力对点之矩与平面力偶系

力矩与力偶第一节力对点之矩一、力矩的概念力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。例如扳手旋转螺母。FOLdAB力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号mo(F)表示，记为:Mo(F)＝±Fd

通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。1力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即Mo(F)＝±2ΔABC

在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米（kN•m）。由上述分析可得力矩的性质：（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。233.1力矩的概念与计算一、平面中力矩的概念二、平面汇交力系的合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即4例3－1试计算力对A点之矩。解本题有两种解法。方法一：

按力矩的定义计算由图中几何关系有：

d=ADsinα=(AB-DB)sinα

=(AB-BCxctg)sinα

=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα

所以

mA(F)=F•d

=F(asinα-bcosα)5（2）根据合力矩定理计算。将力F在C点分解为两个正交的分力，由合力矩定理可得mA(F)=mA(Fx)+

mA(Fy)=－Fx•b+Fy•a=－F(bcosα＋asinα)=F(asinα-bcosα)当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。

方法二：6例2求图中荷载对A、B两点之矩(b)解：图（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m图（b）：MA=-4×2×2

=-16kN

·m

MB=4×2×2=16kN·m(a)7[例]

已知：如图F、Q、l,求：和 静力学解：①用力对点的矩法

②应用合力矩定理

80.6m0.4mCBAF300例、已知：机构如图，F=10kN，求：MA(F)=?dFxFy解:方法一:MA(F)=-F•d=-100.6

sin600方法二:MA(F)=-F•cos300•0.6+0=-100.6

cos300Fx

=Fcos300

MA(Fx)Fy

=-Fsin300

MA(Fy)=0MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)9例题.图示F=5kN,sin

=0.8试求力F对A点的矩.A

B2015F10A

B2015F解:(1)hCDCD=18.75×0.6=11.25AC=20-11.25=8.75h=8.75×0.8=7mo(F)=hF

=7×5=3511A

B2015F(2)FxFyFx

=Fcos

=5×0.6=3Fy

=Fsin

=5×0.8=4Dmo(Fx)=-BD·Fx

=-15×3=-45mo(Fy)=AD·Fy

=20×4=80mo(F)=mo(Fx)+mo(Fy)

=-45+80=3512静力分析[练习]图示胶带轮，已知T1=200N,T2=100N,D=160mm,求MB(T1)+MB(T2)=?B解：13第二节力偶

一、力偶力偶矩

在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如

（图a）司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力；

（图b）工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力；（图c）以及用两个手指拧动水龙头所加的力等等。1．力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号(F,F′)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。14

作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，用m或m(F,F′)表示。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图所示，2．力偶矩：即m(F)＝F•d=±2ΔABC

通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米（kN•m）。15力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：（1）力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。（2）无合力，故不能与一个力等效；（3）力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。二、力偶的性质16

在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这就是平面力偶的等效条件。根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：推论1力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的效应。推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。结论：17

力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。

故在平面问题中用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小m表示。

18一、平面力偶系的合成

作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。m1＝F1•d1，m2＝F2•d2，m3＝－F3•d3，P1•d=F1•d1，P2•d＝F2•d2

，

－P3•d

＝－F3•d3FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′第三节平面力偶系的合成与平衡

19M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1•d+P2•d－P3•d=F1•d1+F2•d2－F3•d3所以

M＝m1＋m2＋m320

若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。21

平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：二、平面力偶系的平衡条件即Σm＝0平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。22例：如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m＝2.5kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少？解取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。设4个螺栓的受力均匀.

即F1＝F2＝F3＝F4＝F则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡由Σm＝0，

m－F×AC－F×d＝0解得23静力学[例](p32)

在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A

、B端水平反力?

解:合力偶距平面力偶系平衡24静力分析[例](p39)图示结构，求A、B处反力。解：1、取研究对象整体2、受力分析特点：力偶系3、平衡条件∑mi=P·2a－YA·l=0思考

∑mi=0P·2a－RB·

cos

·l=025

求图示简支梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之得：26例题.在梁AB上作用一个力偶,其矩为m,梁长为l.自重不计.试求支座A和B的约束反力.45oABlm27解:取梁AB为研究对象45oABlmRARB45o45oRA=RB=Rm(RA,

RB)=Rlcos45o

mi=0Rlcos45o-m=0R=RA=RB=28例题.图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置.已知OA=40cm,O1B=60cm,m1=1N·m,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.OABO1m2m130o29解:

AB为二力杆OABO1m2m130oSA=SB=SSSSS取OA杆为研究对象.

mi=0m2–0.6S=0(1)取O1B杆为研究对象.

mi=00.4sin30o

S-m1=0(2)联立(1)(2)两式得:S=5m2=330例题.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?60o60oABCDm1m231解:取杆AB为研究对象画受力图.杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.ABCm1RARC

mi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR

(1)32取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定,则D点约束反力方

位亦可确定.画受力图.60o60oDm2BCARDRC

RD=RC

=RCD=a

mi=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR

(2)联立(1)(2)两式得:33例题

图示刚架，其上作用三个力偶，其中

F1=F1´=5KN，m2=20KN.m,m3=9KN.m,

试求支座A、B处的反力。ABm2m130oF1F1´m3m2m330o30oFAFB1m1m1mABm1=F1×1=5KN.m34m1m1-m2+m3+FBd=0m2m330o30oFAFBABd解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶，则A、B处的约束反力一定形成力偶。根据平面力偶系的平衡方程：

mi=05-20+9+FBABCOS300=0解得：FA=FB=2.31kN35静力分析[例]图示杆系，已知m,l,求A、B处约束力。解：1、研究对象二力杆：AD2、研究对象：CB杆思考：CB