《子空间直和的相关定理及其应用研究》4300字

子空间直和的相关定理及其应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u摘要 1引言 21.预备知识 32.子空间直和的相关定理 63.子空间直和的相关应用 143.1子空间直和在判断矩阵是否可对角化中的应用 143.2子空间直和在求最小多项式及其分解中的应用 153.3子空间直和在求线性空间维数中的应用 163.4子空间直和在判断向量组线性无关中的应用 163.5子空间直和在方程组解空间中的应用 17结束语 18参考文献 19摘要：本文首先给出了子空间直和的相关定义；其次从特征多项式、对角矩阵、最小多项式、零向量分解式以及子空间的交等方面阐述了有关子空间直和的相关定理；最后从判断一个矩阵是否是对角矩阵、求线性变换最小多项式的标准分解式、求线性空间维数、判断向量组线性无关以及判断方程组解空间是否为直和这五个方面介绍了子空间直和的应用.关键词：子空间直和；对角化；标准分解式；线性无关；解空间引言线性空间的直和分解思想是研究线性空间结构的重要工具，它在判断矩阵对角化、向量组线性无关以及求线性变换最小多项式的标准分解式、线性空间维数中都有重要的应用.并且利用子空间的直和，可以简化判断矩阵对角化以及判断向量组线性无关的过程，起到事半功倍的效果.很多学者已经对子空间直和及其应用做了研究.文献[3]介绍了多项式因式分解与线性空间直和分解之间的关系；文献[4]介绍了子空间直和的等价命题；文献[7]讨论了子空间直和在对角化中的应用；文献[8]讨论了子空间直和在判断方程组解空间是否为直和中的应用.本文在上述文献的基础上，进一步总结了子空间直和的相关定理和相关应用，并给出了子空间直和在判断一个矩阵是否可对角化、求最小多项式的标准分解式、求线性空间维数、判断向量组线性无关以及判断方程组解空间是否为直和这五个方面介绍了子空间直和的应用.预备知识定义1.1[1]形式为的矩阵，其中是数，称为对角矩阵.定义1.2[1]形式为的矩阵，其中是矩阵，称为准对角矩阵.定义1.3[1]若数域中有不全为零的数，使，则称向量组线性相关.若不线性相关，则称线性无关.定义1.4[1]若齐次线性方程组的一组解满足：1方程组的所有解都能被线性表出；2线性无关.则称这组解为方程组的一个基础解系.定义1.5[1]若，且不能表成上的两个次数比低的多项式的乘积，则称为上的不可约多项式.定义1.6[1]任一多项式可分解为，其中为的首项系数，为互异的首项系数为1的不可约多项式，.这种分解式称为标准分解式.定义1.7[1]设，是数域.，都有；，，都有.若加法与数量乘法满足：加法满足下面四条规则1；2；3，，使得则为的零元；4，，使得称为的负元素.数量乘法满足下列两条规则5；6；数量乘法与加法满足下列两条规则7；8；则称为上的线性空间.定义1.8[1]线性空间的一个变换称为线性变换，若，，都有，.注：以下用表示为数域上的线性空间，表示的所有线性变换构成的集合.定义1.9[1]设，，如，，有，则称为的子空间.定义1.10[1]在线性空间中，一个齐次线性方程组的全部解向量所组成的子空间称为该方程组的解空间.定义1.11[1]设，是线性空间的子空间，所谓与的和，是指由所有能表示成，而，的向量组成的子集合，记作.定义1.12[1]设，是线性空间的子空间，，若的分解式，，，唯一，则称这个和为直和，记为.定义1.13[1]设，若对，，使得，则称为的一个特征值，而为的属于的一个特征向量.定义1.14[1]设为阶矩阵且，为一个文字.矩阵的行列式称为的特征多项式.定义1.15[1]设，是的子空间.若对，都有，那么为的不变子空间，简称子空间.定义1.16[1]设，若，，使，则称以为根.次数最低首项系数为1且以为根的多项式叫做的最小多项式.子空间直和的相关定理定理2.1[1]设的特征多项式能分解为一次因式的乘积，则可分解成不变子空间的直和，其中.证明令，及，则是的值域.又因为是的不变子空间.显然满足.下面来证明.为此要证明两点，第一，要证中每个向量都能表成，，.其次，向量的这种表示法是唯一的.显然，因此有多项式，使.于是.这样对中每个向量都有，其中，，这就证明了第一点.为证明第二点，设有，其中满足，.现在证明任一个.因，所以.用作用于的两边，即得.又，所以有多项式使，于是.现在设，其中.当然满足，，所以，.再设有一向量的核.把表示成，，，即.令，，，则是满足和的向量.所以，于是.这就证明了是的核，即，.定理2.2[1]设，可对角化有个线性无关的特征向量.证明设在基下有对角矩阵，这就是说，.因此，就是的个线性无关的特征向量.相反，若有个线性无关的特征向量，则，.取为基，则的矩阵为.定理2.3[2]设，是的特征值且互不相等.又设是属于的线性无关的特征向量，，则向量线性无关.证明首先.现在设存在中的数，使得.令，.则.由上面所说的事实，若某一，则是的属于特征值的特征向量.因为互不相同，则，.即，.即线性无关.定理2.4设，是的最小多项式.令是在复数域上的标准分解式，其中，互异且，，又设，.那么1每一个子空间都在之下不变；2；3令是在上的限制.那么的最小多项式是，.证明1令，，因为互不相同，故是互素的多项式.于是存在多项式使.令，.那么.将线性变换代入这个等式得，这里是的单位变换.于是的每个向量可以写成.令，.那么每一作为的多项式，都与可交换，因而每一在之下不变.表明，.2下面证明，，并且上面的和是直和.首先，所以对于中任意向量有.因此.反过来，设，如果，那么可以被整除，从而.于是由得.这样，，而且.现在设是中任意向量，那么由，如果还可以表成，，，那么由上面的证明，我们有，而，若.因此，.所以中每一向量被表成的表示法是唯一的，从而是直和.3令.因为，所以一定能被的最小多项式整除，从而的最小多项式一定有的形式，这里，.然而两两互素，故的最小多项式为.由多项式不可约因式分解的唯一性得出，即是的最小多项式，.定理2.5设，和都是的不变子空间，若，并且，分别是，的最小多项式，则的最小多项式为，的最小公倍式.证明设维，维，；再设，分别为与的基，在基下的矩阵为，在基下的矩阵为，则的一组基为，，在此基下的矩阵为，且矩阵的最小多项式分别为，，.令，，则，因此.其次，，则有，，所以，.这就必有.故.若，就得到.定理2.6设、是线性空间的子空间，且，则以下命题等价：1；2零向量表示法唯一，即若，则，其中；3；4维维维，即维维维；5、的基凑成的基.证明12因为，，所以，即零向量表示法唯一.23任取向量，于是零向量可以表示成，其中，.所以.这就证明了.34因为维维维维，，则维，所以维维维.45设为的一组基，为的一组基.则是由生成的子空间.令，则.由此，.所以，.因此线性无关.所以凑成的一组基.51设有两个分解式，，.于是.因此，.即，，由此可知，向量的分解式唯一.所以.子空间直和的相关应用3.1子空间直和在判断矩阵是否可对角化中的应用若将空间按特征值分解成若干个子空间的直和，在每一个子空间中取基，把它们凑成的一组基.则在这组基下，的矩阵具有准对角形，其中是在基下的矩阵.由定理2.2和定理2.3知，若维维维维，则可对角化；若维维维维，则不可对角化.例1设，判断是否可以对角化？解的特征多项式是，因此，是的特征值.把代入中得到对应基础解系.把代入中得到对应基础解系.显然，的重数等于的个数，7的重数等于的个数，故可对角化.例2设，判断是否可以对角化？解求出的特征值为，.把代入中得到对应基础解系.把代入中得到对应基础解系.由于1的重数不等于的个数，故不可对角化.3.2子空间直和在求最小多项式及其分解中的应用定理2.4中利用线性变换的最小多项式的因式分解，得到了线性空间中线性变换的不变子空间的直和分解.反过来，由线性空间的任一线性变换的不变子空间直和分解，也能得到最小多项式的因式分解.由定理2.5易求出最小多项式的标准分解式.例3令是实数域上一个三维向量空间，，它在的某个基下的矩阵为，求出的最小多项式，并把在内分解为两个最高项系数是1的不可约多项式与的乘积.解的特征多项式为.因为，，所以得到的最小多项式为，且，.3.3子空间直和在求线性空间维数中的应用定理2.6给出了子空间直和的等价命题，根据等价命题4可知，求出子空间的维数，再将所有子空间的维数相加就很容易得到线性空间的维数.例4设，，求由向量与生成的线性空间的维数.解容易看出维，维.首先判断向量与生成的子空间是否为直和.假设交的向量，则有，即.因，故交的维数为0.因此向量与生成的子空间为直和.所以维维维.3.4子空间直和在判断向量组线性无关中的应用根据定理2.6中的子空间直和的等价命题2可以从子空间向量组的线性无关来判断线性空间向量组的线性无关.例5设，为的子空间，，且与线性无关.证明：也线性无关.解设.由知，用定理2.6的等价命题2“零向量表法唯一”.由，，得，，由，是两个线性无关的向量组，则有.所以，向量组也线性无关.3.5子空间直和在方程组解空间中的应用根据定理2.6给出的子空间直和的等价命题34，如果知道了解空间和与交的情况，那么就可以判断方程组解空间是否为直和.例6设是数域上的阶矩阵，且.记、分别是方程组与的解空间.证明：.解，有，由，易验证，，所以，.又若，有，及，则.所以，.于是，.例7设为阶实可逆矩阵，、分别为，的解空间.证明：.解因是的解空间，即的解空间.为阶实可逆矩阵，故只有零解，即.其次，由及维数公式，得维维维，设秩，则秩.于是有维，维.因此维维.所以，.结束语本文由相关定义出发，阐述了子空间直和与特征多项式、对角矩阵、最小多项式、零向量分解式之间关系的相关定理，并给出了一些相关应用，如在判断矩阵对角化、向量组线性无关以及求最小多项式及其分解等方面的应用.通过本文，我们可以对直和分解思想有更深刻的理解，并且如果我们多去注意这些应用，很多时候会给我们解决问题带来方便.当然，本文只是总结出了子空间直和部分简单的应用，更多其他方面的应用还需要我们继续探索.参考文献[1]北京大学数学系前代数小组编.高等代数[M].4版.高等教育出版社，2013，8：142-313.[2]张禾瑞等编.高等代数[M].4版.高等教育出版社，2002，3:301-417.[3]余兴民.多项式因式分解与线性空间直和分解的关系[J].商洛学院学报，2014，28（2）：3-4.[4]徐新萍.关于子空间直和的教学思考和探究[J].江苏教育学院学报(自然科学版)，2012，28（1）：20-22.[5]林记，姚云飞.线性空间的直和分解思想的地位和作用[J].内江师范学院学报，2011，26（12）：62-65.[6]刘红旭.关于“不变子空间”的再探讨[J].辽宁师专学报，2003，5（1）：2-3.[7]张教森.不变子空间直和的一个补充[J].固原师专学报(自然科学版)，1999，20（3）:55-57.[8]杨闻起，李娇娇，赵婷.高等代数中子空间直和的证明方法及应用[J].高师理科学刊，2019，39（8）：9-11.[9]邓贵新.线性空间直和分解定理的一点思考[J].内蒙古财经大