模型41 定弦定角 　2025年中考数学几何模型专题复习

模型41定弦定角模型展现图示条件在△ABC中,AB为定长,∠C=α为定角度结论当α<90°时,点C在优弧ACB上运动(不与点A,B重合),∠ACB=12当α=90°时,点C在⊙O上运动(不与点A,B重合),弦AB为⊙O的直径当α>90°时,点C在劣弧AB上运动(不与点A,B重合),12推论构成等腰三角形(AC=BC),即点C为AB的的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大结论分析推论：构成等腰三角形(AC=BC)，即点C为⌢AB的中点时，点C到AB的距离最大，且此时△ABC的面积最大证明:如图,⊙O为△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC,过点O作OD⟂AB于点D,过点C作CE⊥AB于点E,∵OC+OD⩾CE,∴.当且仅当C，O，D三点共线时，CE的值最大，此时点D与点E重合，AC=BC,∵CE为点C到AB的距离,∴SABC=1模型解题三步法例1如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E是矩形内部一点，且AE⊥BE,，则线段CE的最小值为()A.32B.210例2如图，在边长为4的等边，ABC中，点P为△ABC内的一个动点，且ABC∠PBC=∠PCA,则可得出∠BPC为定角PBC面积的最大值为.题以类解1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的点(不与正方形的顶点重合)，CE，DF交于点M,连接BM.若AB=2,∠BCE=∠CDF,则BM的最小值为.2.如图，在菱形AB-CD中,AB=23,∠A=60∘,3.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90∘,∠BCD=74.问题提出(1)如图①,已知ABC是边长为2的等边三角形，则ABC的面积为；问题探究(2)如图②,在ABC中，已知∠BAC=30∘,BC=问题解决(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD,其宽AB=20米,长BC=24米,为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求恰好能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°.请你通过所学知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求?若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由.模型解题三步法例1B【解析】根据定弦定角模型作⊙O，如解图,连接CO交⊙O于点E',当点E位于点E'位置时，线段CE取得最小值(点圆最值).∵AB=4,∴OA=OB=OE'=2.∵BC=6,∴OC=BC例2BC点P∠BPC433【解析】∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,即∠PCA+∠PCB=60°,∵∠PBC=∠PCA,∴∠PBC+∠PCB=60°,∴∠BPC=120°.如解图,根据定弦定角模型作△BPC的外圆⊙O,连接AO交BC于点Q，交BC于点P',当点P运动到点P'(即点A,P',O三点共线)时,△PBC的面积最大，由题意得12∠BOC=180题以类解1.5定弦两端点构成的定角：∠DMC.抽离模型：如解图，用模型：根据定弦定角模型作⊙O，连接BO交⊙O于点M',要使BM取得最小值,则点B,M,O三点共线,即M在M'的位置(点圆最值).∵AB=BC=2,∴CO=OM'=1,∴BO=5,此时BM2.120°,43【解析】如解图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形(60°菱形模型),∴AD=BD,∠A=∠BDF=60°,∵AE=DF,∴△ADE≌△DBF(SAS),∴∠ADE=∠DBF,∵∠ADE+∠BDE=60°,∴∠BDE+∠DBF=60°.∴∠DGB=120°.找模型：是否存在定弦：线段BD，是否存在动点：点G，是否存在以动点和定弦两端点构成的定角：∠DGB.抽离模型：如解图，作△BGD的外接圆⊙O,用模型:过点G作GH⊥BD于点.H,∵BD=AB=23,∴OD=OB=OG=2.∵GH≥OG-OH,∴当O,G,H三点共线时,GH取得最大值,此时OG⊥BD,∠ODB=30∘,∴OH=12OD=1,GH=OG−OH=1,3.10【解析】如解图,作△BPC的外接圆⊙O,连接OB,OC,OP,在优弧BC上任取一点Q，连接BQ,CQ.∵∠BPC=135°,∴∠BQC=45°,∴∠BOC=90°,∴△BOC为等腰直角三角形.∵BC=202,∴OP=OB=OC=22BC=224.解:(1)3(2)如解图①,作△ABC的外接圆⊙O,∵∠BAC=30°,∴点A在优弧BC上,当点A与优弧BC的中点重合时，△ABC的面积最大，过点A作AD⊥BC于点D,连接OB,OC,∵∠BAC=30°,∴∠BOC=60°,∵OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴OB=BC=∴AD=AO+OD=∴SABC−大(3)存在.如解图②，以AB为斜边在矩形ABCD内作等腰Rt△AOB,使得∠AOB=90°,再以点O为圆心，OA长为半径作圆，并过点O作AB的垂线，记垂足为点E，延长EO与⊙O交于点N，连接AN，BN，则根据圆周角与圆心角的关系可知∠ANB=∵在等腰Rt△AOB中,AB=20米,OE⊥AB,∴AE=BE=OE=1∴OA=OB=2∴NE=NO+OE=102则此时∠ANB的顶点N在矩形ABCD的外侧,∵⊙O与CD有2个交点,∴在CD上存在点M,满足∠AMB=45°.记⊙O与CD的交点分别为M₁,M₂,连接AM₁,BM₁,