2025年高中物理新教材同步 必修第三册 第10章　专题强化　电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题　等分法的应用

专题强化电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题等分法的应用[学习目标]1.会根据电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹判断粒子的受力情况及能量的变化情况(重难点)。2.会利用等分法确定等势面和电场线(重难点)。一、电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法：1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。例1如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在静电力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是()A．vM＜vN，aM>aNB．vM＜vN，φM＜φNC．φM＜φN，EpM＜EpND．aM＜aN，EpM＜EpN答案D解析由粒子的运动轨迹知粒子所受静电力的方向向右偏，因粒子带负电，故电场线方向向左，由沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM<EpN；N点附近电场线比M点密，故电场强度EM<EN，知aM<aN，粒子若从N点运动到M点，静电力做正功，电势能减少，动能增加，故vM>vN，粒子若从M点运动到N点同样可得vM>vN。综上所述，选项D正确。拓展若例1实线为等差等势面，其他条件不变，下列选项正确的是()A．vM＜vN，aM>aN B．vM＜vN，φM＜φNC．φM＜φN，EpM＜EpN D．aM＜aN，EpM＜EpN答案B解析若实线为等差等势面，带电粒子在a点受力如图，因粒子带负电，电场强度与F的方向相反，则φM<φN；若粒子从M点运动至N点，静电力做正功，故EpM>EpN，vM<vN，若粒子从N点运动至M点，静电力做负功，仍有EpM>EpN，vM<vN，根据等势面疏密知，EM<EN，故aM<aN，因此选B。1．在解决带电粒子在电场中运动轨迹问题时，要分清题目中是电场线还是等势线，一般选择轨迹与电场线(等势线)的交点进行分析。2．判断静电力的方向时，若题目已知电场线，过交点作电场线的切线，结合轨迹确定具体的静电力的方向；若题目已知等势线，过交点作等势线切线的垂线，结合轨迹确定具体的静电力方向。二、等分法确定等势面和电场线例2(1)如图甲，在匀强电场中，有A、B、C三点，其中B为AC的中点，则UAB________UBC(填“>”“<”或“＝”)，φB＝______________(用φA、φC表示)。(2)如图乙所示，若线段ABC与匀强电场夹角为θ，B为AC的中点，则φB＝______________(用φA、φC表示)。(3)如图丙所示，若未知匀强电场的方向，B仍为线段AC的中点，φB＝__________(用φA、φC表示)。答案(1)＝eq\f(φA＋φC,2)(2)eq\f(φA＋φC,2)(3)eq\f(φA＋φC,2)匀强电场中任一线段AC的中点B的电势φB＝eq\f(φA＋φC,2)。拓展1(1)A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15V、φB＝9V、φC＝－3V，由此可知φD＝______V。(2)A、B、C、D为下列图形中的四个点，若A、B、C三点的电势分别为φA＝15V、φB＝9V、φC＝－3V，则φD＝________V。答案(1)3(2)3解析(1)方法一作辅助线AC、BD，交于O点，φO＝eq\f(φA＋φC,2)＝eq\f(φB＋φD,2)，故φA＋φC＝φB＋φD，解得φD＝3V。方法二因AB∥CD，且dAB＝dCD，则UAB＝UDC，φA－φB＝φD－φC，解得φD＝3V。(2)甲中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3V；乙中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3V；丙中φA＋φC＝φB＋φD，得φD＝3V。1．匀强电场中，关于同一点对称的任意两点的电势之和相等；2．匀强电场中，若两线段平行且相等，两线段两端电势差相等。拓展2在图中，作出拓展1中过A点的电场线。答案如图，将AC三等分，标上三等分点E、F，根据匀强电场中沿电场线方向相等距离，电势差相等，知φE＝9V，φF＝3V。分别连接BE、DF，BE为9V的等势线，DF为3V的等势线，过A点作BE(DF)的垂线，电场线沿垂线向下。确定匀强电场的电场方向的方法1．由等分法确定各点电势；2．连接电势相等的点画出等势线；3．根据电场线与等势面垂直画出电场线；4．由电势高的等势面指向电势低的等势面标出电场线的方向。例3如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/m答案A解析方法一在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d＝OCsinα，而sinα＝eq\f(\x\to(OB),\r(OB2＋OC2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)OC＝1.5×10－2m，匀强电场的电场强度大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故选项A正确。方法二UBO＝3V，电场强度在y轴的分量Ey＝eq\f(UBO,BO)＝100eq\r(3)V/m，方向沿y轴负方向UAO＝6V，电场强度在x轴的分量Ex＝eq\f(UAO,AO)＝100V/m，方向沿x轴负方向E＝eq\r(Ex2＋Ey2)＝200V/m。求匀强电场电场强度大小常用的方法方法一：确定两等势面间电势差U及等势面之间距离d，利用E＝eq\f(U,d)计算电场强度大小。方法二：分别利用Ex＝eq\f(Ux,dx)和Ey＝eq\f(Uy,dy)计算两个相互垂直方向上的电场强度大小，再利用矢量合成求出合电场强度的大小。1．(2024·黑龙江省哈尔滨市九中高二期中)图中虚线为匀强电场中与电场强度方向垂直的等间距平行直线，两粒子M、N比荷相等，电性相反。现将M、N从虚线上的O点以相同速率射出，两粒子在电场中运动的轨迹分别如图中两条实线所示。点a、b、c为实线与虚线的交点，已知O点电势高于c点。若不计重力，则()A．M带负电荷，N带正电荷B．N在a点的速度与M在c点的速度大小相等C．N在a点的动能与M在c点的动能一定相同D．N从O点运动至a点的过程中电势能增加答案B解析虚线为匀强电场中与电场强度方向垂直的等间距平行直线，即虚线为等差等势线，O点电势高于c点，沿着电场线的方向电势降低，可知匀强电场电场线的方向如图所示结合曲线运动的轨迹可知，M粒子所受静电力方向与电场线方向相同，M粒子带正电，N粒子所受静电力方向与电场线方向相反，N粒子带负电，A错误；a、O、c三点分别在连续的等差等势线上，且两粒子M、N比荷相等，M粒子带正电，N粒子带负电，结合曲线可知，N从O点运动至a点和M从O点运动至c点过程中根据动能定理qU＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02变形为eq\f(2qU,m)＝v2－v02可知N在a点的速度大小与M在c点速度大小相等，B正确；由于M、N粒子的电荷量未知，静电力做功大小不一定相等，N在a点的动能与M在c点的动能不一定相同，C错误；N从O点运动至a点的过程中，静电力做正功，电势能减少，D错误。2．(2024·长沙市高二期末)P、Q、M是在同一平面上匀强电场中的三个点，已知各点电势φP＝10V、φQ＝2V、φM＝6V，图中电场强度的方向表示正确的是()答案D解析由题意可知，直线PQ中点的电势为6V，与M点电势相等，匀强电场的电场线垂直等势面，电场的方向由电势高处指向电势低处，故选D。3．(2024·哈尔滨市高二期中)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为4V、14V、9V。下列说法正确的是()A．坐标原点处的电势为零B．电场强度的大小为1.5V/cmC．电子在a点的电势能比在b点的小D．电子从b点运动到c点，电子克服静电力做功5eV答案D解析因为是匀强电场，所以有φc－φa＝φb－φO可得φO＝9V，A错误；因为φO＝φc＝9V，所以Oc为等势线，bd方向为电场线方向，如图b、d两点的电势差为U＝φb－φd＝5V由几何关系可得，b、d两点的距离为l＝4.8cm根据E＝eq\f(U,l)可得E＝eq\f(25,24)V/cm，B错误；根据负电荷在电势高的地方电势能小，因为φa<φb，所以电子在a点的电势能比在b点的大，C错误；电子从b点运动到c点，静电力做功为W＝－eUbc＝－e(φb－φc)＝－5eV所以电子从b点运动到c点，电子克服静电力做功5eV，D正确。专题强化练[分值：60分]1～7题每题4分，共28分考点一电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题1．若带正电荷的微粒在电场中运动，只受静电力作用，它在任意一段时间内()A．一定沿电场线由高电势处向低电势处运动B．一定沿电场线由低电势处向高电势处运动C．不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动D．不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动答案D解析微粒的运动情况取决于合力和初速度的关系，微粒只受到静电力的作用，是否沿电场线运动，还要看电场线是直线还是曲线，微粒有没有初速度及初速度方向与电场线的关系；只有当电场线是直线且微粒的运动方向沿着电场线时，微粒才沿电场线运动，微粒不一定由高电势处向低电势处运动，故A、B、C错误，D正确。2.(多选)(2023·天津市实验中学高二期中)如图所示，虚线a、b、c代表电场中三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一带正电的质点仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知()A．三个等势面中，a的电势最高B．质点通过P点时电势能大于通过Q点时的电势能C．质点通过P点时动能大于通过Q点时的动能D．质点通过P点时加速度大于通过Q点时的加速度答案BD解析质点所受静电力指向运动轨迹凹侧，且沿电场线切线方向，由于质点带正电，电场线与等势面垂直，故该区域的电场线方向由c指向a，由沿电场线方向电势降低可知，c等势面的电势最高，a等势面的电势最低，A错误；若质点从P运动到Q，根据质点受力情况可知，运动过程中静电力做正功，电势能减小，故通过P点的电势能大于Q点的电势能，若质点从Q运动到P，静电力做负功，在P点的电势能大于在Q点的电势能，B正确；从P到Q过程中静电力做正功，电势能减小，动能增大，从Q到P的运动过程中静电力做负功，电势能增大，动能减小，故通过P点的动能小于Q点的动能，C错误；等差等势面越密的地方电场强度越大，故质点通过P点时电场强度大，静电力大，根据牛顿第二定律可知，质点通过P点时的加速度大于通过Q点时的加速度，D正确。3.(多选)负点电荷Q固定在正方形的一个顶点上，带电粒子P仅在该电荷的静电力作用下运动时，恰好能经过正方形的另外三个顶点a、b、c，如图所示，则()A．粒子P带负电B．a、b、c三点的电势高低关系是φa＝φc<φbC．粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小D．粒子P在a、b、c三点时的加速度大小之比是2∶1∶2答案BCD解析由运动轨迹可知，粒子P受静电力作用，粒子带正电，故A错误；a、c与负点电荷Q的距离相等，b点距离负点电荷Q较远。距离负电荷越远，电势越高，故B正确；正电荷在电势越高(低)的位置，电势能越大(小)，粒子P由a到b电势能增加，由b到c电势能减小，故C正确；由几何关系，a、b、c三点到负点电荷Q的距离关系为ra＝rc＝eq\f(\r(2),2)rb，又根据F＝keq\f(Qq,r2)＝ma，得aa∶ab∶ac＝2∶1∶2，故D正确。4.(多选)(2023·吕梁市高二期末)如图所示，在研究电子在电场中的运动时，得到了电子由a点运动到b点的轨迹，图中一组等间距虚线可能是电场线，也可能是等势线，则下列判断正确的有()A．如果虚线是电场线，则a点的电场强度大于b点的电场强度B．如果虚线是电场线，则a点的电势高于b点的电势C．如果虚线是等势线，则a点的电势低于b点的电势D．如果虚线是等势线，则电子由a点运动到b点，电势能减小答案BCD解析若虚线是电场线，由题图可知该电场是匀强电场，故A错误；如果虚线是电场线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向左的静电力，电场线方向向右，则a点的电势高于b点的电势，故B正确；如果虚线是等势线，结合电子的运动轨迹知，电子受到向下的静电力，电场线方向向上，则a点的电势低于b点的电势，故C正确；如果虚线是等势线，电子受到向下的静电力，电子由a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，故D正确。考点二等分法确定等势面和等势线5．(2024·辽宁省名校联盟期中)如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径，已知a、b、c三点的电势分别为φa＝12V、φb＝20V、φc＝24V，则此圆的圆心O与d点的电势差为()A．2VB．3VC．4VD．6V答案A解析根据几何知识知，ab长度等于cd长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝φc－φd，可得φd＝16V，O点的电势φO＝eq\f(φd＋φb,2)＝18V，圆心O与d点的电势差UOd＝φO－φd＝2V，故选A。6．(2024·四川省宁南中学高二期中)如图所示，△ABC为边长为L的正三角形，某匀强电场的电场线与正三角形平面平行，将一个电荷量为q的正电荷若从A点移到B点，静电力做的正功为qU，若从A点移到C点，静电力做的负功为－qU，则下列说法正确的是()A．电场方向由B指向CB．B、C两点电势相等C．电场强度大小为eq\f(U,L)D．若电荷从C点移到B点，静电力所做的正功为2qU答案D解析将一个电荷量为q的正电荷若从A点移到B点，静电力做的正功为qU，若从A点移到C点，静电力做的负功为－qU，由此可以判断，BC中点与A点等势，故电场方向与BC平行，由于静电力从A到C做负功，因此正电荷的电势能增大，A点电势比C点电势低，因此电场方向由C指向B，故A错误；电场方向由C指向B，沿电场方向电势降低，故C点电势大于B点，故B错误；电荷量为q的正电荷若从A点移到B点，静电力做的正功为qU，而A到B沿电场方向的距离为d＝eq\f(L,2)，故由W＝Eqd，得E＝eq\f(W,qd)＝eq\f(qU,q\f(L,2))＝eq\f(2U,L)，故C错误；若电荷从C点移到B点，静电力所做的正功为W＝Eq·2d＝eq\f(2U,L)qL＝2qU，故D正确。7．(多选)(2024·赤峰市高二检测)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为1m的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为4V、5V、6V，正六边形所在平面与电场线平行，下列说法中正确的是()A．直线CD和AF可构成电场中的两条等势线B．匀强电场的电场强度大小为eq\f(\r(3),3)V/mC．匀强电场的电场强度方向由C指向AD．将一个电子由B点移到D点，电子的电势能将减少2eV答案AC解析如图所示，连接AC、BE，根据匀强电场的性质可知，AC中点G电势为5V，与B点电势相等，则EB连线必为一条等势线，由正六边形对称性，CD平行于EB，而匀强电场的等势面平行，则CD直线也是一条等势线，同理，AF直线也为等势线，故A正确；由几何知识可知，CA⊥EB，EB是等势线，则CA连线必为一条电场线，根据沿电场方向电势降低可知，电场强度的方向由C指向A；匀强电场的电场强度大小为E＝eq\f(UCA,dCA)＝eq\f(2,\r(3))V/m＝eq\f(2\r(3),3)V/m，故B错误，C正确；将一个电子由B点移到D点，静电力做功为WBD＝－eUBD＝－e(5V－6V)＝1eV，可知电子的电势能将减少1eV，故D错误。8～10题每题8分，共24分8.(多选)(2023·武冈市高二期中)如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则()A．a一定带正电，b一定带负电B．a加速度减小，b加速度增大C．MN两点电势差|UMN|大于NQ两点电势差|UNQ|D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小答案BC解析粒子受到的合外力应指向轨迹的凹侧，但电场线的方向未知，无法判断带电粒子的电性，故A错误；由题图可知，a往电场线稀疏的区域运动，故静电力变小，加速度变小；b相反，加速度增大，故B正确；由电场线疏密与电场强弱关系可知，MN之间电场强度比NQ之间的电场强度大，且MN＝NQ，由U＝Ed定性分析可知，MN两点间的电势差更大，故C正确；因为不知道两个粒子带电荷量的关系，故无法判断电势能的变化量，也就没有办法比较动能变化量的关系，故D错误。9.(多选)如图，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点。不计粒子重力，下列说法正确的是()A．M带负电，N带正电B．M在b点的动能小于它在a点的动能C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能D．N在从c点运动到d点的过程中克服静电力做功答案ABC解析由M粒子的运动轨迹，可知M粒子受到了引力作用，故M带负电，而N粒子的轨迹向下弯曲，则N粒子所受的静电力方向向下，说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电，故选项A正确；虚线为等势面，对M粒子从a到b的整个过程来说，静电力对其做负功，动能减小，故选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，故从d到e的整个过程静电力不做功，电势能不变，故选项C正确；由于N粒子带正电，故从c点运动到d点的过程中，