高考数学复习第九章概率与统计第8讲正态分布配套理

第8讲正态分布1/28考纲要求考点分布考情风向标利用实际问题直方图，了解正态分布曲线特点及曲线所表示意义年新课标考查正态分布及相互独立事件；年新课标Ⅰ考查正态分布及数学期望；年湖北考查正态分布；年山东考查正态分布；年湖南考查正态分布；年新课标Ⅰ第19题考查正态分布1.利用正态分布密度曲线对称性研究相关概率问题，包括知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间面积为1.2.利用3σ标准求概率问题时，要注意把给出区间或范围与正态变量μ，σ进行对比联络，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中哪一个2/281.正态分布(1)我们称f(x)＝(x∈R)[其中μ，σ(σ>0)为参数]图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.3/28(2)一般地，如果对于任何实数a<b，随机变量X满足完全由参数μ和σ确定，所以正态分布常记作N(μ，σ2).假如随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2).μ，σ分别表示总体平均数(期望值)与标准差.(3)当μ＝0，σ＝1时正态分布叫做标准正态分布，记作X～N(0，1).4/282.正态曲线特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交.(2)曲线是单峰，关于直线________对称.(4)曲线与x轴之间面积为______.

(5)当σ一定时，曲线随μ改变沿x轴平移. (6)当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；σ越_______，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中.x＝μ1小5/283.3σ标准(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827.(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545.(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.6/281.正态曲线下、横轴上，从均值到＋∞面积为()A.0.95B.0.5C.0.975D.不能确定(与标准差大小相关)2.(年广东珠海二模)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，62)，且P(ξ≤4－a)＝P(ξ≥2＋3a)，则a＝()AB7/283.已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()CA.0.477B.0.628C.0.954D.0.9774.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a值为()AA.1B.C.2D.48/28考点1正态分布相关计算

例1：(1)(年山东)已知某批零件长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内概率为()

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%)A.4.56%C.27.18%B.13.59%D.31.74%9/28解析：用ξ表示零件长度，依据正态分布性质得0.1359.故选B.答案：B10/28(2)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

解析：由P(X<4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，如图D83，由题意知正态曲线对称轴为直线x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2.∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6.∴P(0<X<2)＝12P(0<X<4)＝0.3.

图D83答案：C11/28(3)(年山东威海模拟)已知随机变量X

服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，则P(X＞4)＝()A.0.1588C.0.1586B.0.15865D.0.1585

解析：∵随机变量X～N(3，1)，∴正态曲线关于x＝3对称.∴P(X≥3)＝0.5.又

P(2≤X≤4)＝0.6827，∴P(X＞4)＝0.5－答案：B12/28

(4)(年河南洛阳三模)已知随机变量Z～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图9-8-1，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分点个数预计值为()

[附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)＝0.9973]

图9-8-1A.6038B.6586.5C.7028D.753913/280.34135＝0.65865，则落入阴影部分点个数预计值为10000×0.65865＝6586.5.答案：B14/28

(5)(年贵州七校联考)在我校

届高三11月月考中理科数学成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试预计此次考试中，我校成绩高于120分有________人.

解析：因为成绩ξ～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称.又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以分有0.1×780＝78(人).答案：7815/28

(6)假设天天从甲地去乙地旅客人数X是服从正态分布N(800，502)随机变量，记一天中从甲地去乙地旅客人数800＜X≤900概率为p0，则p0＝__________.答案：0.47725

【规律方法】关于正态曲线在某个区间内取值概率求法： ①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)值；

②充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1.16/28考点2正态分布密度函数性质)两个正态分布密度曲线如图9-8-2.以下结论中正确是(

图9-8-2A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)17/28答案：C18/28度函数图象如图9-8-3，则有(

)图9-8-3

A.μ1<μ2，σ1<σ2B.μ1<μ2，σ1>σ2C.μ1>μ2，σ1<σ2D.μ1>μ2，σ1>σ219/28解析：因为正态曲线图象关于直线x＝μ对称，由图知μ1<μ2.

又σ2

越大，即方差越大，说明样本数据越发散，图象越矮胖；反之，σ2

越小，即方差越小，说明样本数据越集中，图象越瘦高.答案：A20/28解析：由题意可得P(2≤ξ<4)＝(3)(年江西南昌二模)已知随机变量ξ

服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，则P(2≤ξ<4)＝()A.0.3B.0.35C.0.5D.0.71－0.15×2 2＝0.35.故选B.答案：B【规律方法】正态曲线性质.①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线是单峰，它关于直线x＝μ对称.21/28

④曲线与x轴之间面积为1.

⑤当σ一定时，曲线伴随μ改变而沿x轴平移，如图9-8-4(1).(1)(2)

图9-8-4

⑥当μ一定时，曲线形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中.如图9-8-4(2).22/28易错、易混、易漏⊙与正态分布结合综合问题

例题：(年新课标Ⅰ)为了监控某种零件一条生产线生产过程，检验员天天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).依据长久生产经验，能够认为这条生产线正常状态下生产零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2). (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件数，求P(X≥1)及X数学期望；23/289.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

(2)一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件，就认为这条生产线在这一天生产过程可能出现了异常情况，需对当日生产过程进行检验. ①试说明上述监控生产过程方法合理性； ②下面是检验员在一天内抽取16个零件尺寸：24/28i＝1，2，…，16.25/28

解：(1)抽取一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内概率为0.9973，从而零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外概率为0.0027，故X～B(16，0.0027).所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997316≈0.0423.X数学期望为E(X)＝16×0.0027＝0.0432.

(2)①假如生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋