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文档简介
专题强化03:复数【题型归纳】题型一:复数的基础概念题型二:复数的分类题型三:复数的几何意义题型四:复数的模题型五;复数代数形式的四则运算题型六:共轭复数题型七:复数的立方问题题型八:复数的最值问题题型九:复数的综合问题【题型探究】题型一:复数的基础概念1.(23-24高一下·山东临沂·期中)下列几个命题,其中正确的命题的个数有(
)(1)实数的共轭复数是它本身(2)复数的实部是实数,虚部是虚数(3)复数与复平面内的点一一对应(4)复数是最小的纯虚数.A.0 B.1 C.2 D.32.(23-24高一下·江苏苏州·期末)复数,则的虚部为()A. B. C. D.3.(23-24高一下·浙江宁波·期末)已知复数的实部与虚部相等,则(
)A. B. C. D.题型二:复数的分类4.(23-24高一下·上海·期末)“”是“是纯虚数”的(
)条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充要5.(23-24高一下·海南海口·期中)已知复数,,,若为纯虚数,则(
)A. B. C. D.6.(23-24高一下·江西·阶段练习)已知复数,若为纯虚数,则实数的值为(
)A. B. C.2 D.3题型三:复数的几何意义7.(24-25高一上·浙江杭州·期中)设复数满足(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.(23-24高一下·辽宁·阶段练习)复数(其中为虚数单位),则在复平面内对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.(23-24高一下·河北·期中)在复平面内,设i是虚数单位,则复数的共轭复数对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限题型四:复数的模10.(24-25高一上·湖南邵阳·期末)已知复数(i为虚数单位),则(
)A. B. C. D.11.(2024·浙江·一模)已知复数(其中是虚数单位),则(
)A.2 B.1 C. D.12.(23-24高一下·黑龙江大庆·期中)已知复数在复平面内所对应的点分别为,则(
)A. B.1 C. D.2题型五;复数代数形式的四则运算13.(23-24高一下·天津河东·期中)计算:(1); (2);14.(23-24高一下·黑龙江鸡西·期中)计算(1) (2) (3).15.(23-24高一下·广东佛山·期中)计算:(1) (2) (3)题型六:共轭复数16.(23-24高一下·福建福州·期中)若复数满足,则的共轭复数为.17.(23-24高一下·陕西安康·期中)若复数,为的共扼复数,则的虚部为.18.(23-24高一下·福建福州·期末)已知,则复数.题型七:复数的立方问题19.(21-22高一下·河南安阳·阶段练习)定义:若,则称复数是复数的平方根.根据定义,复数的平方根为(
)A., B.,C., D.,20.(22-23高二下·湖南·期中)若复数为方程(m,)的一个根,则该方程的另一个根是(
)A. B. C. D.21.(23-24高一下·上海·期末)计算:.题型八:复数的最值问题22.(23-24高一下·江苏苏州·期中)已知复数满足,则(是虚数单位)的最小值为(
)A. B.4 C. D.623.(23-24高一下·广东深圳·期中)已知为虚数单位,若复数满足,则的最大值为(
)A. B. C. D.24.(23-24高一下·河南·阶段练习)18世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数,且,则的取值范围是(
)A. B.C. D.题型九:复数的综合问题25.(23-24高一下·上海·期末)已知复数,(,i是虚数单位)(1)若在复平面内对应的点落在第二象限,求实数a的取值范围;(2)若是实系数一元二次方程的根,且是实数,记,求的值.26.(23-24高一下·山东烟台·期中)欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数集.(1)若复数,求;(2)在复平面内复数,对应的向量分别是,,其中是原点,求向量对应的复数.27.(23-24高一下·四川内江·期末)复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.材料:形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式,即,其中为复数的模,叫做复数的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出,若,则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角(如果,就要把绕点按顺时针方向旋转角),再把它的模变为原来的倍.请根据所学知识,回答下列问题:(1)试将写成三角形式;(2)设复数,且.若复数在复平面上对应的点分别为,且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合,求实数,的值;(3)已知单位圆以坐标原点为圆心,点为该圆上一动点(纵坐标大于0),点,以为边作等边,且在上方.求线段长度的最大值.【专题强化】一、单选题28.(24-25高一上·湖南娄底·期中)复数的共轭复数是,是虛数单位,则点为(
)A. B. C. D.29.(23-24高一下·安徽黄山·期中)若复数的共轭复数对应的点在第一象限,则的值为(
)A. B.0 C.1 D.30.(23-24高一下·湖北武汉·期中)已知复数z满足,则(
)A. B. C. D.31.(23-24高一下·江苏无锡·期末)已知为虚数单位,则下列结论正确的是(
)A.是纯虚数B.若,则是方程的一个复数根C.若,则D.若复数满足,则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为32.(23-24高一下·湖北·期中)已知复数,其中为虚数单位,,若为纯虚数,则复数在复平面内对应的点在第(
)象限A.一 B.二 C.三 D.四33.(23-24高一下·上海松江·期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式:,其中是自然对数的底数,是虚数单位,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被举为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是(
)A.的虚部为B.复数在复平面内对应的点位于第二象限C.D.若在复平面内分别对应点,则面积的最大值为二、多选题34.(23-24高一下·安徽黄山·期中)已知复数(是虚数单位),则下列结论正确的是(
)A.复数的虚部等于 B.C. D.若是实数,是纯虚数,则35.(23-24高一下·江苏无锡·期中)已知为复数,有以下四个命题,其中真命题的序号是(
)A.若,则 B.若,则C. D.若,则36.(24-25高三上·江西抚州·阶段练习)设,为复数,且,则下列结论正确的是(
)A. B.C.若,则 D.37.(23-24高一下·黑龙江·期中)欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”(为自然对数的底数,i为虚数单位),依据上述公式,则下列结论中正确的是(
)A.复数为纯虚数 B.复数对应的点位于第二象限C.复数的共轭复数为 D.复数的模长为138.(23-24高一下·贵州黔西·期末)已知i是虚数单位,下列说法正确的是(
)A.若复数,则B.若复数,则C.若复数为纯虚数,则D.三、填空题39.(23-24高一下·江苏·期末)满足且的复数.40.(23-24高一下·新疆·期末)已知,方程的一个根为,则.41.(23-24高一下·四川凉山·期末)已知是虚数单位,则.42.(23-24高一下·甘肃酒泉·期末)已知复数z的模为2,则的最大值为.43.(23-24高一下·上海·期末)已知复数满足,则的取值范围是.四、解答题44.(23-24高一下·福建漳州·期中)已知复数,且为纯虚数.(1)求复数;(2)若复数,求复数的模.45.(23-24高一下·浙江·期中)已知复数(1)若复数是方程的一个复数根,求实数a,b的值;(2)若复数满足,求.46.(23-24高一下·天津河北·期中)已知复数,其中.(1)若,求的值;(2)若是纯虚数,求的值;(3)若,求的值;(4)若对应的点在第一象限,求的取值范围.47.(23-24高一下·山西大同·期中)已知复数满足为纯虚数,.(1)求以及;(2)设,若,求实数的值.48.(23-24高一下·山东济宁·期中)已知是关于x的方程的一个根.(1)求p,q的值及方程的另一个根;(2)若实系数一元二次方程在复
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