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文档简介

一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程

两边积分可分离变量方程的形式及解法：如果可以写成则目的：dx与dy拆开，且保证dx前面是一个dy前面是一个仅与y仅与x有关的函数，有关的函数实现两个变量的分离

一、可分离变量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)

例2.

解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为

例3.

求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:

例4:解：分离变量即(C<0

)(C为任意常数)

二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:

例1.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,

y=0也是方程的解)(C为任意常数)

例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.

例3.

积分得故有得

(抛物线)

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,称为线性非齐次方程.方程的特点：称为线性齐次方程;

关于未知函数的部分、都是一次方、幂的形式如：是不是1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为

当C任取常数时，函数只能是齐次方程的解，要想得到非齐次方程的解，设想将常数C换成x的函数C(x)而成为非齐次方程的解目的是确定函数C(x)的具体形式对应齐次方程通解2.解非齐次方程常数变易法则故原方程的通解即设两端积分得

是非齐次方程的解，这种将齐次方程通解中的常数C换成x的函数而求得非齐次方程通解的方法称为由非齐次方程通解的公式：齐次方程通解非齐次方程特解即

记作：例1.解方程

解:故原方程通解为

例2.求方程

解:

的特解由得，特解：例3.求方程的通解.解:所求通解为这是以x为未知函数，y为自变量的一阶线性非齐次方程

即例4.

判别下列方程类型:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程

内容小结1.可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数.

2.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为

作业P1681(3),(4),(5)；4；

5(1),(3

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