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文档简介
云南省沾益县一中2025年高三下学期“三诊”模拟考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数()的最小值为0,则()A. B. C. D.2.已知,若则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是()A.18种 B.36种 C.54种 D.72种4.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年5.若与互为共轭复数,则()A.0 B.3 C.-1 D.46.已知的内角的对边分别是且,若为最大边,则的取值范围是()A. B. C. D.7.设复数满足,则()A. B. C. D.8.点是单位圆上不同的三点,线段与线段交于圆内一点M,若,则的最小值为()A. B. C. D.9.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().A. B. C. D.10.已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为A. B. C. D.11.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.012.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点处的切线方程为______.14.若存在直线l与函数及的图象都相切,则实数的最小值为___________.15.若函数在区间上恰有4个不同的零点,则正数的取值范围是______.16.已知函数,若的最小值为,则实数的取值范围是_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,三人各射击一次,击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求实数的取值范围.18.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表:并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出人,进行体育锻炼体会交流.(i)求这人中,男生、女生各有多少人?(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,记这人中女生的人数为,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.临界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63519.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、.试判断是否为定值,并说明理由.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).点在曲线上,点满足.(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求动点的轨迹的极坐标方程;(2)点,分别是曲线上第一象限,第二象限上两点,且满足,求的值.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)设点的极坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.22.(10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为(α为参数).以直角坐标系原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
设,计算可得,再结合图像即可求出答案.【详解】设,则,则,由于函数的最小值为0,作出函数的大致图像,结合图像,,得,所以.故选:C本题主要考查了分段函数的图像与性质,考查转化思想,考查数形结合思想,属于中档题.2.C【解析】
根据,得到有解,则,得,,得到,再根据,有,即,可化为,根据,则的解集包含求解,【详解】因为,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因为,所以,即,可化为,因为,所以的解集包含,所以或,解得,故选:C本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题,3.B【解析】
把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组,为1人、1人、2人,再把这三组分配到3个乡镇,则不同的分配方案有种.故选:.本题考查排列组合,属于基础题.4.D【解析】
先理解题意,然后根据题意建立平面几何图形,在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,即可得到正确选项.【详解】解:由题意,可设冬至日光与垂直线夹角为,春秋分日光与垂直线夹角为,则即为冬至日光与春秋分日光的夹角,即黄赤交角,将图3近似画出如下平面几何图形:则,,.,估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年.故选:.本题考查利用三角函数解决实际问题的能力,运用了两角和与差的正切公式,考查了转化思想,数学建模思想,以及数学运算能力,属中档题.5.C【解析】
计算,由共轭复数的概念解得即可.【详解】,又由共轭复数概念得:,.故选:C本题主要考查了复数的运算,共轭复数的概念.6.C【解析】
由,化简得到的值,根据余弦定理和基本不等式,即可求解.【详解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因为为三角形的最大角,所以,又由余弦定理,当且仅当时,等号成立,所以,即,又由,所以的取值范围是.故选:C.本题主要考查了代数式的化简,余弦定理,以及基本不等式的综合应用,试题难度较大,属于中档试题,着重考查了推理与运算能力.7.D【解析】
根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.本题考查复数的四则运算,属基础题.8.D【解析】
由题意得,再利用基本不等式即可求解.【详解】将平方得,(当且仅当时等号成立),,的最小值为,故选:D.本题主要考查平面向量数量积的应用,考查基本不等式的应用,属于中档题.9.A【解析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选.10.D【解析】
如图所示,设依次构成等差数列,其公差为.根据椭圆定义得,又,则,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故选D.11.C【解析】
根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.12.C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
对函数求导,得出在处的一阶导数值,即得出所求切线的斜率,再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令,,所以,又,所求切线方程为,即.故答案为:.本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程,关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率,属于基础题.14.【解析】
设直线l与函数及的图象分别相切于,,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为,所以函数的图象在点处的切线方程为,即,因为存在直线l与函数及的图象都相切,所以,所以,令,设,则,当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以,所以实数的最小值为.15.;【解析】
求出函数的零点,让正数零点从小到大排列,第三个正数零点落在区间上,第四个零点在区间外即可.【详解】由,得,,,,∵,∴,解得.故答案为:.本题考查函数的零点,根据正弦函数性质求出函数零点,然后题意,把正数零点从小到大排列,由于0已经是一个零点,因此只有前3个零点在区间上.由此可得的不等关系,从而得出结论,本题解法属于中档题.16.【解析】
,可得在时,最小值为,时,要使得最小值为,则对称轴在1的右边,且,求解出即满足最小值为.【详解】当,,当且仅当时,等号成立.当时,为二次函数,要想在处取最小,则对称轴要满足并且,即,解得.本题考查分段函数的最值问题,对每段函数先进行分类讨论,找到每段的最小值,然后再对两段函数的最小值进行比较,得到结果,题目较综合,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
ξ的数学期望为E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范围是.18.(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列见解析.【解析】
(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数,由表格得达标人数,从而得男生中达标人数,这样不达标人数随之而得,然后计算可得结论;(2)由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数,总共选2人,女生有4人,的可能值为0,1,2,分别计算概率得分布列,再由期望公式可计算出期望.【详解】(1)列出列联表,,所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.(2)(i)在“锻炼达标”的学生中,男女生人数比为,用分层抽样方法抽出人,男生有人,女生有人.(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,人中女生的人数为,则的可能值为,,,则,,,可得的分布列为:可得数学期望.本题考查列联表与独立性检验,考查分层抽样,随机变量的概率分布列和期望.主要考查学生的数据处理能力,运算求解能力,属于中档题.19.(1)(2)为定值.【解析】
(1)根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程.(2)根据题意设直线方程:,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得①把和代入,得和,,的表达式,比即可得出为定值.【详解】解:(1)依题意,,,.所以椭圆的标准方程为.(2)为定值.①因为直线分别与直线和直线相交,所以,直线一定存在斜率.②设直线:,由得,由,得.①把代入,得,把代入,得,又因为,所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即为定值.本题考查椭圆的定义、方程、
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