2025年大学统计学期末考试题库-多元统计分析选择题与解答

2025年大学统计学期末考试题库——多元统计分析选择题与解答考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、随机向量与矩阵1.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从正态分布\(N(0,1)\)，则\(\boldsymbol{X}\)的联合概率密度函数为：（1）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)（2）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^3}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)（3）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)（4）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)2.设矩阵\(\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)\)的列向量\(\boldsymbol{\alpha}_1\)，\(\boldsymbol{\alpha}_2\)，\(\boldsymbol{\alpha}_3\)均服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)的特征值分别为：（1）3，0，0（2）0，0，0（3）3，1，0（4）1，1，13.设矩阵\(\boldsymbol{X}\)为一个\(3\times3\)的随机矩阵，其中\(\boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right]\)，则\(\boldsymbol{X}\)的特征值分别为：（1）3，3，0（2）1，1，1（3）0，0，3（4）3，0，04.设矩阵\(\boldsymbol{A}\)为一个\(3\times3\)的正定矩阵，\(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)，则\(\boldsymbol{B}\)的特征值分别为：（1）3，1，0（2）1，1，1（3）0，0，3（4）3，3，35.设随机向量\(\boldsymbol{X}\)服从\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{X}\)的概率密度函数为：（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)（2）\(f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{4}(x_1-1)^2\right)\)（3）\(f(x)=\frac{1}{3\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{6}(x_1-1)^2\right)\)（4）\(f(x)=\frac{1}{6\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{18}(x_1-1)^2\right)\)6.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{A}\)的行列式值为：（1）2（2）0（3）1（4）37.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{A}\)的逆矩阵为：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)8.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{A}\)的秩为：（1）1（2）2（3）3（4）09.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)的行列式值为：（1）3（2）2（3）1（4）010.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{A}\)的特征值分别为：（1）3，1，0（2）1，1，1（3）0，0，3（4）3，0，0二、协方差矩阵与相关系数1.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的协方差矩阵为：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)2.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的相关系数矩阵为：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)3.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的协方差矩阵的行列式值为：（1）1（2）0（3）2（4）34.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的相关系数矩阵的行列式值为：（1）1（2）0（3）2（4）35.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的协方差矩阵的迹值为：（1）1（2）3（3）2（4）06.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的相关系数矩阵的迹值为：（1）1（2）3（3）2（4）07.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的协方差矩阵的特征值分别为：（1）1，1，1（2）3，0，0（3）1，1，1（4）0，0，08.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的相关系数矩阵的特征值分别为：（1）1，1，1（2）3，0，0（3）1，1，1（3）0，0，09.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的协方差矩阵的逆矩阵为：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)10.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立且都服从\(N(0,1)\)的正态分布，则\(\boldsymbol{X}\)的相关系数矩阵的逆矩阵为：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)三、多元线性回归分析1.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服从正态分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{X}\)的概率密度函数为：（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)（2）\(f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{4}(x_1-1)^2\right)\)（3）\(f(x)=\frac{1}{3\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{6}(x_1-1)^2\right)\)（4）\(f(x)=\frac{1}{6\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{18}(x_1-1)^2\right)\)2.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服从正态分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{X}\)的期望值为：（1）\(\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}0\\1\\2\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0\\2\\1\end{matrix}\right]\)3.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服从正态分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，则\(\boldsymbol{X}\)的方差协方差矩阵为：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}0&1&2\\1&2&3\\2&3&4\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{matrix}\right]\)4.设随机向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服从正态分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T四、因子分析1.因子分析中，特征值大于1的因子个数为：（1）1（2）2（3）3（4）42.在因子分析中，提取因子的目的是：（1）简化数据结构（2）提高数据精度（3）减少数据误差（4）以上都是3.设一个\(4\times4\)的相关矩阵，其特征值分别为2,1,0.5,0.1，则该矩阵的秩为：（1）4（2）3（3）2（4）14.在因子分析中，主成分分析的作用是：（1）确定因子个数（2）估计因子载荷（3）解释因子含义（4）以上都是5.因子分析中，因子载荷的绝对值越接近1，说明：（1）该变量与因子相关性越强（2）该变量与因子相关性越弱（3）该变量与因子无关（4）以上都不对五、主成分分析1.主成分分析中，协方差矩阵的特征值代表：（1）方差（2）协方差（3）相关系数（4）以上都不对2.设一个\(4\times4\)的协方差矩阵，其特征值分别为2,1,0.5,0.1，则该矩阵的迹为：（1）3.6（2）4（3）2.6（4）33.在主成分分析中，第一主成分的解释方差最大，说明：（1）第一主成分对原始数据的解释能力最强（2）第一主成分对原始数据的解释能力最弱（3）第一主成分与原始数据无关（4）以上都不对4.主成分分析中，降维的目的是：（1）提高数据精度（2）减少数据误差（3）简化数据结构（4）以上都是5.主成分分析中，协方差矩阵的特征向量代表：（1）方差（2）协方差（3）相关系数（4）以上都不对六、聚类分析1.聚类分析中，距离度量方法中的欧氏距离公式为：（1）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\)（2）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\)（3）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2}\)（4）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}\)2.聚类分析中，层次聚类法中的合并方式有：（1）最近邻法（2）最远邻法（3）组间平均法（4）以上都是3.在聚类分析中，距离度量方法中的曼哈顿距离公式为：（1）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\)（2）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\)（3）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2}\)（4）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}\)4.聚类分析中，基于密度聚类法中的DBSCAN算法的邻域半径参数为：（1）\(\epsilon\)（2）\(\delta\)（3）\(\rho\)（4）以上都是5.在聚类分析中，距离度量方法中的夹角余弦公式为：（1）\(\frac{x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2}}\)（2）\(\frac{x_1y_1+x_2y_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2}}\)（3）\(\frac{x_1y_1}{\sqrt{x_1^2}}\)（4）\(\frac{x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}}\)本次试卷答案如下：一、随机向量与矩阵1.（1）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)解析：这是三维正态分布的概率密度函数，每个分量都服从标准正态分布。2.（1）3，0，0解析：由于矩阵\(\boldsymbol{A}\)的列向量相互独立且都服从正态分布，其协方差矩阵为单位矩阵，特征值等于列向量的方差。3.（1）3，3，0解析：矩阵\(\boldsymbol{X}\)的特征值等于其行列式除以\(3\)（因为\(\boldsymbol{X}\)是\(3\times3\)矩阵），而行列式等于\(3\)。4.（1）3，1，0解析：正定矩阵的平方还是正定矩阵，且特征值相等。5.（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)解析：这是多维正态分布的概率密度函数，参数为期望值和协方差矩阵。6.（1）2解析：矩阵\(\boldsymbol{A}\)的行列式等于其特征值的乘积，而特征值为\(2\)。7.（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{matrix}\right]\)解析：矩阵\(\boldsymbol{A}\)的逆矩阵可以通过初等行变换得到。8.（2）2解析：矩阵\(\boldsymbol{A}\)的秩等于其非零特征值的个数。9.（1）3解析：\(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)的行列式等于其特征值的乘积，而特征值为\(3\)。10.（1）3，0，0解析：矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征值等于其行列式除以\(3\)。二、协方差矩阵与相关系数1.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：由于\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互独立，其协方差矩阵为单位矩阵。2.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：相关系数矩阵为单位矩阵，因为变量之间相互独立。3.（1）1解析：协方差矩阵的行列式等于其特征值的乘积，而特征值为\(1\)。4.（1）1解析：相关系数矩阵的行列式等于其特征值的乘积，而特征值为\(1\)。5.（1）1解析：协方差矩阵的迹等于其特征值的和，而特征值为\(1\)。6.（1）1解析：相关系数矩阵的迹等于其特征值的和，而特征值为\(1\)。7.（1）1，1，1解析：协方差矩阵的特征值等于其变量的方差，均为\(1\)。8.（1）1，1，1解析：相关系数矩阵的特征值等于其变量的相关系数，均为\(1\)。9.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：协方差矩阵的逆矩阵为单位矩阵。10.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：相关系数矩阵的逆矩阵为单位矩阵。三、多元线性回归分析1.（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)解析：这是多维正态分布的概率密度函数，参数为期望值和协方差矩阵。2.（1）\(\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]\)解析：多维正态分布的期