2024年北京市朝阳区分校中考一模数学试题（解析版）

2024年北京市朝阳区陈经纶中学分校中考数学一模试卷

一、选择题（共8小题，共16分）

1.下图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（）

A.棱柱B.圆柱C.棱锥D.圆锥

【答案】C

【解析】

【分析】根据侧面展开图可知该几何体是棱锥.

【详解】解：由图可知展开图侧面是三角形，所以该儿何体是棱椎，

故选：C.

【点睛】本题考查几何体展开图的认识，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键.

2.实数小小c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

1111।11111：।1i»

•54.3.2-1012345^

A.a-c>0B.k/|<|Z?|C.bc>1D.”c>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据数轴可以发现aV0Vb<c,而|a|>|c|>|b|,可以逐一判断每个选项即可得出正确答案.

【详解】由数轴可以发现而同囱，

«+c<0,\a\>\b\tac<0

又由数轴可发现2<c<3

bc>1正确.

故选C.

【点睛】本题考查的是实数与数轴的相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键.

3.如图，菱形A8CO的顶点A,B,C的坐标分别是（0,2）,（2,1）,（4,2）,则顶点。的坐标是（）

y

-oj-------r

A.(2,2)B.(2,4)C.(3,2)D.(2,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据菱形的性质以及中点坐标公式即可求解.

【详解】设。点的坐标为(。万)，

菱形的对角线的交点也是两条对角线的中点，

•••AC的中点与的中点坐标相同，

4+20+4

2―2

・•・根据中点坐标公式有：2_2+2,

~~~T

贝ija=2,b=3,

即。点坐标为：(2,3),

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质和中点坐标公式，掌握并运用中点坐桁公式是解答本题的关键.

4.若一个多边形每一个内角都为144，，则这个多边形是()边形

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意判断这个多边形为正多边形，其每个内角度数相等，即每个外角也相等，结合多边形外

角和360°定理解题即可.

【详解】••一个多边形每一个内角都为144。，

•.•该多边形是正多边形.

.-.1800-144°=36°

.360。

.赤=10,

故选：c.

【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、正多边形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是

解题关键.

5.挑一枚质地均匀的硬币〃?次，正面向上〃次，则二的值（）

m

A.一定是gB.一定不是g

C.随着，〃的增大，越来越接近；D.随着小的增大，在3附近摆动，呈现一定的稳定

性

【答案】D

【解析】

【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可.

【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是g,而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机

事件，己是它的频率，随着加的增加，二的值会在？附近摆动，呈现出一定的稳定性.

mmz

故选：D.

【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别.解题的关键是理解随机事件是都有可

能发生的事件.

6.以下图形绕点。旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可.

【详解】解：A选项：最小旋转角度=呷-=120。；

3

B选项：最小旋转角度=3呷60"°=90°;

C选项：最小旋转角度=芋=72。：

360°

D选项：最小旋转角度=一1=60。；

综上可得：旋转的角度最小的是D.

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被

平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是3二60竺°

n

7.下列图形中，对称轴条数最少的是（）

NOD.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称及对称轴的定义，判断各选项的对称轴数量，维而可得出答案.

【详解】A.有1数条对称轴,

B.有无数条对称轴,

C.有2条对称轴,

D.有3条对称轴,

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称釉折叠后可

重合.

8.如图，在中，ZC=90°,AC=5,BC=10.动点用，N分别从4,点M从点4开始沿边AC

向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点。开始沿C8向点3以每秒2个单位长度的速度移动.设

运动时间为M、C之间的距离为y,△MCN的面积为S,则），与3S与，满足的函数关系分别是（

A.比例函数关系，一次函数关系B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，正比例函数关系D.一次函数关系，二次函数关系

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了一次函数，二次函数.熟练掌握一次函数、二次函数的定义是解题的关键.

根据题意分别求出），与/，S与/满足的函数关系式，然后判定作答即可.

【详解】解：由题意知，AM=ACN=2f,

2

・•・y=MC=5-ttS=^MCCN=^（5-l）2t=-t+5t,

・•・），是i的一次函数，S是，的二次函数，

故选：D.

二、填空题（本大题共8小题）

函数的自变量的取值范围是______.

9.y=\l\1-2x

【答案】x<-##x<0.5

2

【解析】

【分析】根据二次根式的性质利分式的意义，被开方数大于等于0,分母不等于0,列不等式求解.

【详解】解：依题意,得I—2x>0,

解得：x<?，

故答案为：x<—.

2

【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0：二次根式的被开方数是非负数.注意当单独的

二次根式在分母时，被开方数应大于。.

10.如果多项式o?+力2只能因式分解为（3工+2），）（3工一2力，则而二.

【答案】-36

【解析】

【分析】根据平方差公式可得（3丹2），）（3工-2），）=9/一4），2,从而得到〃=9/=-4,即可求解.

【详解】解：•••（3工+2），）（31—2），）二9/-4，，多项式a好+/））/只能因式分解为

（3x-f-2y）（3x-2y）,

:.a=9,b=-4,

ab=9x（-4）=—36.

故答案为：-36.

【点睛】本题主要考查了因式分解一一应用公式法.熟练堂握因式分解一一应用公式法进行求解是解决本

题的关键.

II.写出一个比&大且比质小的整数是.

【答案】2或3

【解析】

【分析】先估算出6、U的大小，然后确定范惘在其中的整数即可.

【详解】•/5/3<2，3<V10

Ax/3<2<3<V10

即比6大且比M小的整数为2或3,

故答案为：2或3

【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无埋数估算的方法是正确解答的关键.

12.如果3/7—1=0,那么代数式（2工+3）（2］一3）一工（工+1）的值为.

【答案】-8

【解析】

【分析】先根据已知条件式得到3/一工二"再把所求式子去括号并合并同类项化简得到31—戈―9,把

3/-x=l整体代入求解即可.

【详解】解：V3X2-A-1=0.

・•.3?-x=l

:.（2x+3）（2x-3）-x（x+l）

=4x2-9-x2-x

=3/-x-9

=1-9

二一8,

故答案为：-8.

【点睛】木题主要考查了整式的化简求值，正确把所求式子化简为3/-x-9是解题的关键.

13.如图，在RhABC中，Z4CB=90。，BC=2,AC=26尸是以斜边AB为直径的半圆上一动点，

M为PC的中点.连接®则8W的晟小值为

P

A

0

cB

【答案】V3-1

【解析】

【分析】取A8的中点0、AC的中点石、8c的中点尸，连接0C、OP、OM、0E、OF.EF,如

图，根据勾股定理得到AB7AC、BC2=4,根据直角三角形的性质得到OC=gAB=2,

OP=!A8=2,根据圆周角定理得到点M在以。。为直径的圆上，当点尸点在A点时，M点在E点:

点尸点在8点时，M点、在尸点,取0C的中点O,连接30交C。'于"'，则8M'的长度即为8W的最

小值，延长B0'交。。'于G,连接W根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：取A8的中点。、AC的中点E、3c的中点尸，连接。C、OP、OM、0E、OF、EF,

如图，

在REABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=2也,

AB=ylAC2+BC2=4>

/.0C=-AB=2,0P=-AB=2,

22

M为PC的中点，

:.OMA.PC.

/.ZCA/O=90°,

二•点M在以0C为直径的圆上，

当点尸点在A点时，M点在£点：点。点在8点时，M点在尸点,

取0C的中点。，连接80'交O。于AT,

则BM'的长度即为BM的最小值，

延长AO'交OO'于G.连接上”.

VZGC5+ZGA/r=180°.NGM'F+NFM'B=180。,

・••4GCB=/FM'B

•.4BM'=ZGBC,NAW'B=ZGCB,

....BFMSBGC,

BFBM'

BGBC

即_^=也，

8W+22

解得：（负值舍去）,

故4M的最小值为：73-1.

故答案为：V3-1.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，判断出点M所

在的圆是解题的关键.

14.如图，有两张矩形纸片48co和EEG”，AB=EF=2cm,BC=FG=&m.把纸片48co交叉

登放在纸片EFG”上，使重叠部分为平行四边形，且点。与点G重合.当两张纸片交叉所成的角。录小

时，tana等于___

W

【答案】百

【解析】

【分析】由“4S4”可证ACOM3AWAW,可证MZ）=£W,即可证四边形ONKM是菱形，当点A与点

E重合时，两张纸片交叉所成的角。最小，可求CM=?c〃?，即可求tana的值.

4

【详解】解：如图,

ZAIX：=/HDF=90°,

/.4CDM=ZNDH,

在ACDM和MiDN中，

/CDM=4NDH

CD=DH,

Z//=ZC=90°

：.ACDM^AHDN（ASA）,

;.MD=ND,

二•四边形ONKM是菱形，

:.KM=DM,

CD

•.sin«=sinZDWC=—,

MD

二•当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角"最小，

设MD=acm=BM,则CM=（8—a）（cm）,

\MD1=CD-+MC-，

/.=4+（8-a）2,

17

/.a=—,

4

/.CM=,C7"），

CD8

tana=tanNDMC==—.

MC15

【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求CM的长是本题

的关键.

15.在平面直角坐标系xOy中，己知点（〃一2,y）,（〃-1,）；），（〃+1,以）在抛物线

y=cu?-2av-2（a<0）±.,若0<%vl,则%，％,当的大小关系为（用表示）

【答案】）“乃<%

【解

【分析】根据二次函数的图象与性质.将三点转化到对称轴的一侧，根据二次函数的性质进行比较大小即

可.

【详解】解：・・・》=奴2-2以一2,

・••抛物线的对称轴为直线x=-二即=1,

2cl

VO</?<1»

—2v〃—1<0<1v〃+1v2,

令("+1,%)关于直线工=1对称的点坐标为(不，、3)，

则0<<1,

/1-2</?-1<0<<1,

'：a<0,

；•当X<1时，丁随x的增大而增大，

x<y2<y3•

?

故答案为：>i<y2<.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

16.如图，双骄制衣厂在厂房0的周围租了三幢楼A、4、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公

路相连，并且厂房。与每幅宿舍楼之间也有笔直公路相连，且3C>4C>A3.已知厂房0到每条公路的

距离相等.

(1)则点。为AA3C三条的交点(填写：角平分线或中线或高线)；

(2)如图设BC=。，AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,现要用汽车每天接送职工上下

班后，返回厂房停放，那么最短路线长是.

【答案】①.角平分线②.y+c+"z

【解析】

【分析】本即考杳了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个

三角形内大角对大边.

（1）利用角平分线的性质定理判断即可;

（2）首先得出。为A/WC的内心，进而得出A48OWA//。（SHS）,在AECO中，一。推出

出一4<0，同理&一&<0，4-4<0,4-4<0,4-4<0,即可得出答案.

【详解】解：（I）.点。到每条公路的距离相等，

.••点0是AA8C的角平分线的交点.

故答案：角平分线；

（2洪有6条线路：4=x+c+〃+z,4=x+%+a+y,4=y+c+%+2,4=y+a+〃+x,&=z+〃+c+y,

4=z+“+c+x,

在CB上截取CE=C4,连接。E,

在A4CO和AECO中，

CA=AE

-NACE=NECO,

co=co

:./SACO=^ECO(SAS),

OA=OE»

在AEBO中，

y-xva-。推出4-4<0,

同理4-4<0,4-《<0,4-4<0，4-4<0,

・•・&最短,

故答案为：y+c+b+z.

三、解答惠（第17・22题各5分，第23・26题各6分，第27、28题各7分.共68分）

17.计算:电

-n-2020°+|V3-2|-3tan300.

【答案】4-K-2X/3

【解析】

【分析】根据负整数指数耗，零次辕，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计完即可求解.

【详解】解：g)-7t-2020°+1>/3-21-3tan30°

=4-71—25/3.

【点睛】本题考杳了实数的混合运算，掌握负整数指数箱，零次辕，化简绝对值，特殊角的三角函数值是

解题的关键.

2（x-1）<x+2,

18.解不等式组：L+I

----<x.

2

【答案】l<x<4

【解析】

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.

2（工-1）<1+2①

【详解】解：原不等式组为1工+1

——〈X②

2

解不等式①得，x<4,

解不等式②得，x>l,

・•.原不等式组的解集为l<x<4.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大：同小取小：大小小大中间找；大大小小找

不到”的原则是解答此题的关键.

19.关于x的一元二次方程/一根（+2"7-4=0.

（1）求证：方程总有两个实数根：

（2）若方程有一个根小于1.求，〃的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）m<3

【解析】

【分析】（I）直接利用根的判别式，判断△出即可;

（2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即叽

【详解】(1)证明：*.«=!,/?=-m,c=2in-4,

:.A=b2-4ac=(一"7尸-4(2)〃-4)

=nr-8〃?+16

=(m-4)2

•・•无论m取何值时，（加一4y20,

・••此方程总有两个实数根.

（2）解：・.・△=（〃?一4尸NO,

_-b±VA_m±（m-4）

la2

X）=m-2,x2=2.

•此方程有一个根小于1,且W=221.

:.m-2<1.

:.tn<3.

【点睛】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程.解题的关键是：（1）牢记“当△"）时，方程有

两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根.

20.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

A

/\三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。，

------------

已知：如图,AABC,

求证：ZA+Z5+ZC=I80.

方法一

方法二

证明：如图，过点A作

证明：如图，过点C作CD//AB.

DE//BC.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到N8=NB4O，ZC=ZE4C,从而可求证三角形的闪

角和为180。.

方法二：由平行线的性质得：/4=4CQ,NB+26C£>=I8O。，从而可求证三角形的内角和为180。.

【详解】证明：

方法一：过点A作。石〃BC,

则NB=NK4O，ZC=ZE4C.（两直线平行，内错角相等）

,点。，A,E在同一条直线上，

AZZMZ7+ZZMC+ZC-180°.（平角的定义）

.♦.NB+NBAC+NC=180°.

即三角形的内角和为180°.

方法二：

如图，过点C作CD//AB

'：CD//AB,

AZA=ZACD,Zfi+ZBCD=180°,

N8+NAC8+NA=180。.

即三角形的内角和为180。.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关

键.

21.如图，四边形ABCO平行四边形，AC.相交于点。，E是人B中点，连接OE,过点E作

EFJ.BC干点F，过点。作OG_L8C于点G.

(1)求证：四边形EFGO是矩形：

(2)若四边形ABCD是菱形，AB=\0,BD=16,求OG长度.

【答案】(1)见详解(2)4.8

【解析】

【分析】木题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理等等，灵活运用所学知识

是解题的关键.

(1)根据平行四边形的性质可知OA=OC,进而证明OE是的中位线，得到。石〃BC,再由

EF1BC,OGIBC,得到OE_LOG,即可证明四边形七户GO是矩形：

(2)根据菱形的性质和勾股定理在R14OBC中求出OC,然后利用笔面积法求出OG即可

【小问I评解】

解：证明：四边形48co是平行四边形，

.\OA=OC,

丁点E是43的中点,

••.OE是o4BC的中位线，

：•OE〃BC,

•・•EFtBCQGLBC,

：.0E上OG，

...四边形EFGO是矩形：

【小问2详解】

解：•・•四边形ABC。是菱形，

・•.AC±BD,AB=BC,OC=-AC.OB=-BD,

22

VAB=10,BD=T6,

：.OB=8,BC=10.

在R【Z\OBC中，由勾股定理得oc=J8C2_OB2=6,

.:S.B℃=；BC・OG=¥）C・OB,

.\-xl（）xOG=-x6x8,

22

0G=4.8.

22.在平面直角坐标系xQy中，一次函数），=依+〃（攵=0）的图象由函数>=一工的图象平移得到，旦经过

点（。1）.

（1）求这个一次函数的表达式：

（2）当x<-l时，对于x的每一个值，函数y=〃M"?HO）的值小于一次函数y=依+力（攵/0）的值，

直接写出用的取值范围.

【答案】（I）y=-x+\

（2）〃？2—1且"2/0

【解析】

【分析】本题考查了一次函数图象的立移，一次函数解析式，一次函数与不等式等知识.熟练掌握一次函数

图象的平移，数形结合求解是解题的关键.

（1）由平移可知，k=-\,将（0,1）代入，求得1=从然后作答即可；

（2）数形结合求解作答即可.

【小问I详解】

解：由平移可知，k=-\,

将（0，1）代入丁=一工+力中得，l=b,

・•・一次函数表达式为y=-x+i：

【小问2详解】

由题意知1,当x<-l时，对于X的每一个值，函数丁=如（机工。）的值小于•次函数丁=履+》（％#0）的

值，小的取值范围为〃Z之一1且"7H0.

23.为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随

机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）在行收集、整理、描述和分析.卜面

给出了部分信息.

。.这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：

，第二次成绩/分

100­

95-•:

•••

••

••••

一

90••••

•••

••

•••

85-,,

80-

80859095100第一次成绩/分

b.这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表:

参与奖优秀奖卓越奖

人数

第一次竞101010

赛

平均数828795

人数21216

第二次竞

赛

平均数848793

（规定：分数290,获卓越奖：854分数＜90,获优秀奖：分数＜85,获参与奖）

c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90909191919192939394949495959698

d，两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如卜.表:

平均数中位数众数

第一次竞赛m87.588

第二次竞赛90n91

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“。”圈出代表小松同学的点：

（2）直接写出肛〃的值;

（3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）.

【答案】（1）见详解（2）m=8S,77=90

（3）第二次

【解析】

【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标为89,纵坐标

为91,即可获得答案；

（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；

（3）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可.

【小问I详解】

解：如图所示：

第二次成绩/分

loo-

95-•:

•••

••

••

%-.【小问2详解】

•••

••

•••

・

85-•••

80-

11II1j

80859095100第一次成绩/分

82x10+87x10+95x10

m=-----------------------=8o8o，

30

•・•第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为:

90,90,91,91,91,91,92,93,93,94,94,94,95,95,96,98,

其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，

n=lx（90+90）=90,

.•.〃?=88,〃=90:

【小问3详解】

第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，

故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高.

【点睛】本题主要考查了众数、平均数、中位数等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键.

24.某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，若记水柱

上某一位置与水管的水平距离为4米，与湖面的垂直高度为h米.

d（米）01234

h（米）0.51.251.51.250.5

根据上述信息，解决以下问题:

（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示人与d函数关系的图象：

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为，〃米，则〃?=:

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下

方通过.如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱

的竖直距离均不小于0.5米.已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露

出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位

小数）.

【答案】（1）见详解（2）1.5

（3）2.1米

【解析】

【分析】本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在

于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型.

（1）建立坐标系，描点.用平滑的曲线连接即可：

（2）观察图象即可得出结论：

（3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二

次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可.

【小问1详解】

解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：

1234

根据题意可知，该抛物线的对称轴为x=2,此时最高,

即m=1.5,

故答案为：1.5.

【小问3详解】

根据图象可设二次函数的解析式为：h=a（d-2尸+1.5,

将（0,0.5）代入/?=a（d-2）2+1.5,=

4

•.・抛物线的解析式为：h=~d2+d+0.5,

4

设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h=--d2+d^O.5+m,

4

37

由题意可知，当横坐标为2+—=一时，纵坐标的值大于2+0.5=25，

22

——x（一）~+—卜0.5+tnN2.5，

422

解得/nN1.6,

...水管高度至少向H周节L6米,

/.0.5+1.6=2.1（米），

•••公园应将水管露出湖面高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求.

25.如图，在矩形ABCO中，AB=6,8c=8,点A在直线/上，4。与直线/相交所得的锐角为60。.点

户在直线/上，4尸=8,E/_L直线/,垂足为点尸且£F=6,以EF为直径，在防的左侧作半圆。,

点M是半圆O上任一点.

发现：AM的最小值为.AM的最大值为，06与直线/的位置关系是

思考：矩形A8CO保持不动，半圆0沿直线/向左平移，当点E落在AO边上时，重叠部分面积为多少？

【答案】发现：V73-3;10；平行（或，）；思考：3”巫

4

【解析】

【分析】发现：如图I,连接AO、AE,作8尸_1_4产于尸，由题意知，OM=3,NZM尸=60。，当

A、M、O三点共线时，AM最小，为AO—QM：当M、E重合时，AM最大，由勾股定理求解即

可；由题意知N842=30。，则8P=，A8=3=O/，进而求解作答即可；

2

13

思考•：如图2,连接OG,作O”_LAO于”，则NA所=30°,OH=-OE=~,由OE=OG,可得

22

ZEOG=120%GE=2EH,根据&保=S画形上彼一S上的，计算求解即可.

【详解】发现：解：如图1,连接A。、AE,作4P_LAF于尸，

m\

由题意知，OM=3,Z.DAF=60°,

当AM、O三点共线时，AM最小，

由勾股定理得，AO=y）AF2+OF2=A/73>

的最小值为J万-3；

当朋、E重合时，AM最大，

由勾股定理得，AE=\IAF2+EF2=10*

•••AM的最大值为10；

•・,矩形ABCD，

••・"4。=90。，

・••""二30。，

:.I3P=-AB=3=OF,

2

又，：BP〃OF,

・•・OB//1,

故答案为；平行（或〃）；

故答案为：V73-3：10：平行（或/）；

思考：解：如图2,连接OG,作OHJ_AO于〃,

.,.ZAEF=30°,

13

：.OH=-OE=~,

22

•：OE=OG,

/.Z.EOG=120°，GE=2EH=2^JOE2-OH2=30，

.e_C_C1204312右3,96

••-D扇形右改一JEOG=———-------X=57：-----—»

360224

・••重登部分面积为3/r-逋

4

【点睛】本题考查了勾股定理，含30。的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面

积等知识.熟练掌握勾股定理，含30。的直角三角形，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质，扇形面

积是解题的关键.

26.如图，AB是：。的•条弦，E是A8的中点，过点8作：O的切线交CE的延长线于点Q.

o

(1)求证：DB=DE；

(2)若A8=12,BD=5,求。。的半径.

【答案】(1)见解析(2)”

2

【解析】

【分析】⑴由切线，可知NO30=9O。，即NQ84+N£B/)=90。，由。4=03,可得

/OAB=/OBA,由三角形内角和、对顶角相等可得NEBD=N3£D,进而结论得证：

(2)如图，连接0E,作于/，则OEJ_AB,AE=EB=6,EF=2BE=3,由勾股定

2

APDF64

理得，DF=4,证明NAOE=N8ED,则sinN40E==sin/.DEF=---,即=—,计匏求

OADE0A5

解，然后作答即可.

【小问1详解】

证明：:8。是GO的切线，

Z.OBD=90。，即AOBA+/EBD=90°，

•••QA=O8,

/OAB=/OBA,

,：Z.OAB+ACEA=180°-ZACE=90°,NCEA=/BED,

:,AEBD=/BED,

:,DB=DE；

【小问2详解】

解：如图，连接OE,作_LA8于f，

A0E1AB,AE=EB=6,EF=-BE=3,

2

由勾股定理得，DF=>JDE2-EF2=4»

•:ZAOE+ZOAE=90。，ZCE44NOAE=90°,/CEA=/BED,

:.ZAOE=/BED,

/.sinZAOE=—=sinZDEF=—,即$=d

OADEOA5

解得，。4="，

2

•••。。的半径为日.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知

识.熟练掌握切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关

键.

27.在一A8C和VA。七中，BA=BC,DA=DE，点.E在SBC内部，连接“，E8和EO，设

EC=k*BD(kwO).

(1)当/4BC=NADE=60°时，如图1,请求出攵值，

(2)当NA8C=NAOE=90。时：

①如图2,(1)中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出々值并说明理由；

②如图3,当。，E，C三点共线，且E1为0c中点时，请求出lan/EAC的值.

【答案】(1)&=1

⑵①女二6@tanZE4C=41=1

AF3

【解析】

【分析】(1)根据题意得到，ABC和VADE都是等边三角形，证明.DAB^.EAC,根据全等三角形的性

质解答：

(2)①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算：

②作痔工AC于尸，设AD=DE=a,证明式?/话根据相似三角形的性质求出EF,根据勾股

定理求出A尸，根据正切的定义计算即可.

【小问1详解】

解：2=1,

理由如下：如图1,•••NABC=NAO£=60。，RA=BC,DA=DE，

.-ABC和VAOE都是等边三角形，

:.AD=AE，AB=AC,ZDAE=ABAC=60°,

ZDAB=ZEAC,

在-DAB和二E4C中，

AD=AE

<NDAB=/EAC,

AB=AC

.々/MB0一EAC(SAS)

:.EC=DB,即火=1：

【小问2详解】

①k值发生变化，k=®‘

•.•ZABC=ZADE=90。，BA=BC,DA=DE，

上仞。和VAOE都是等腰直角三角形，

j\jC*^4

二一=y/2,——=V2,ZDAE=ZBAC=45°,

ADAB

•.绊=华，ZDAB=ZEAC,

ADAB

△区4cs△D48，

ECAEr-

—=——=5/2,HnPnEC=\1r2BD»

BDAD

:,k=y/2;

②作EF/AC于尸，

设AD=DE=a,则AE=\p2a»

.点E为DC中点,

/.CT)=2/z.

由勾股定理得，AC=ylAD2+CD2=y[5a>

•.ZCFE=ZC/A4=90°,/FCE=/DCA,

.^CFE^CAD,

竺=笠，即"二片,

ADCAa<5。

解得，EF=心~(1

5

...AF=y/AE2-EF2=半〃

则团/必。=竺='.

AF3

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解直角三

角形等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

28.如图，在平面直角坐标系xQv中，点S(—1,0),7(1,0),对于一个角。(0°<«<180°),将一个图

形先绕点S顺时针旋转a,再绕点7逆时针旋转夕，称为一次“a对称旋转”.

)'八y八

3-3-

2-2-

1-T

"0123x

1-

-2-

-3■

备用图

(1)点R在线段5T上，则在点8(3,-2),C(2,-2),。(0,-2)中，有可能是由点/?经过一

次“90。对称旋转”后得到的点是；

(2)x轴上的•点p经过一次“。本称旋转”得到点Q.

①当a=60。时，PQ=:

②当a=30°时，若。轴，求点〃的坐标；

(3)以点。为圆心作半径为I的圆.若在上存在点使得点M经过一次“。对称旋转”后得到

的点在x轴上，直接写出。的取值范围.

【答案】(1)B(3,-2)、C(2,-2)

(2)①2：②尸(石一1,0)

(3)0va«30。或150°KaK180。

【解析】

【分析】(I)由一次"a对称旋转”定义，将8(3,-2),C(2,-2),