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微分方程的应用

氧气充足时，酵母增长规律为下，酵母的发酵过程中会产生酒精，酒精将抑制酵母的继续发酵，在酵母增长的同时，酒精量也相应增加，酒精的抑制作用也相应增加，致使酵母的增长率逐渐下降，直到酵母量稳定地接近于一个极限值为止。上述过程的数学模型如下其中，

求解此微分方程，并假定当为酵母量最后极限值，是一个常数。它表示在前期酵母的增长率逐渐上升，到后期酵母增长率逐渐下降。时，酵母的现有量为而在缺氧条件例1.如何求解

解:方程可变形为两边积分即得

因此所求微分方程的通解为又由初始条件时，可得于是微分方程的特解为即这就是在缺氧条件下，求得的酵母的现有量与时间的函数关系。其图形所对应的曲线叫做生物生长曲线，又名Logistic曲线，其图形为

在实际应用中常常遇到这样一类变量：变量的增长率与现有量种变量是按Logistic曲线方程变化的。、饱和值与现有量的差都成正比。这在生物学、经济学等学科中常可见到这种类型的模型。例2.力与速度成正比,(t=0)速度为0,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时

在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例3.有一电路如图所示,电阻

R和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri

经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,

∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得

暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:

例4.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间.解:建立坐标系如图.设在时刻t,链条较长一段下垂xm,又设链条线密度为常数此时链条受力由牛顿第二定律,得

由初始条件得故定解问题的解为解得当x=20m时,(s)微分方程通解:思考:若摩擦力为链条1m长的重量,定解问题的数学模型是什么?

摩擦力为链条1m长的重量时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来所需时间为

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