陕西省西安市西咸新区秦汉中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市西咸新区秦汉中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中的角是圆心角的是(

)A. B.

C. D.2.sin60∘的值为A.3 B.32 C.3.已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=3，则直线l与⊙O的位置关系是(

)A.相切 B.相离 C.相交 D.无法判断4.用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是(

)A.P甲>P乙

B.P甲<P乙

C.5.如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离OC为2，则圆O的半径长是(

)A.1

B.2

C.26.把二次函数y=3x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是(

)A.y=3(x+3)2+2 B.y=3(x−3)2+27.如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若AB=5，AC=3，则BD的长是(

)A.4

B.3

C.2

D.18.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=−1，且过点(−3,0)，下列说法：①abc<0；②2a−b=0；③4a+2b+c<0；④若(−5,y1)，(2.5,y2)是抛物线上两点，则y

A.①②③ B.①②④⑤ C.①②④ D.①②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，若∠C=30∘，则∠B=______.

10.如图，在扇形AOB中，OA=6，∠AOB=120∘，则AB的长为______.

11.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠EOB的度数为______.

12.如图，矩形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过AD边的中点E和点C，若AB=2，BC=4，则k的值为______.

13.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90∘，OA=3，OB=4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC(点C为切点)，则线段PC长的最小值为______.

三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题5分)

计算：(15.(本小题5分)

解不等式组：2x−1<−91−x≥16.(本小题5分)

计算：(x17.(本小题5分)

如图，已知Rt△ABC(∠C=90∘).作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切(18.(本小题5分)

如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30∘，求19.(本小题5分)

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC=90∘，AC2=AB⋅AD.

(1)证明：△ABC∽△ACD；

(2)已知AB=520.(本小题6分)

雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度，他们的测量方案如下：当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时，笑笑在地面上找到一点G，使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得DG=2.8m；然后雯雯向前移动1.5m到达点F处，笑笑同样在地面上找到一点H，使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得GH=1.7m，已知图中的所有点均在同一平面内，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD=EF=1.6m.请你根据以上测量数据，求该校旗杆的高度AB.21.(本小题7分)

三张硬纸片上分别写有一个代数式，分别是A=4x2+5x+6，B=−3x2−x−2，C=x2+4x.

(1)A−B+C的值为P.当22.(本小题6分)

如图，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上的一点，AG、DC的延长线交于点F.若AG=CG，AG的度数为70∘，求∠F的度数.23.(本小题6分)

《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地.九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙(墙的最大可用长度为15米)，现用长为34米的篱笆(篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分)，围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践.设垂直于墙的篱笆边AB长为x米.

(1)求当x为何值时，围成的菜地面积为81平方米；

(2)求垂直于墙的篱笆边AB长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？24.(本小题8分)

如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD.点O在AC上，以点O为圆心，OA为半径，作⊙O与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若AE=DE=8，求AF的长.25.(本小题8分)

如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−4,0)和点B，与y轴相交于点C(0,4).

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P.探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.26.(本小题10分)

【问题情境】(1)点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点.若⊙O的半径为2，且OA=5，则点P到点A的最长距离为______；

【直接运用】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值；

【灵活运用】(3)如图3，⊙O的直径为8，弦AB=43，点C为优弧AB上的一动点，AM⊥AC，交直线CB于点M，求△ABM

参考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.C

8.B

9.30∘10.4π

11.144∘12.8

13.214解：(13)−215.解：解不等式2x−1<9得，x<−4，

解不等式1−x≥x+23得，x≤14，

16.解：原式=[x2−2x+4x−1+(2−x)(x−1)x−1]17.解：

圆O就是所求作的圆．

18.解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，

在Rt△DBC中，∠BDC=90∘，∠B=30∘，BC=12，

∴CD=BC⋅sinB=12×12=6，BD=BC⋅cosB=12×32=63，

19.(1)证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠CAD，

∵AC2=AB⋅AD，

∴ABAC=ACAD，

∴△ABC∽△ACD；

(2)解：∵AB=5，BC=3，

∴AC=AB20.解：由题意知，CD=EF=1.6m，DG=2.8m，DF=1.5m，GH=1.7m，

∴FH=2.8−1.5+1.7=3m，

∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，

∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，

∴CDAB=DGBG，EFAB=FHBH，

∴DGBG=FHBH，即2.8BD+2.8=321.解：(1)∵A=4x2+5x+6，B=−3x2−x−2，C=x2+4x，

∴P=A−B+C，=(4x2+5x+6)−(−3x2−x−2)+(x2+4x)=4x2+5x+6+3x2+x+2+x2+4x=8x2+10x+8，

当x=2时，P=8×22+10×2+8=32+20+8=60；

(2)由(1)得A−B+C=8x2+10x+8，结果不是常数，同理C−B+A=8x2+10x+822.解：如图，连接OG，

∵AG的度数为70∘，

∴∠AOG=70∘，

∵OA=OG，

∴∠OAG=∠OGA=12×(18023.解：(1)∵篱笆的总长为34米，设垂直于墙的篱笆边AB长为x米，

则BC=34+2−3x=(36−3x)米，

依题意得：x(36−3x)=81，

整理得：x2−12x+27=0，

解得：x1=3，x2=9，

当x=3时，36−3x=36−3×3=27>15，不符合题意，舍去；

当x=9时，36−3x=36−3×9=9<15，符合题意，

∴当x=9时，围成的菜地面积为81平方米；

(2)设围成菜地的面积为S平方米，

∵墙的最大可用长度为15米，

∴0<BC≤15，即0<36−3x≤15，

解得7≤x<12，

根据题意得：S=x(36−3x)=−3x2+36x=−3(x−6)2+108，

∵−3<0，

∴当x=6时，S有最大值，最大值为24.(1)证明：连接OD，

∵AO平分∠BAD，

∴∠BAO=∠DAO，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠ABO，∠ADO=∠DAO，

∴∠BOC=2∠BAO，∠DOC=2∠DAO，

∴∠BOC=∠DOC，

∵OB=OD，OC=OC，

∴△BOC≌△DOC(SAS)，

∴∠OBC=∠ODC，

∵⊙O与BC相切于点B，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90∘，

∴∠ODC=90∘，

即OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：∵OA=OD，AE=DE=8，

∴OE垂直平分AD，∠DAE=∠ADE，

∴∠AFE=90∘，

∵∠ADE=∠ABE，

∴∠DAE=∠ABE，

∵∠BAO=DAO=∠ABO，

∴∠BAO=DAO=∠DAE，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BAE=90∘，

∴∠BAO=DAO=∠DAE=25.解：(1)已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A(−4,0)和点B，与y轴相交于点C(0,4).将点A，点C的坐标代入得：

−16−4b+c=0c=4，

解得：b=−3c=4，

∴抛物线的解析式为y=−x2−3x+4；

(2)存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似；理由如下：

设直线AC解析式为y=kx+n，将点A，点C的坐标代入得：

−4k+n=0n=4，

解得：k=1n=4，

∴直线AC解析式为y=x+4；

设点P坐标为(m,−m2−3m+4)，

∵PD⊥x轴，

∴点Q的坐标为(m,m+4)，

∴PQ=−m2−3m+4−(m+4)=−m2−4m；

当△ADQ∽△CPQ时；

如图，连接PC，

则∠PCQ=∠DAQ，∠CPQ=∠ADQ=90∘，

∴PC=−m，

∵A(−4,0)，C(0,4)，

∵OA=OC=4，

∴∠DAO=∠ACO=45∘，

∴∠PCQ=∠DAQ=45∘，

∴∠PCQ=∠PQC=45∘，

∴PQ=PC，

即−m2−4m=−m，

解得：m=−3，m=0(舍去)，

此时P(−3,4)；

当△ADQ∽△PCQ时，

则∠PCQ=∠ADQ=90∘，∠QPC=∠QAD=45∘，

则有∠PQC=∠QPC=45∘，

∴PC=QC；

过点C作CE⊥PQ于E，则PQ=2CE26.解：(1)如图1，当点O，P，A三点共线，点P在点O左侧时，点P到点A的距离最长．

∵点P是⊙O上一动点，⊙O的半径为2，OA=5，

∴AP=OP+OA=2+5=7，

∴点P到点A的最长距离为7.

(2)如图2，连接OA，交半圆于点P'，连接OP.

∵AC=BC=2，BC为半圆的直径，

∴OP=OC=12BC=1.

∵∠ACB=90∘，

∴OA=AC2+OC2=22+12=5

∵AP≥O