2024-2025学年吉林省白山市抚松一中高二（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省白山市抚松一中高二（下）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数列−4，7，−10，13，…的一个通项公式为(

)A.an=(−1)n(3n+4) B.an2.抛物线x2=−4y的焦点到准线的距离为(

)A.1 B.2 C.3 D.43.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)=−1A.−1 B.1 C.12 D.4.已知向量a=(2,1,3)，b=(1,2,4)，则向量b在向量a上的投影向量为(

)A.1314a B.1621a C.5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S14A.187 B.32 C.1176.已知F1，F2是椭圆Γ：x24+y2=1的左、右焦点，A.1 B.3 C.2 D.7.《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度(蒲与莞原先的长度忽略不计)，需要经过的时间最少为(

)A.3天 B.4天 C.5天 D.6天8.已知直线l：x−y+2=0与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，点A.43 B.2 C.52二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知2+1，x,2−1成等比数列，则A.0 B.1 C.2 D.10.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为直线l，直线PQ与C交于P，Q两点.则下列说法正确的是(

)A.点F到直线l的距离是4

B.若PQ的方程是2x−y−4=0，则△FPQ的面积为3

C.若PQ的中点G到直线l的距离为3，则|FP|+|FQ|=8

D.若点(4,0)在直线PQ上，则OP⊥OQ11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为{an}，有a1=a2=1，aA.1+S2022=a2024

B.该数列的前2024项中能被3整除的有507项

C.a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线AB是函数y=f(x)图像的一条割线(如图所示)，f′(x)是函数f(x)的导函数，若a=2f′(3)，b=2f′(5)，c=f(5)−f(3)，则关于a，b，c排序正确的是______．13.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为[π414.一条光线从点P(−1,2)射出，与x轴相交于点Q(12,0)，经x轴反射，反射光线所在的直线为l.若曲线x2+y2−6x+10y+34−m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知曲线方程y=x2．

(1)求在点A(2,4)处的曲线的切线方程；

(2)求过点B(3,5)处的曲线的切线方程．16.(本小题15分)

已知等差数列{an}满足a3>a1，a1+a3=10，a1，a2−1，a3成等比数列．

17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，BB1=BC，D为BC的中点．

(1)求证：直线A1C//平面18.(本小题17分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且Sn+1−2Sn−n=3，数列{bn}满足b1=1，bn+12n+1=bn2n−1(n∈N+)．

(1)求数列{an}19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点相同，曲线C的离心率为12,P(2,y)为E上一点且|PF|=3．

(1)求曲线C和曲线E的标准方程；

(2)过F的直线交曲线C于H参考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.A

6.A

7.A

8.D

9.BD

10.BD

11.AD

12.a<c<b

13.[−114.(−6,−4)∪(4,6)

15.解：(1)因为y=f(x)=x2，所以f′(x)=2x，

所以f′(2)=4，

所以在点A(2,4)处的曲线的切线方程为：

y−4=4(x−2)，即为4x−y−4=0；

(2)设过点B(3,5)处的曲线的切线且曲线于点P(t,t2)，

则切线方程为y−t2=2t(x−t)，又其过B(3,5)，

所以5−t2=2t(3−t)，

解得t=1或t=5，

所以所求切线方程为16.解：(1)因为数列{an}为等差数列，

所以a1+a3=2a2=10，即a2=5，

又因为a1，a2−1，a3成等比数列，

则a1a3=(a2−1)2=16，

17.(1)证明：设A1B∩AB1=E，连接DE，则E是A1B的中点，

因为D为BC的中点，所以DE/​/A1C，

又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，

所以直线A1C/​/平面AB1D.

(2)解：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，

又AB⊥AC，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为AB⊥AC，AB=AC=2，

所以BB1=BC=22，

所以B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,22)，B1(2,0,22)，

所以18.解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且Sn+1−2Sn−n=3，

可得n=1时，a1+a2=2a1+4，即有a2=7=2a1+1，

当n≥2时，由Sn+1−2Sn−n=3，可得Sn−2Sn−1−n+1=3，

两式相减得(Sn+1−Sn)−2(Sn−Sn−1)=an+1−2an=1，

上式对n=1也成立，

所以an+1+1=2(an+1).又a1+1=4，

所以{an+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以an+1=4⋅2n−1，即an=2n+1−1．

(2)数列{bn}满足b1=1，bn+12n+1=bn2n−1(n∈N+)，

所以bn+1=2n+12n−1bn，所以bn=19.解：(1)e=c