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文档简介

二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法

级数敛散性的概念：对于级数收敛部分和，部分和数列对于一些特殊形式的级数，其敛散性是否会有什么特殊结论呢？

一、正项级数及其审敛法若∴部分和数列为有界数列则称为正项级数.为单调递增数列对于正项级数单调递增数列极限存在

正项级数审敛法的基本定理定理1.正项级数收敛有界部分和数列定理2(正项级数的比较审敛法)设(1)若级数，则级数(2)若级数，则级数收敛,也收敛发散,也发散是两个正项级数,且且

对比较审敛法的补充说明(1)存在正整数及常数k>0,满足若，则若，则收敛,也收敛发散,也发散且且(2)

失效情形若若收敛,发散,且且(3)本方法仅适用于正项级数方法都

失效

例1.讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)当因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,时，

由基本定理可知p级数收敛。时,2)当表明有界

讨论级数的敛散性解:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.

定理3.(比较审敛法的极限形式)两个级数同时收敛或发散;设两正项级数满足则当0<l<∞时,通常选择参与比较的已知敛散性的级数主要有：p级数调和级数等比级数

例3.讨论级数的敛散性解:因为而收敛，所以收敛

例4.讨论级数的敛散性解:因为而发散，所以发散

例5.判别级数的敛散性.解:

而收敛，所以收敛

的敛散性.例6.判别级数解:～而收敛，所以

定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.级数发散，注意：当其发散的原因是(3)当时,本方法失效

例7.讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;

例8.讨论级数敛散性解:

级数收敛

二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6

.(Leibnitz

判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,余项满足和

收敛例9.判别级数的敛散性（常数p>0）解：该级数为交错级数由莱布尼兹（Leibnitz）判别法得级数

收敛收敛例10.判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛

三、绝对收敛与条件收敛

定义:对任意项级数如果则称原级收敛,数绝对收敛；则称原级数条件收敛.讨论任意项级数敛散性所产生的概念如果发散,而原级数收敛,将各项取绝对值构成正项级数，

例如：

为条件收敛.均为绝对收敛.定理7.绝对收敛的级数一定收敛.

例11.

证明下列级数绝对收敛：证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.

(2)因此收敛,绝对收敛.

例12.讨论下列级数是绝对收敛还是条件收敛（1）发散解：原级数条件收敛

（2）（常数p>0）解：当p>1时，收敛，绝对收敛发散，条件收敛当

时，

（3）解：发散，发散的原因是原级数也发散

作业P1391(3,4,5);

2

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