2024年中考数学真题专题分类汇编专题34 重要的数学思想方法问题（原卷版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题34重要的数学思想方法问题

一、填空题

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1.（2024四川内江）已知实数a，b满足ab1，那么的值为________．

a21b21

2.（2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”

的结构简图，右图为其平面示意图，已知ABCD于点B，AB与水平线l相交于点O，OEl．若

BC4分米，OB12分米．BOE60，则点C到水平线l的距离CF为________分米（结果

用含根号的式子表示）．

二、解答题

1.（2024广西）如图1，△ABC中，∠B=90°，AB=6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，

CO平分∠ACB.

（1）求证：△ABC∽△CBO；

（2）如图2，将AOC绕点O逆时针旋转得到△AOC，旋转角为0a360．连接AM，

CM

①求△AMC面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；

②当△AMC是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．

（河北省）如图，抛物线2过点，顶点为．抛物线

2.2024C1:yax2x(4,0)Q

11

C:y(xt)2t22（其中t为常数，且t2），顶点为P．

222

（1）直接写出a的值和点Q的坐标．

（2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上．

淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点．

请选择其中一人的说法进行说理．

（3）当t4时，

①求直线PQ的解析式；

②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．

（）设与的交点，的横坐标分别为，且．点在上，横坐标为

4C1C2ABxA,xBxAxBMC1

m2mxB．点N在C2上，横坐标为nxAnt．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最

大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．

3.（2024江苏扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情

况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．

如图，已知ABC，CACB，O是ABC的外接圆，点D在O上（ADBD），连接AD、

BD、CD．

【特殊化感知】

（1）如图1，若ACB60，点D在AO延长线上，则ADBD与CD的数量关系为________；

【一般化探究】

（2）如图2，若ACB60，点C、D在AB同侧，判断ADBD与CD的数量关系并说明理由；

【拓展性延伸】

（3）若ACB，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含的式子表示）

3.（2024内蒙古赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题

进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾

空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原

点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根

据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．

7

（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平

8

距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为______；

（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安

全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心

对称．

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；

②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；

（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是

水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现

在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公

共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．

4.（2024重庆市A）在ABC中，ABAC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．点D关

于直线AB的对称点为点E，连接AD,DE．在直线AD上取一点F，使EFDBAC，直线EF

与直线AC交于点G．

（1）如图1，若BAC60,BDCD,BAD，求AGE的度数（用含的代数式表示）；

（2）如图1，若BAC60,BDCD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；

（3）如图2，若BAC90，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三

CG

角形时，请直接写出此时的值．

AG

5.（2024四川德阳）已知O的半径为5，B、C是O上两定点，点