第1课时最值问题

22.3实际问题与二次函数第1课时最值问题

有些实际问题中的最大(小)值问题可以用二次函数模型来刻画．解决此类问题常用的方法：1．将y＝ax2＋bx＋c通过配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式．(1)若a>0，则当x＝

时，y有最

值，为

；

(2)若a<0，则当x＝

时，y有最

值，为

．

2．一般地，当a>0(a<0)时，抛物线

y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝

时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值

．

h

小

k

h

大

k

【问题】如何运用二次函数解决实际问题中的最值问题?几何图形面积最大(小)值问题【探究1】已知直角三角形两条直角边的和等于16，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大?最大值是多少?【例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q两点同时出发，那么当移动时间为

s时，四边形APQC的面积最小．

1．如图，用长24m的篱笆围成一个一边靠墙且中间隔有两道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．(1)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．(1)S＝－4x2＋24x(0＜x＜6)

(2)围成花圃的最大面积是32m2.商品利润最大问题【探究2】某超市经销一种商品，成本价为50元/kg，经试销发现，该种商品每天的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足一次函数关系y＝－2x＋180，当销售价格为多少时，才能使当天的销售利润最大?最大利润是多少?【例2】某商店经营一种产品，进价为40元/kg，按50元/kg销售，一个月能售出500kg．若销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，则销售单价为

元时，获得的利润最大．

解析：设销售单价为x元/kg，获得的利润为y元，则y＝(x－40)[500－(x－50)×10]＝(x－40)(1

000－10x)＝－10(x－70)2＋9

000．故当x＝70时，

y有最大值9

000．答案：702．某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，已知这种商品每件的售价每涨价1元，其销售量就减少20件．(1)应将该商品每件涨价多少元，才能使每天的利润为640元?(2)该商品每件涨价多少元时，可获得最大利润?最大利润是多少?解:设该商品每件涨价x元,每天获得的利润为W元.(1)根据题意可知,(10＋x－8)(200－20x)＝640,解得x1＝2,x2＝6.∴应将该商品每件涨价6元或2元,才能使每天的利润为640元.

(2)根据题意得W＝(10＋x－8)(200－20x)＝－20x2＋160x＋400＝－20(x－4)2＋720,∴该商品每件涨价4元时,可获得最大利润,最大利润是720元.1．

若小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是(

)．A．4cm2

B．8cm2

C．16cm2

D．32cm2A2．在△ABC中，BC的长与BC边上的高之和为20．设△ABC的面积为y，BC的长为x．(1)当△ABC的面积为48时，求BC的长；(2)当BC长为多少时，△ABC的面积最大?最大面积是多少?

3．(深圳)某科技公司销售高科技产品，该产品成本为每件8万元，已知销售量y(单位：件)是销售单价x(单位：万元)的一次函数，且它们的部分数量关系如下表所示．(1)求y关于x的函数解析式；(2)当销售单价为多少时，有最大利润?最大利润为多少?x/万元10121416y/件40302010(1)y＝－5x＋90

(2)当销售单价为13万元时,有最大利润,最大利润为125万元.4．(传统文化，广东省)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．(1)求肉粽和豆沙粽每盒的进价；

(2)设肉粽每盒售价x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数解析式及最大利润．(2)由题意,得当x＝50时,每天可售出100盒.当肉粽每盒售价x元(50≤x≤65)时,每天可售出[100－2(x－50)]盒,∴y＝(x－40)[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8000.配方,得y＝－2(x－70)2＋1800.∵当x＜70时,y随x的增大而增大