为4)=4,

所以CO=^AB2AD-BO2=20，

所以ACJLCD，

因为小，面ABC。，

所以必_LAC,PA1CD,

因为小,八C是平面小。内两相交直线，

所以8_1面小。，

因为PCu面P4C,

所以CDJ.

所以二面角2-CO-A的平面角为NACQ，

因为AP=4,

所以PC=26,

所以cosZACP=,

PC3

所以二面角P-CD-A的余弦值为走，

3

所以二面角尸-CD-8的余弦值为且.

P

【点评】本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题.

21.（2023•浦东新区二模）如图，三角形石4。与梯形A8CD所在的平面互相垂直，AE1AD,ABLAD,

BC//AD,AB=AE=BC=2,AT>=4,F、”分别为ED、E4的中点.

（I）求证：平面4%1:

（2）求平面Ab与平面所成锐二面角的余弦值.

【分析】（1）连接H/，由题意得H7//AO且结合题意可得"//3C且=即四边

2

形"小「是平行四动形，利用线面平行的判定定理，即可讦明结论：

（2）由题意得平面平面A8CD,AE_LA。，可得A£1A8,建立以4为原点的空间直角坐标系

A-R，Z,利用向量法，即可得出答案.

【解答】解•：（1）证明：连接口，如图所示：

.•.在AA瓦)中，FH//ADB.FH=LAD,

2

rBC11AD,BC=2,4)=4,

.•・四边形AH4C是平行四边形，

:.FC//BH,

又8”《平面平面AAC,叱匚平面从尸。，

.•.B"〃平面AFC；

(2)•.•三角形E4O与梯形A8CD所在的平面互相垂直，即平面EV)_L平面A8CD,AE1AD,

又平面皿)C平面ABCD=AD，AEu平面石40,

.•..4£_1平面/^。。，

又A2u平面AACO,^lAElAB,

则建立以A为原点的空间直角坐标系4-.q，z,如图所示：

AB=AE=BC=2,4)=4,则A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),F(0,2,I),

AC=(2,2,0),AF=(0,2,1),

由(1)得平面E钻的法向量为j=(0,1,0),

设平面4CF的一个法向量为〃=(x,y,z),

则＜),取y=—l,则x=l,z=2,

n•AF=2y+z=0

平面Ab的一个法向量为〃=(1,-1,2),

设平面AB与平面以3所成锐二面角为a,

,,\n-j\I限

/.cosaHeos<n,j；>=------=----=——,

l«l-ljl1X766

故平面ACF与平面RU?所成锐二面角的余弦值为".

6

【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理

能力和运算能力，属于中档题.

22.（2023•长宁区校级三模）已如AA8C和AADE所在的平面互相垂直，ADA.AE,AB=2,AC=4,

ZR4C=120°,。是线段的中点，AD=&

（I）求证：ADLBEx

（2）设AE=2,在线段4£上是否存在点尸（异于点4）,使得二面角A-8尸-。的大小为45。.

【分析】（1）由余弦定理可得故BC,从而得到即可证明_L平面屉，即可证明AO_LAE：

（2）以AD,AE分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系，设Q0,0,a）,aw（0,2],求得平

面A8E和平面C8厂的一个法向量，列式解得a即可.

【解答】解：（1）证明：在AA4C中，由余弦定理可得8c2=AC