2024年中考数学真题专题分类汇编专题32 最值问题（解析版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题32最值问题

一、选择题

2

1.（2024四川乐山）已知二次函数yx2x1xt1，当x=1时，函数取得最大值；当

x1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（）

A.0t2B.0t4C.2t4D.t2

【答案】C

【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性

质是解题的关键．

2

由yx22xx11，可知图象开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为1，1，当x=1

时，y3，即1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，由当x=1时，函数取得最大值；当x1时，

函数取得最小值，可得1t13，计算求解，然后作答即可．

2

【详解】∵yx22xx11，

∴图象开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为1，1，

当x=1时，y3，

∴1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，

∵当x=1时，函数取得最大值；当x1时，函数取得最小值，

∴1t13，

解得，2t4，

故选：C．

2.（2024四川南充）如图，在RtABC中，C90，B30，BC6，AD平分CAB交

BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（）

A.2B.3C.2D.3

【答案】C

【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得BAC和AC，

结合角平分线的性质得到CAD和DC，当DEAB时，线段DE长度的最小，结合角平线的性

质可得DEDC即可．

【详解】∵C90，B30，

∴BAC60，

AC

在RtABC中，tanB，解得AC23，

CB

∵AD平分CAB，

∴CAD30，

DC

∴tanCAD，解得DC2，

CA

当DEAB时，线段DE长度的最小，

∵AD平分CAB，

∴DEDC2．

故选∶C．

3.（2024四川南充）当2x5时，一次函数y(m1)xm21有最大值6，则实数m的值

为（）

A.3或0B.0或1C.5或3D.5或1

【答案】A

【解析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当m10时和当

m10，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．

【详解】当m10即m1时，一次函数y随x的增大而增大，

∴当x5时，y6，

即5(m1)m216，

整理得：m25m0

解得：m0或m5（舍去）

当m10即m1时，一次函数y随x的增大而减小，

∴当x2时，y6，

即2(m1)m216，

整理得：m22m30

解得：m3或m1（舍去）

综上，m0或m3，

故选：A

4.（2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，

且满足AEBF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG2GB，

1

则OMFG的最小值是（）

2

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【解析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等

等，先证明ADE≌BAFSAS得到ADEBAE，进而得到DOF90，则由直角三角

1

形的性质可得OMDF，如图所示，在AB延长线上截取BHBG，连接FH，易证明

2

FBG≌FBHSAS，则FHFG，可得当H、D、F三点共线时，DFHF有最小值，即此

1

时OMFG有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出AH8，在RtADH中，由勾股定

2

1

理得DHAD2AH210，责任OMFG的最小值为5．

2

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴ADAB，∠DAB∠ABC90，

又∵AEBF，

∴ADE≌BAFSAS，

∴ADEBAF，

∴DOFADODAOBAFDAODAB90，

∵点M是DF的中点，

1

∴OMDF；

2

如图所示，在AB延长线上截取BHBG，连接FH，

∵∠FBG∠FBH90，FBFB，BGBH，

∴FBG≌FBHSAS，

∴FHFG，

1111

∴OMFGDFHFDFHF，

2222

1

∴当H、D、F三点共线时，DFHF有最小值，即此时OMFG有最小值，最小值即为DH的

2

长的一半，

∵AG2GB，AB6，

∴BHBG2，

∴AH8，

在RtADH中，由勾股定理得DHAD2AH210，

1

∴OMFG的最小值为5，

2

故选：B．

5.（2024四川宜宾）如图，在ABC中，AB32,AC2，以BC为边作RtBCD，BCBD，

点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（）

A.232B.622C.5D.8

【答案】D

【解析】如图，把ABC绕B顺时针旋转90得到△HBD，求解AHAB2BH26，结合

ADDHAH，（A,H,D三点共线时取等号），从而可得答案．

【详解】解：如图，把ABC绕B顺时针旋转90得到△HBD，

∴ABBH32，ACDH2，ABH90，

∴AHAB2BH26，

∵ADDHAH，（A,H,D三点共线时取等号），

∴AD的最大值为628，

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做

出合适的辅助线是解本题的关键．

6.（2024四川达州）如图，ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB4，点D，E分别在

2AE

AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足ADCE，则下列结论：①2；

2BD

②DFE135；③△ABF面积的最大值是424；④CF的最小值是21022．其中正确

的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】过点B作BMAC于点M，证明ABE∽BMD，根据相似三角形的性质即可判断①；

得出BAEMBD，根据三角形内角和定理即可判断②；在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直

角三角形AOB，以OA为半径作O，根据定弦定角得出F在O的AB上运动，进而根据当

OFAB时，△ABF面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当F在OC上时，

FC最小，过点O作OHBC交CB的延长线于点H，勾股定理，即可求解．

【详解】如图所示，过点B作BMAC于点M，

∵ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB4，

∴ABBC，ACAB2BC22BC，

2

∵ADCE，

2

11222

∴DMACAD2BCCEBCCEBE

22222

DMAD2

∴

BECE2

又∵DMBEBA90

∴ABE∽BMD，

AEAB

∴2，故①正确；

BDBM

∵ABE∽BMD，

∴BAEMBD，

∴BAEABDMBDABD

即180BAEABD180MBDABD

在△ABF中，AFB180BAEABD

即AFB180MBDABD

∵ABC是等腰直角三角形，BMAC

∴BM平分ABC

1

∴ABMCBMABC45

2

∴AFB180MBDABD180ABM135

∴AFB180BAEABD135，

∴DFE135，故②正确，

如图所示，

在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形AOB，以OA为半径作O，且AB4

∴AOB90，OAOB，ABOA2OB22OA4

∵AFB135

1

∴DFEAOB180

2

∴F在O的AB上运动，

22

∴OFAOAB422，

22

连接OF交AB于点G，则AGGB2，

∴当OFAB时，结合垂径定理，OG最小，

∵OF是半径不变

∴此时CF最大

则△ABF面积的最大，

∴

SABF2SAGF2SAOFSAOG

112

2OFAGOG

22

22222

424，故③正确；

如图所示，当F在OC上时，FC最小，过点O作OHBC交CB的延长线于点H，

∴OHB是等腰直角三角形，

22

∴OHHBOBOA2，

22

在RtOHC中，HCHBBC6，

∴OC2262210，

∴CF的最小值是21022．

故选：D．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最

值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

二、填空题

1.（2024四川广安）如图，在YABCD中，AB4，AD5，ABC30，点M为直线BC上

一动点，则MAMD的最小值为______．

【答案】41

【解析】如图，作A关于直线BC的对称点A，连接AD交BC于M，则AHAH，AHBC，

AMAM，当M,M重合时，MAMD最小，最小值为AD，再进一步结合勾股定理求解即

可.

【详解】解：如图，作A关于直线BC的对称点A，连接AD交BC于M，则AHAH，

AHBC，AMAM，

∴当M,M重合时，MAMD最小，最小值为AD，

∵AB4，ABC30，在YABCD中，

1

∴AHAB2，AD∥BC，

2

∴AA2AH4，AAAD，

∵AD5，

∴AD425241，

故答案为：41

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质

及掌握各知识点是解题的关键．

2.（2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,2，过点B作y轴的

垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则POPA的最小值为______．

【答案】5

【解析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线l的对称

点A，连AO交直线l于点C，连AC，得到ACAC，AAl，再由轴对称图形的性质和两点

之间线段最短，得到当O,P,A三点共线时，POPA的最小值为AO，再利用勾股定理求AO即

可．

【详解】取点A关于直线l的对称点A，连AO交直线l于点C，连AC，

则可知ACAC，AAl，

∴POPAPOPAAO，

即当O,P,A三点共线时，POPA的最小值为AO，

∵直线l垂直于y轴，

∴AAx轴，

∵A3,0，B0,2，

∴AO3,AA4，

∴在RtAAO中，

AOOA2AA232425，

故答案为：5

3.（2024江苏扬州）如图，已知两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，ABl2于点B，点C、D

分别是l1、l2上的动点，且满足ACBD，连接CD交线段AB于点E，BHCD于点H，则当

BAH最大时，sinBAH的值为_____．

1

【答案】

3

1

【解析】证明ACE≌BDEASA，得出BEAEAB，根据BHCD，得出BHE90，

2

说明点H在以BE为直径的圆上运动，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB为半径画圆，则点H

在O上运动，说明当AH与O相切时BAH最大，得出OHAH，根据

OHOE1

AOAEOE3OE，利用sinBAH，即可求出结果．

AO3OE3

【详解】解：∵两条平行线l1、l2，点A是l1上的定点，ABl2于点B，

∴点B为定点，AB的长度为定值，

∵l1∥l2，

∴ACEBDE，∠CAE∠DBE，

∵ACBD，

∴ACE≌BDEASA，

1

∴BEAEAB，

2

∵BHCD，

∴BHE90，

∴点H在以BE为直径的圆上运动，

如图，取线段BE的中点O，以点O为圆心，OB为半径画圆，

则点H在O上运动，

∴当AH与O相切时BAH最大，

∴OHAH，

∵AEOB2OE，

∴AOAEOE3OE，

∵OHOE，

OHOE1

∴sinBAH，

AO3OE3

1

故答案为：．

3

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直

角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．

5

4.（2024四川广元）如图，在ABC中，AB5，tanC2，则ACBC的最大值为______．

5

【答案】52

【解析】过点B作BDAC，垂足为D，如图所示，利用三角函数定义得到

5

ACBCACDC，延长DC到E，使ECCDx，连接BE，如图所示，从而确定

5

5

ACBCACDCACCEAE，E45，再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在

5

5

O上运动，AE是O的弦，求ACBC的最大值就是求弦AE的最大值，即AE是直径时，

5

取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案．

【详解】解：过点B作BDAC，垂足为D，如图所示：

tanC2，

在RtBCD中，设DCx，则BD2x，由勾股定理可得BC5x，

DCx55

，即BCDC，

BC5x55

5

ACBCACDC，

5

延长DC到E，使ECCDx，连接BE，如图所示：

5

ACBCACDCACCEAE，

5

BDDE，DE2xBD，

BDE是等腰直角三角形，则E45，

在ABE中，AB5，E45，由辅助圆-定弦定角模型，作ABE的外接圆，如图所示：

5

由圆周角定理可知，点E在O上运动，AE是O的弦，求ACBC的最大值就是求弦AE

5

的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图所示：

AE是O的直径，

ABE90，

E45，

ABE是等腰直角三角形，

AB5，

5

BEAB5，则由勾股定理可得AEAB2BE252，即ACBC的最大值为52，

5

故答案为：52．

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性

质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法

是解决问题的关键．

5.（2024河南省）如图，在Rt△ABC中，ACB90，CACB3，线段CD绕点C在平面

内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD1，则AE的最大值为_________，最小

值为_________.

【答案】①.221##122②.221##122

【解析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以AB为直径的圆上，根据

AEABcosBAE，得出当cosBAE最大时，AE最大，cosBAE最小时，AE最小，根据

当AE与C相切于点D，且点D在ABC内部时，BAE最小，AE最大，当AE与C相切于

点D，且点D在ABC外部时，BAE最大，AE最小，分别画出图形，求出结果即可．

【详解】∵ACB90，CACB3，

1

∴BACABC9045，

2

∵线段CD绕点C在平面内旋转，CD1，

∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，

∵BE⊥AE，

∴AEB90，

∴点E在以AB为直径的圆上，

在Rt△ABE中，AEABcosBAE，

∵AB为定值，

∴当cosBAE最大时，AE最大，cosBAE最小时，AE最小，

∴当AE与C相切于点D，且点D在ABC内部时，BAE最小，AE最大，连接CD，CE，

如图所示：

则CDAE，

∴ADCCDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵，

ACAC

∴∠CED∠ABC45，

∵CDE90，

∴CDE为等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最大值为221；

当AE与C相切于点D，且点D在ABC外部时，BAE最大，AE最小，连接CD，CE，如

图所示：

则CDAE，

∴CDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵四边形ABCE为圆内接四边形，

∴∠CEA180∠ABC135，

∴∠CED180∠CEA45，

∵CDE90，

∴CDE为等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最小值为221；

故答案为：221；221．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的

性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出AE取最大

值和最小值时，点D的位置．

6.（2024四川宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若MAN45，

则MN的最小值为___________．

【答案】222##222

【解析】将△ADN顺时针旋转90得到ABP，再证明MAP≌MANSAS，从而得到

MNMPBMBPBMDN，再设设CNa，CMb，得到MN2ab，利用勾股

2

定理得到CN2CM2MN2，即a2b22ab，整理得到2a2b2，从而利用

完全平方公式得到MN2ab222a2b，从而得解．

【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1，

∴ADABBCCD1，BADABCCD90，

将△ADN顺时针旋转90得到ABP，则ADN≌ABP，

∴DANBAP，DABP90，ANAP，DNBP，

∴点P、B、M、C共线，

∵MAN45，

∴MAPMABBAPMABDAN90MAN45MAN，

∵APAN，MAPMAN，AMAM，

∴MAP≌MANSAS，

∴MPMN，

∴MNMPBMBPBMDN，

设CNa，CMb，则DN1a，BM1b，

∴MNBMDN2ab，

∵C90，

2

∴CN2CM2MN2，即a2b22ab，

整理得：2a2b2，

∴MN2ab

22a2b

22

22a2b

22

22a22a2b2b22a2b

2

22a2b22a2b

222a2b

222，

当且仅当2a2b，即2a2b2，也即ab22时，MN取最小值222，

故答案为：222．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方

公式等知识，证明MNBMDN和得到2a2b2是解题的关键．

7.（2024四川内江）如图，在ABC中，ABC60，BC8，E是BC边上一点，且BE2，

点I是ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PEPC

的最小值为________．

【答案】213

【解析】在AB取点F，使BFBE2，连接PF，CF，过点F作FHBC于H，利用三角形

内心的定义可得出ABDCBD，利用SAS证明BFP≌BEP，得出PFPE，则

PEPCPFPCCF，当C、P、F三点共线时，PEPC最小，最小值为CF，利用含30

的直角三角形的性质求出BH，利用勾股定理求出FH，CF即可．

【详解】在AB取点F，使BFBE2，连接PF，CF，过点F作FHBC于H，

∵I是ABC的内心，

∴BI平分ABC，

∴ABDCBD，

又BPBP，

∴BFP≌BEPSAS，

∴PFPE，

∴PEPCPFPCCF，

当C、P、F三点共线时，PEPC最小，最小值为CF，

∵FHBC，ABC60，

∴BFH30，

1

∴BHBF1，

2

∴FHBF2BH23，CHBCBH7，

∴CFCH2FH2213，

∴PEPC的最小值为213．

故答案为：213．

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，勾股定

理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含30的直角三角形是解题的关键．

三、解答题

2

1.（2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度hm满足关系式h5tv0t，其

中ts是物体运动的时间，v0m/s是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从

地面竖直向上发射小球．

（1）小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．

（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．

（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次

间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．

v

【答案】（1）0

10

（2）20m/s

（3）小明的说法不正确，理由见解析

【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；

v

（2）把t0，h20代入h5t2vt求解即可；

100

（3）由（2），得h5t220t，把h15代入，求出t的值，即可作出判断.

【小问1详解】

2

解：h5tv0t

2

vv2

5t00，

1020

v

∴当t0时，h最大，

10

v

故答案为：0；

10

【小问2详解】

解：根据题意，得

v

当t0时，h20，

10

2

∴v0v0，

5v020

1010

∴v020m/s（负值舍去）；

【小问3详解】

解：小明的说法不正确．

理由如下：

由（2），得h5t220t，

当h15时，155t220t，

解方程，得，，

t11t23

∴两次间隔的时间为312s，

∴小明的说法不正确．

2.（2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数yx22axa3的最值问

题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

（1）老师给出a4，求二次函数yx22axa3的最小值．

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，

并整理成下表：

a…42024…

x…*2024…

y的最小值…*93515…

注：*为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取xa，就能得到y的最小值．”

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，

所以我猜想y的最小值中存在最大值．”

（2）请结合函数解析式yx22axa3，解释甲同学的说法是否合理？

（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

11

【答案】（1）①yx28x7；②当x4时，y有最小值为23（2）见解析（3）正确，

4

【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：

（1）①把a4代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；

（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；

（3）将一般式转化为顶点式，表示出y的最大值，再利用二次函数求最值即可．

【详解】解：（1）①把a4代入yx22axa3，得：

yx224x43x28x7；

∴yx28x7；

2

②∵yx28x7x423，

∴当x4时，y有最小值为23；

2

（2）∵yx22axa3xaa2a3，

∵抛物线的开口向上，

∴当xa时，y有最小值；

∴甲的说法合理；

（3）正确；

2

∵yx22axa3xaa2a3，

∴当xa时，y有最小值为a2a3，

2

即：2111，

yminaa3a

24

111

∴当a时，ymin有最大值，为．

24

3.（2024江苏连云港）【问题情境】

（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正

方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小

正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

【操作实践】

（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕

按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内

一点P为端点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】

（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP

存在最大值．若PE8，PF5，当DAP最大时，求AD的长；

（4）如图6，在Rt△ABC中，C90，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若

ACCD5，BCCE8，求AEBD的最小值．

【答案】（1）2（2）PA2PC2PB2PD2（3）AD39（4）89

【解析】【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；

（2）如图，由EGFH，证明a2c2b2d2，再结合图形变换可得答案；

（3）如图，将△PDC绕点P逆时针旋转，可得D在以P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD

与P相切时，DAP最大，再进一步解答即可；

（4）如图，将BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，

连接D1E1，再将ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得B1D1E2，由（2）可得：

AEBDD1E2BD1，当E2,D1,B三点共线时，AEBDD1E2BD1最短，再进一步解答即

可.

【详解】解：如图，

∵正方形ABCD，EFGH及圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接正方形，

∴设AEDEDHCHCGBGAFBFm，A90，

∴ABAD2m，EFm2m22m，

2

∴S4m2，2，

正方形ABCDS正方形EFGH2m2m

∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．

（2）如图，∵EGFH，

∴a2OF2OE2，c2OG2OH2，

d2OE2OH2，b2OF2OG2，

∴a2c2b2d2，

如图，

结合图形变换可得：PA2PC2PB2PD2；

（3）如图，∵将△PDC绕点P逆时针旋转，

∴D在以P为圆心，PD为半径的圆上运动，

∵A为圆外一个定点，

∴当AD与P相切时，DAP最大，

∴PDAD，

∴AD2AP2PD2，

由（2）可得：AEDF，

∵PE8，PF5，

∴AD2AP2PD2

PE2AE2PF2DF2

8252

=39，

∴AD39；

（4）如图，将BDC沿BC对折，D的对应点为D1，将△AEC沿AC对折，E的对应点为E1，

连接D1E1，

∴CDCD1，CECE1，

再将ABE1沿AC方向平移，使A与D1重合，如图，得B1D1E2，

由（2）可得：AEBDD1E2BD1，

∴当E2,D1,B三点共线时，AEBDD1E2BD1最短，

∵ACCD5，BCCE8，

∴E1E25，BE18，

∴2222；

BE2BE1E1E28589

∴AEBD的最小值为89；

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的

关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

4.（2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好

生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，

每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，

但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

2

【答案】（1）yx220x12000，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元

5

（2）这天售出了64辆轮椅

【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；

（2）令y12160，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可．

【小问1详解】

x22

解：由题意，得：y200x604x20x12000；

105

∵每辆轮椅的利润不低于180元，

∴200x180，

∴x20，

222

∵yx220x12000x2512250，

55

∴当x25时，y随x的增大而增大，

22

∴当x=20时，每天的利润最大，为20251225012240元；

5

答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为12240元；

【小问2详解】

2

当y12160时，x220x1200012160，

5

，

解得：x110x240（不合题意，舍去）；

10

∴60464（辆）；

10

答：这天售出了64辆轮椅．

2

5.（2024山东枣庄）在平面直角坐标系xOy中，点P2,3在二次函数yaxbx3a0的

图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线xm．

（1）求m的值；

（2）若点Qm,4在yax2bx3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得

到新的二次函数的图像．当0x4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

2

（3）设yaxbx3的图像与x轴交点为x1,0，x2,0x1x2．若4x2x16，求a的

取值范围．

【答案】（1）m1

（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为11；

3

（3）a1

8

2

【解析】【分析】（1）把点P2,3代入yaxbx3a0可得b2a，再利用抛物线的

对称轴公式可得答案；

2

（2）把点Q1,4代入yax22ax3，可得：a1，可得抛物线为yx22x3x14，

22

将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：yx145x11，

再利用二次函数的性质可得答案；

3

（）由根与系数的关系可得，，结合2，

3x1x22x1x2xxxx4xx

a211212

4x2x16，再建立不等式组求解即可.

【小问1详解】

解：∵点P2,3在二次函数yax2bx3a0的图像上，

∴4a2b33，

解得：b2a，

∴抛物线为：yax22ax3，

2a

∴抛物线的对称轴为直线x1，

2a

∴m1；

【小问2详解】

解：∵点Q1,4在yax22ax3的图像上，

∴a2a34，

解得：a1，

2

∴抛物线为yx22x3x14，

将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：

22

yx145x11，

∵0x4，

∴当x1时，函数有最小值为1，

2

当x4时，函数有最大值为41110

∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；

【小问3详解】

2

∵yax2ax3的图像与x轴交点为x1,0，x2,0x1x2．

3

∴xx2，xx，

1212a

∵2，

x2x1x1x24x1x2

123

∴xx421，

21aa

∵4x2x16，

33

∴4216即213，

aa

3

解得：a1.

8

【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一

元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.

2

6.（2024天津市）已知抛物线yaxbxca，b，c为常数，a0的顶点为P，且2ab0，

对称轴与x轴相交于点D，点Mm,1在抛物线上，m1，O为坐标原点．

（1）当a1，c1时，求该抛物线顶点P的坐标；

13

（2）当OMOP时，求a的值；

2

（3）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，MDN90，DMDN，点E在线段MN上，

点F在线段DN上，NENF2DM，当DEMF取得最小值为15时，求a的值．

【答案】（1）该抛物线顶点P的坐标为(1,-2)（2）10（3）1

【解析】【分析】（1）先求得a、b的值，再配成顶点式，即可求解；

3

（2）过点Mm,1作MHx轴，在RtMOH中，利用勾股定理求得m，在RtOPD中，

2

33

勾股定理求得PD，得该抛物线顶点P的坐标为1,，再利用待定系数法求解即可；

22

（3）过点Mm,1作MHx轴，过点N作NKx轴，证明△NDK≌△DMH，求得点N的坐

标为2,1m，在Rt△DMN中，利用勾股定理结合题意求得MENF，在DMN的外部，作

DNG45，且NGDM，证明△GNF≌△DME，得到GFDE，当满足条件的点F落在

线段GM上时，DEMF取得最小值，求得点M的坐标为3,1，再利用待定系数法求解即可．

【小问1详解】

解：2ab0，a1，得b2a2．又c1，

该抛物线的解析式为yx22x1．

2

yx22x1x12，

该抛物线顶点P的坐标为1,2；

【小问2详解】

解：过点Mm,1作MHx轴，垂足为H，m1，

则MHO90，HM1，OHm．

13

在RtMOH中，由HM2OH2OM2，OM，

2

2

213．

1m

2

33

解得m，m（舍）．

1222

3

点M的坐标为,1．

2

b

2ab0，即1．

2a

抛物线yax22axc的对称轴为x1．

对称轴与x轴相交于点D，则OD1，ODP90．

13

在RtOPD中，由OD2PD2OP2，OP，

2

2

213．

1PD

2

3

解得PD负值舍去．

2

3

由a0，得该抛物线顶点P的坐标为1,．

2

23

该抛物线的解析式为yax1．

2

2

333

点M,1在该抛物线上，有1a1．

222

a10；

【小问3详解】

解：过点Mm,1作MHx轴，垂足为H，m1，

则MHO90，HM1，OHm．

DHOHODm1．