2024-2025学年江苏省南京市田家炳高级中学高二上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市田家炳高级中学高二上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+y+2=0的倾斜角为(

)A.150∘ B.120∘ C.60∘2.椭圆x225+y29A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等3.在等差数列{an}中，a3+aA.20 B.15 C.10 D.54.若两圆C1：x2+y2+2x=0与C2：A.m>4 B.m<4 C.0<m<4 D.4<m<205.已知数列an满足a1+2a2+3a3+⋯+naA.20224045 B.40464047 C.404440456.已知函数f(x)=xlnx+ax2+a2在区间A.(−∞,−12) B.(−∞,−1) C.(−∞,−7.已知函数f(x)=(x−2023)(x−2024)(x−2025)(x−2026)，则fx的图象在x=2025处的切线方程为(

)A.2x+y−4050=0 B.x+y−2025=0

C.2x−y−4050=0 D.x−y−2025=08.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>0,b>0的蒙日圆为C:x2+y2=32a2，过C①椭圆Γ的离心率为②M到Γ的左焦点的距离的最小值为③▵MPQ面积的最大值为3④若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.点P1x1,y1,P2x2,y2是直线l上不同的两点，则直线l可以表示为y−y1y2−y1=10.设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，FA.离心率e=32

B.PF1+PF2=2211.已知函数f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，若当x<0时，xf′(x)−f(x)<0，且f(1)=0，则A.2f(e)>ef(2)

B.当m<2时，f(m)>mf(1)

C.3f(−π)+πf(3)<0

D.不等式f(x)>0解集为(−1,0)∪(1,+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆x236+y2b2=1(b>0)的一个焦点与抛物线13.函数y=x+2cosx在[0,π2]14.斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列an可以用如下方法定义：an=an−1+an−2n≥3,n∈N∗，a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知an是各项均为正数的等比数列，a1=1(1)求an(2)设bn=an+log16.(本小题12分)已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切，过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=219时，求直线l17.(本小题12分)已知数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2S(1)证明：数列an(2)若数列bn满足bn=an218.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2−y2b2(1)求双曲线C的方程；(2)过点E2,0作直线l交双曲线的右支于A,B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P(O为坐标原点)，求▵PAB的面积的最小值．19.(本小题12分)已知函数fx(1)当a=1时，求函数fx(2)求函数fx(3)若对任意的实数k，b，曲线y=fx+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数fx是“A函数”，当a=1时，若函数gx=ex参考答案1.B

2.D

3.A

4.D

5.D

6.C

7.A

8.D

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.413.π2；14.2

15.【详解】(1)因为数列an是各项均为正数的等比数列，a1=1所以6a设数列an的公比为q>0，则q解得q=2，或q=−3(舍)，所以an(2)由(1)知an因为bn=a设数列bn的前n项和为S则S==1×即数列bn的前n项和为S

16.解：(1)设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，

所以R=|−1+4+7|5=25，

所以圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20；

(2)由于弦长MN=219，则圆心到直线的距离为d=252−192=1，

当直线l与x轴垂直时，x=−2，满足题意；

当直线l与x轴不垂直时，

设直线l的方程为y=k(x+2)17.解：(1)当

n=1

时，

2S1=2a12当

n≥2

时，

2Sn−1又

2Sn=2an2整理得

an+∵

an+an−1≠0

，∴数列

an

是首项为1，公差为

12(2)由(1)可知，数列

an

的通项公式为

an故

bn=∴

Tn=22+322①−②得，

12T故

Tn=3−∴

Tn<3

18.【详解】(1)因为双曲线C:x2a2−而双曲线的渐近线为bx±ay=0，故右焦点Fc,0到渐近线的距离为bc故双曲线的方程为：x2(2)显然直线l与y轴不垂直，设l：x=my+2，Ax1,由双曲线的对称性知AP的中点为O，故S▵PAB联立x=my+2故Δ=36m2由于A，B均在双曲线右支，故y1⋅y而S▵PAB代入韦达定理得S▵PAB令m2+1易知y=4t−3t在1,2综上：▵PAB的面积的最小值为12．

19.【详解】(1)函数fx=e当a=1时，f′x=e当x∈−∞,0时，f′x<0当x∈0,+∞时，f′x>0故fx有极小值f(2)由(1)可知：当a≤0时，f′x=aeax−1≤−1当a>0时，令aeax−1=0，得e所以f′−lna当x<−lnaa时，f′x<0当x>−lnaa时，f′x>0综上，当a≤0时，fx的单调递减区间为−∞,+∞当a>0时，fx的