数学预习导航：角的概念的推广

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．理解任意角的概念，注意任意角的三个要素：顶点、始边、终边．用旋转的观点来定义角，抓住：(1）旋转方向；(2)旋转大小．2．理解并掌握终边相同的角，会将角放在坐标系中去体会．3．掌握象限角及轴线角的表示．1．任意角(1）角的定义．①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边．②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量，旋转生成的角,又常叫做转角．（2）角的记法．用一个希腊字母表示;用三个大写的英文字母表示（字母前面要写“∠”）．(3)角的分类．任意角定义正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有作任何旋转而成的角（4）角的运算．引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．归纳总结(1）掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．(2）高中阶段所说的角实际上是初中平面几何中“角是从一点出发的两条射线所组成的图形”的概念的推广，这里重点强调“角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的”这一运动的观点．（3)角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转"两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．2．终边相同的角设α表示任意角，所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和的形式．归纳总结(1）α为任意角．（2)k·360°－α，k∈Z可理解为k·360°＋（－α)，k∈Z．(3）相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．（4)k∈Z这一条件不可少．(5）零角的始边和终边相同，但始边和终边相同的角并不一定是零角．自主思考1已知介于两个角之间的角的集合叫做区间角,如{x｜60°<x〈120°}．介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，如何表示两条终边之间的区域角？提示：(1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，再在它的两端加上k·360°，k∈Z即可．（2)若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时,可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角,在此区间角的两端分别加上k·180°，k∈Z即可．例如，求终边落在如图阴影内（包括边界)的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角｛α|45°≤α≤60°}，故终边落在如图阴影内(包括边界）的角的集合为{α｜k·180°+45°≤α≤k·180°+60°，k∈Z｝．3．第几象限的角(1)在平面直角坐标系xOy中，平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时，角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限的角．(2)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．自主思考2第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角有何差别？提示:锐角是0°<α〈90°的角;0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角,包括锐角以及所有负角和零角；第一象限的角是{α|k·360°〈α〈k·360°＋90°，k∈Z｝所表示的角，其中有正角、负角．锐角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限的角的关系用Venn图表示如图所示．自主思考3各象限角与终边在坐标轴上的角的集合如何表示？提示：（1)象限角的集合．象限角集合表示第一象限的角｛α|k·360°〈α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限的角{α|k·360°＋90°〈α<k·360°＋180°，k∈Z｝第三象限的角｛α|k·360°＋180°〈α〈k·360°＋270°，k∈Z｝第四象限的角｛α｜k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}（2）终边在坐标轴上的角的集合．角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上｛α|α＝k·360°,k∈Z｝终边落在x轴的非正半轴上{α｜α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的