专题强化03：复数 原卷版

专题强化03：复数【题型归纳】题型一：复数的基础概念题型二：复数的分类题型三：复数的几何意义题型四：复数的模题型五;复数代数形式的四则运算题型六：共轭复数题型七：复数的立方问题题型八：复数的最值问题题型九：复数的综合问题【题型探究】题型一：复数的基础概念1．（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（

）（1）实数的共轭复数是它本身（2）复数的实部是实数，虚部是虚数（3）复数与复平面内的点一一对应（4）复数是最小的纯虚数.A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，则的虚部为（）A． B． C． D．3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（

）A． B． C． D．题型二：复数的分类4．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要5．（23-24高一下·海南海口·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．3题型三：复数的几何意义7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型四：复数的模10．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．11．（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（

）A．2 B．1 C． D．12．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（

）A． B．1 C． D．2题型五;复数代数形式的四则运算13．（23-24高一下·天津河东·期中）计算：(1)； (2)；14．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算(1) (2) (3).15．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算：(1) (2) (3)题型六：共轭复数16．（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为.17．（23-24高一下·陕西安康·期中）若复数，为的共扼复数，则的虚部为.18．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，则复数.题型七：复数的立方问题19．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（

）A．， B．，C．， D．，20．（22-23高二下·湖南·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（

）A． B． C． D．21．（23-24高一下·上海·期末）计算：．题型八：复数的最值问题22．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（

）A． B．4 C． D．623．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．24．（23-24高一下·河南·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型九：复数的综合问题25．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位）(1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围；(2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值.26．（23-24高一下·山东烟台·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集．(1)若复数，求；(2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数．27．（23-24高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.请根据所学知识，回答下列问题：(1)试将写成三角形式；(2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值；(3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值.【专题强化】一、单选题28．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（

）A． B． C． D．29．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．30．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（

）A．是纯虚数B．若，则是方程的一个复数根C．若，则D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为32．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四33．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为B．复数在复平面内对应的点位于第二象限C．D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为二、多选题34．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（

）A．复数的虚部等于 B．C． D．若是实数，是纯虚数，则35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（

）A．若，则 B．若，则C． D．若，则36．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）设，为复数，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则 D．37．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（

）A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为138．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若复数，则B．若复数，则C．若复数为纯虚数，则D．三、填空题39．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数.40．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则.41．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知是虚数单位，则.42．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为．43．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是.四、解答题44．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数.(1)求复数；(2)若复数，求复数的模.45．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数(1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值；(2)若复数满足，求．46．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中.(1)若，求的值；(2)若是纯虚数，求的值；(3)若，求的值；(4)若对应的点在第一象限，求的取值范围.47．（23-24高一下·山西大同·期中）已知复数满足为纯虚数，．(1)求以及；(2)设，若，求实数的值．48．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是关于x的方程的一个根.(1)求p，q的值及方程的另一个根；(2)若实系数一元二次方程在复