8．5 空间直线、平面的平行 （15大题型）（解析版）

8．5空间直线、平面的平行【题型归纳目录】题型一：基本事实4的应用题型二：等角定理的应用题型三：直线与平面平行的判断定理的理解题型四：直线与平面平行的判定题型五：补全直线与平面平行的条件题型六：直线与平面平行的性质题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系题型八：由线面平行的性质求长度问题题型九：平面与平面平行的判定定理的理解题型十：平面与平面平行的判定题型十一：补全平面与平面平行的条件题型十二：平面与平面平行的性质题型十三：由面面平行证线面平行题型十四：空间平行的转化题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用【思维导图】【知识点梳理】知识点一、平行线的传递性基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．知识点二、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识点三、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行．图形语言：符号语言：、，．知识点诠释：（1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；③直线a，b平行，即a∥b．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．知识点四、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．图形语言：符号语言：若、，，且、，则．知识点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行．知识点五、判定平面与平面平行的常用方法1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．知识点六、直线和平面平行的性质文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行．符号语言：若，，，则．图形语言：知识点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：（1）直线a和平面平行，即a∥；（2）平面和相交，即；（3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．知识点七、平面和平面平行的性质文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言：若，，，则．图形语言：知识点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．知识点八、空间平行关系的注意事项直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．【典型例题】题型一：基本事实4的应用【例1】（2025·高二·云南大理·期末）如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点．(1)证明：；(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）连接，因为分别为棱的中点，所以，因为正方体的棱长为3，所以，，故四边形为平行四边形，所以，故；（2）由题意得，正方形的面积为，，，故，又⊥平面，故⊥平面，三棱锥的体积为.【方法技巧与总结】（证明两直线平行的常用方法）（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边；（2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；（3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．【变式1-1】（2025·高一·全国·随堂练习）如图，把一张矩形的纸对折两次，然后打开，试说明：为什么这些折痕是互相平行的？

【解析】把一张长方形的纸对折两次,打开后得到4个全等的矩形，因为矩形的对边是互相平行的，根据空间平行线的传递性，所以它们的折痕是互相平行的【变式1-2】（2025·高一·全国·随堂练习）如图，在长方体中，底面是边长为a的正方形，高为，点M，N分别是和的中点．

(1)判断四边形的形状；(2)求四边形的面积．【解析】（1）点M，N分别是和的中点，，，四边形是平行四边形，，，故四边形为梯形；（2）由题意可得，，则，故梯形的高为，故四边形的面积.【变式1-3】（2025·高一·全国·课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．【解析】∵E、H分别是AB、AD的中点，则，又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，∴，故直线EH与直线FG平行．题型二：等角定理的应用【例2】（2025·高一·全国·课后作业）若，，且，则等于（

）A． B． C．或 D．不能确定【答案】C【解析】因为，，且，所以或.故选：C【方法技巧与总结】（应用等角定理的注意事项）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补．【变式2-1】（2025·高一·全国·课后作业）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．故选：B【变式2-2】（2025·高一·全国·课后作业）已知，，，则（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】根据等角定理，即可得到结论.的两边与的两边分别平行，根据等角定理易知或.故选：B.【变式2-3】（2025·高一·全国·课后作业）若,,且,则A．130° B．50° C．130°或50° D．不能确定【答案】C【解析】根据等角定理即可求得.根据等角定理,知与相等或互补,即或.故选：.题型三：直线与平面平行的判断定理的理解【例3】（2025·高一·江苏南通·阶段练习）在空间四边形中，分别为边上的点，且，又分别为的中点，则（）A．平面，且四边形是矩形B．平面，且四边形是梯形C．平面，且四边形是菱形D．平面，且四边形是平行四边形【答案】B【解析】如图所示，在平面内，​，又平面，平面平面．分别是的中点，．又​，．在四边形中，且​四边形为梯形．故选：B．【方法技巧与总结】（判定定理理解的注意事项）（1）明确判定定理的关键条件．（2）充分考虑各种可能的情况．（3）特殊的情况注意举反例来说明．【变式3-1】（2025·高一·全国·课前预习）下列说法正确的是（

）A．若直线平行于平面内的无数条直线，则B．若直线在平面外，则C．若直线与直线不相交，直线，则D．若直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线【答案】D【解析】A错误，直线还可以在平面内，同时存在无数条直线与之平行；B错误，直线在平面外，包括平行和相交；C错误，还可以与平面相交或在平面内；D正确，直线，，那么直线平行于平面内的无数条直线.故选：D．【变式3-2】（2025·高一·全国·课后作业）在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A选项：如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意；B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，故选：A．【变式3-3】（2025·高一·福建龙岩·期中）设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A，，则或，A错误；对于B，，则或，B错误；对于C，，则直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，C错误；对于D，由线面平行的性质知，D正确.故选：D题型四：直线与平面平行的判定【例4】（2025·高一·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面．【解析】如图所示，取CD中点，连接OM，EM，在矩形中，且．又且，则且．所以四边形为平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以平面．【方法技巧与总结】：（判定定理应用的注意事项）（1）欲证线面平行可转化为线线平行解决．（2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形．【变式4-1】（2025·高二·安徽淮南·期中）如图，长方体中，，点P为的中点.(1)求证:直线平面;(2)求异面直线、所成角的大小.【解析】（1）由题意得O为的中点，连结，又因为P是的中点，故，又因为平面，平面，所以直线平面.（2）由（1）知，，所以异面直线与所成的角就等于与所成的角，故即为所求；因为，为的中点，则，则易知，因为为中点，则，在直角中，可得，又因为，所以.【变式4-2】（2025·高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面.【解析】连接，因为底面是正方形，所以是的中点，又因为是的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面【变式4-3】（2025·高一·贵州·期中）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点．(1)求证：平面．(2)求三棱锥的体积．【解析】（1）如图，连接．点为的中点，且点为的中点为的中位线，即．又平面平面平面（2）为矩形又平面平面点到平面的距离为1，即棱锥的高为1．又为的中点，且．题型五：补全直线与平面平行的条件【例5】（2025·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，是的中点，四边形为平行四边形，且平面．试探究在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；

【解析】在线段上存在点，且为的中点，使得平面.证明如下：取得中点，连接，，.因为为的中点，所以，且.因为为的中点，且四边形为平行四边形，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面.【方法技巧与总结】：（判断或证明线面平行的常用方法）（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．【变式5-1】（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知正方体，点是棱的中点．在棱上找一个点，使直线与平面平行并证明．【解析】当点为棱中点时，此时直线与平面平行，证明如下：∵点分别为棱和中点，∴，∵平面，平面，∴平面．【变式5-2】（2025·高一·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由.【解析】当时，平面PDE，证明如下：过点C作，交的延长线于，在PE上取一点M，使得，连接HM，FM，因为，，所以且，因为D是AC的中点，且，所以且，所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即，又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.【变式5-3】（2025·高一·全国·专题练习）如图，正四棱锥的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且．在线段BD上是否存在一点N，使直线平面PBC？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由.【解析】存在，；理由如下：假设存在，连接并延长，交于E，连接．因为平面，平面平面，平面，所以，则，因为正方形中，，所以，假设成立.则此时.题型六：直线与平面平行的性质【例6】（2025·高一·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．

(1)求证：平面；(2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：【解析】（1）因为四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）连接，交于，连接因为四边形是平行四边形，所以是的中点，又因为M是的中点，所以又因为平面，平面，所以，平面又因为平面，平面平面，所以，【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）（1）欲证线线平行可转化为线面平行解决，常与判定定理结合使用．（2）性质定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常利用中位线性质．【变式6-1】（2025·高一·全国·课堂例题）如图所示，已知是所在平面外一点，分别是的中点，平面平面，则：

(1)与是否平行？说明理由；(2)与平面是否平行？试证明你的结论．【解析】（1）平行，理由如下：因为四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．又平面平面，平面，所以．（2）平行．证明如下：如图所示，取的中点，连接，故,又所以且．所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．【变式6-2】（2025·高一·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），E，F分别是PD，AC的中点.(1)证明：平面.(2)若平面平面，证明：.【解析】（1）连接,因为底面是正方形，所以是的中点，又因为是的中点，所以是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面（2）分别是的中点，，平面，平面，平面，若平面平面，又平面，所以.【变式6-3】（2025·高一·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，

(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；【解析】（1）设，连接，，因为是平行四边形，故，又为侧棱的中点，故又平面，平面，故平面；（2）由于，平面，平面，故平面．又平面，平面平面,故题型七：由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系【例7】（2025·高一·山东青岛·期中）如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上.(1)求证：平面；(2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值.【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面；（2）连接交于，连接，因为平面，且平面，平面平面，所以，则，可得，又因为，可知，则，因此，.【变式7-1】（2025·高一·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.

【解析】因为平面,平面,平面平面，所以,又因为F为的中点，所以是的中点，.【变式7-2】（2025·高一·全国·课前预习）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由．【解析】存在，当为AM的中点时，平面．理由如下：如图，连接AC，BD交于点，因为四边形为矩形，所以为AC的中点，连接OP，因为为AM的中点，所以，又不在平面内，平面，所以平面．【变式7-3】（2025·高一·吉林长春·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中（图1），是BC的中点，，将沿着AE翻折（图2），使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥(1)求直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为，是的中点，所以，，故四边形是菱形，从而，所以沿着翻折成后，，又因为，所以四边形为平行四边形，则，则，则直线与所成的角的大小为.（2）存在，理由如下：假设线段上是存在点，使得平面，过点作交于，连接，，如下图，所以，所以，，，四点共面，又因为平面，平面平面，平面，所以，综上，四边形为平行四边形，故，所以为中点，故在线段上存在点，使得平面，且．题型八：由线面平行的性质求长度问题【例8】（2025·高三·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，分别是四面体的棱上的点，且、在同一个平面上，已知四边形平行于四面体的一组对棱和，若，求四边形的周长．【解析】设，平面，面面，且面面，面面，，，同理可得．四边形是平行四边形，，，，四边形的周长为．【变式8-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面PBD，求EF的长.

【解析】因为长方体的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，所以，，如图所示，连接与交于点，连接，在棱上取，连接，，则，且，因为平面PBD，且平面，平面平面，所以，所以，又因为，所以四边形QEFC是平行四边形，所以，在直角中，，，所以，所以.【变式8-2】（2025·高二·全国·课后作业）如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．【解析】连接，交于点，连接，则为的中点．平面，平面，平面平面，，又为中点，为中点，，则在中，.【变式8-3】（2025·高二·湖南·阶段练习）图1：平行四边形中，，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点M为侧棱的中点.（1）求证：（2）N为的角平分线上一点，若平面，求线段的长.【解析】（1）证明：折叠后：因为，所以平面，又平面，所以，又，所以，又M是的中点，所以，又，所以平面，又平面，所以.（2）取的中点E，连接，因为所以在角的平分线上，又点N为的角平分线上一点，所以共面，又平面，平面平面，根据线面平行的性质定理得，且，由得，在中知，所以，所以.题型九：平面与平面平行的判定定理的理解【例9】（2025·高一·全国·课后作业）已知，是两条直线，，是两个平面，有以下三个命题：①，相交且都在平面，外，，，，，则；②若，，则；③若，，，则．其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】①因为相交，所以共面，设这个平面为，因为，，，，相交，所以，同理可得，所以，故①正确；②，有可能相交，若平行，的交线，此时也满足，，故②错；③，有可能相交，若，平行，的交线，此时也满足，，，故③错.故选：B.【变式9-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与，，三点所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知，经过，，三点的平面如图，截面为六边形（，，为所在棱的中点），对于A，由图可知与是相交直线，所以A错误；对于BC，由图可知在经过，，三点的平面上，所以B，C错误；对于D，因为分别为的中点，所以∥，∥，因为平面，平面，所以∥平面，∥平面，因为平面，所以平面∥平面，所以D正确.故选：D【变式9-2】（2025·高二·安徽·学业考试）下列关于平面平行的命题，正确的是（

）A．若一个平面内的无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行C．若两个平面与同一个平面垂直，则这两个平面平行D．若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行【答案】B【解析】对A，假设两个面相交于一条直线，则其中一个平面内有无数条直线与交线平行也与另一个平面平行，故A不正确；对B，根据平面平行的判定定理，可知一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故B正确；对C，若两个平面与同一个平面垂直，不一定得出两平面平行，例如墙角的三个面，故C错误；对D，两个平面与同一条直线平行，不一定能得出两面平行，例如两面相交与一条直线，存在与交线平行的直线平行于两个面，故D错误.故选：B【变式9-3】（2025·高一·四川泸州·期末）平面与平面平行的充分条件可以是（

）A．内有无穷多条直线都与平行B．直线，且C．直线，直线，且D．内的任何一条直线都与平行【答案】D【解析】对于A，若内有无穷多条直线都与平行，则平行或相交，故充分性不成立，故A错误；对于B，如图，在正方体中，平面，平面，而平面平面，故充分性不成立，故B错误；对于C，如图，在正方体中，平面，平面，而平面平面，故充分性不成立，故C错误；对于D，由面面平行的定义知能推出平面与平面平行，故充分性成立，故D正确.故选：D.题型十：平面与平面平行的判定【例10】（2025·高一·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面．【解析】连接，AC，分别交，EF，BD于M，N，P，连接MN，．由题意知，．平面，平面，平面．又，，．又E，F分别是AD，AB的中点，，则，．．又，．四边形为平行四边形．．平面，平面，平面．，，平面，平面平面．【变式10-1】（2025·高一·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点.(1)求证：平面；(2)若为的中点，求证：平面平面.【解析】（1）如图：连接BD，设，连接OM，∵在正方体中，四边形是正方形，是中点，是的中点，，平面，平面，平面.（2）如图：连接，NB，为的中点，为的中点，，又，∴四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面由（1）知平面，，平面，平面，∴平面平面.【变式10-2】（2025·高一·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示(1)求证:平面.(2)平面平面.【解析】（1）由题设得：，，∴四边形为平行四边形.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2），，∴四边形为平行四边形.∴.又∵平面，平面，∴平面.平面.又平面，∴平面平面.．【变式10-3】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．

【解析】证明：在中，因为，分别是，的中点，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面．设，则点为的中点，连接，如图所示，在中，因为点为的中点，所以∥，又因为平面，平面，所以∥平面．又因为，，平面，所以平面∥平面．题型十一：补全平面与平面平行的条件【例11】（2025·高一·全国·课前预习）如图，在正方体中，为的中点．能否同时过，B两点作平面，使平面平面？证明你的结论．

【解析】能作出满足条件的平面，其作法如下：如图，连接，取的中点，连接，则与所确定的平面即为满足条件的平面．证明如下：连接交于，连接，则为的中点，又为的中点，则．因为平面，平面，故平面．又因为为的中点，所以，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，从而平面．又因为，，，所以平面平面．【变式11-1】（2025·高一·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．【解析】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下：如图，过作∥，交于，连接，，因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点，因为，所以．因为，，，所以，因为，所以，，所以，所以，因为，所以，所以∥．因为平面，平面，所以∥平面，又∥，平面，平面，所以∥平面，因为，，平面，所以平面∥平面，所以在线段上存在一点，使平面∥平面，此时．【变式11-2】（2025·高一·辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中，，，A是PD中点，现将沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．

(1)求证：平面PAB；(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解析】（1）取AP的中点Q，连接MQ，BQ，因为M，Q分别为PD，PA的中点，所以，，又因为N为BC的中点，所以，．所以，，所以四边形MNBQ为平行四边形，所以，又因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．（2）存在点E，当E为PC中点时，平面平面PAB．证明如下：由图（1）因为A是PD中点，，，所以且，所以四边形ABCD是平行四边形，所以．因为E，M分别为PC，PD中点，所以，所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，同理可知平面PAB，又因为平面平面，所以平面平面PAB．【变式11-3】（2025·高一·云南昆明·期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点，使平面平面，并证明.【解析】（1）过点作，交于点，连接，因为为的三等分点，可得，又因为为的三等分点，可得，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又由平面，平面，所以平面.（2）当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下：取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点，在中，因为分别为的三等分点，可得，所以，因为平面，平面，所以平面；又由（1）知平面，且，平面，所以平面平面，即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面．题型十二：平面与平面平行的性质【例12】（2025·高一·全国·课后作业）如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形．【解析】四边形是平行四边形，．平面，平面，平面，同理，可证得平面．平面，平面，且，平面平面．又平面平面，平面平面，．同理可证．四边形是平行四边形．【方法技巧与总结】（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行．证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面．【变式12-1】（2025·高一·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.

(1)证明：；(2)证明：∥平面；(3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为为平行四边形，则，且平面，平面，可知∥平面，又因为平面平面，平面，所以.（2）取中点，连接，，则，且，可知，则四边形为平行四边形，可得，且平面，平面，所以∥平面.（3）存在，使平面，，理由如下：取中点，连接，，则∥，且平面，平面，所以∥平面，又因为∥平面，且，，平面，所以平面∥平面，平面平面，平面平面，可得，因为为中点，且为中点，可得，又因为，所以.【变式12-2】（2025·高三·河北·专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：(1)正四棱锥的表面积；(2)侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．【解析】（1）正四棱锥中，，，侧面的高，正四棱锥的表面积．（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：取中点为，因为，则，过作的平行线交于，连接，．在中，有，平面，平面，平面，由于，．又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，【变式12-3】（2025·高一·广东佛山·阶段练习）如图，在六面体中，，四边形是平行四边形，．(1)证明：平面平面．(2)若G是棱的中点，证明：．【解析】（1）由，得，而平面，平面平面，则平面，由，平面，平面，得平面，又平面，所以平面平面.（2）延长与的延长线分别交于点，由，，得，由，G是棱的中点，得，因此点重合，记为，显然平面平面，平面平面，由（1）知，平面平面，所以.题型十三：由面面平行证线面平行【例13】（2025·高一·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，，，点E在PD上，且，平面平面．(1)证明：；(2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论．【解析】（1）由四边形为菱形，得，又平面，平面PCD，则平面，又平面，平面平面，则，所以．（2）存在．当F是PC的中点时，平面，如图，取PE的中点M，连接FM，得，又平面，平面，于是平面，由M为PE的中点，，得，E是MD的中点，连接BM，BD，设，由四边形是菱形，得O为BD的中点，则，又平面，平面，于是平面，又，平面，则平面平面，又平面，所以平面.【变式13-1】（2025·高一·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：

(1)平面；(2)平面．【解析】（1）如图，连接，．因为四边形是正方形，且是的中点，所以是的中点，又是的中点，所以．又平面，平面，所以平面．（2）方法一

取的中点，连接，，如图所示，则有且．又且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．方法二

取的中点，连接，，如图所示，因为点是，的中点，所以，平面，平面，所以平面，因为点，分别是和的中点，所以，平面，平面，所以平面，且，，平面，所以平面平面．又平面，所以平面．【变式13-2】（2025·高三·全国·专题练习）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.证明：平面.

【解析】设，连接，因为为正方形，则为的中点，又因为是的中点，则，且平面，平面，所以平面，由题意可知：四边形是平行四边形，，且平面，平面，所以平面，且，平面，可得平面平面，由平面，可得平面.【变式13-3】（2025·高三·全国·专题练习）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面；【解析】因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，平面，所以平面.题型十四：空间平行的转化【例14】（2025·上海嘉定·三模）在长方体中，，，E、F、G分别为AB、BC、的中点.

(1)求三棱锥的体积；(2)点P在矩形内，若直线平面，求线段长度的最小值.【解析】（1）依题意有，所以三棱锥的体积；（2）如图，连结，∵分别为的中点，∴平面，平面，∴平面∵平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面，∵平面，∴点在直线上，在中，，，∴当时，线段的长度最小，最小值为＝.【变式14-1】（2025·高一·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；【解析】如图，延长交的延长线于，连接交于，则所在的直线即为平面与平面的交线.证明：∵平面平面，平面平面，平面平面，∴.又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴.【变式14-2】（2025·高一·全国·假期作业）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.【解析】连接交于点，连接，如下图所示：由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，因为平面平面，平面平面，平面平面，，则为的中点，则，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因为，所以，四边形为平行四边形，所以，，因此，.【变式14-3】（2025·高一·安徽·阶段练习）如图，在正方体中，M为棱的中点．（1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由；（2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值．【解析】（1）作法：如图，连接，在平面内过M作，交于N，则直线即平面与平面的交线l．理由：因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以．因此，在平面内过M作，而，即，则直线即所求作的交线l．（2）由（1）知在三角形中，，M为棱的中点，所以N为棱的中点．在正方形中，延长交的延长线于点P（图略），所以B为棱的中点．由于N为棱的中点，所以延长交的延长线于点P，所以几何体是三棱台．设正方体的棱长为a，则的面积的面积，所以三棱台的体积，另一个几何体的体积，因为用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，所以，所以．题型十五：线面、面面平行的判定与性质的综合应用【例15】（2025·高一·福建宁德·阶段练习）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：(1)设平面平面，求证：∥；(2)求三棱锥的表面积.【解析】（1）证明：由题意可得∥，因为平面，平面，所以∥平面，平面，又因为平面平面，所以∥；（2）因为，，，所以，，为正三角形，连接交于，连接，则为、中点，因为，所以平面，平面，所以，，从而有，在中，由余弦定理可得，所以，在直角三角形中中，，所以，所以为直角三角形，，又，，，所以三棱锥的表面积.【方法技巧与总结】（空间平行关系的注意事项）直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示．【变式15-1】（2025·高一·福建龙岩·期中）如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2.(1)在图2中，证明：平面.(2)在图1中，求的值.【解析】（1）证明：连接，交于点，连接，，，又，，又是线段上靠近端的三等分点，，，，平面，平面，平面.（2）由，可知，，三点共线，，，三点共线，由，，三点共线，可设（），.是的中点，，是线段上靠近端的三等分点，，，故，即，由，，三点共线，可得，解得，故.【变式15-2】（2025·高一·广东广州·期中）一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心.(1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；(2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比；(3)在棱台的底面上（包括边界）是否存在点，使得直线平面？若存在，求长的取值范围；若不存在，说明理由.【解析】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，则为截面与各木块表面的交线，理由如下：由于，故四点共面，且平面平面，平面平面，平面平面，则为截面与各木块表面的交线.（2）由于点在平面内且为的重心，，所以，又因为，故，故几何体为棱柱，设棱台的高为，的面积为，故，又，则，故由台体体积公式得正三棱台体积为，所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为，故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）.（3）分别取的中点，则当点时有平面，证明如下：由分别为的中点得，又由于在正三棱台中，，所以，四点共面，又因为，点O为重心，所以，又由正三棱台性质，故四边形为平行四边形，故，因为平面、平面，所以平面，同理平面，因为，平面，所以平面平面，所以当点时，平面，于是平面，在梯形中，由已知条件和前面的分析知：，即四边形是底边长分别为1和2、腰长为2的等腰梯形，所以该由等腰梯形性质得该等腰梯形的高为，所以，所以长度的取值范围为.【变式15-3】（2025·高一·安徽芜湖·期中）如图，在正四面体中，，E，F，R分别是，，的中点，取，的中点M，N，Q为平面内一点．

(1)求证：平面平面；(2)若平面，求线段的最小值．【解析】（1）证明：因为，，分别是，，的中点，所以，平面，平面，所以平面．同理，平面，又因为，所以平面平面．（2）由（1）可得平面平面，若平面，则点Q在线段上移动，在中，，，，的最小值为R到线段的距离，因为是等腰三角形，故的最小值为．

【强化训练】1．（2025·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】解析如图所示，延长交于，连接，则，所以.因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，又四边形是平行四边形，所以，所以.因为，所以.因为，所以，所以，故选：B.2．（2025·高一·山东临沂·期末）图1是边长为1的正六边形，将其沿直线折叠成如图2的空间图形，若，则几何体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】过作，垂足为，连接，由对称性可得，又，平面，平面，过作，垂足为，连接，则，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，即空间几何体为直三棱柱.∵，，所以，，同理求得，，则，又，等腰三角形的面积为，空间几何体拆分为三棱柱、三棱锥和三棱锥三个部分，∴空间几何体的体积为.故选：D.3．（2025·高一·浙江杭州·期末）已知正四面体中，是棱上一点，过作平面，满足，若到平面的距离分别是3和9，则正四面体的外接球被平面截得的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】将正四面体补形成正方体，如图，因为，，所以，又是平面内的相交直线，所以平面平面，因为到平面的距离分别是3和9，所以正方体棱长为，结合正方体对称性可知，球心到平面的距离为3，记正四面体的外接球的半径为，则，解得，则外接球被平面截得的截面半径，所以，截面面积为.故选：A4．（2025·高一·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】如图，取的中点，连接，易知，，且，，故，且是异面直线与所成角或其补角，所以或，所以异面直线与所成角为或其补角，当时，；当时，，所以直线与所成角的大小为或

故选：C5．（2025·高一·陕西西安·期末）设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，且，，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，，，则且，反之，当且时，若，则或与相交，所以“”是“且”的充分不必要条件.故选：A6．（2025·高一·江苏常州·期末）已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（

）A．B．且C．D．【答案】C【解析】对于A，由可得或与相交，故A错误；对于B，由可得或或且，故B错误；对于C，由可得，因，且，由线面平行的性质即得，故C正确；对于D，如图，在平面内作，因故得，但不成立，故D错误.故选：C.7．（2025·高一·安徽六安·期末）如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论：①与是异面直线；②相交于一点；③；④平面.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①，连接，因为分别是的中点，所以，因为，所以，故四点共面，故与是共面直线，①错误；②，由①可知，与是共面直线，延长相交于一点，故平面，平面，所以平面与平面的交线，即，故交于一点，所以不相交于一点，②错误；③，取的中点，连接，则且，又且，故且，故四边形为平行四边形，故，故不平行，③错误；④，取的中点，连接，，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，④正确故选：A8．（2025·高一·江苏南京·期末）已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．，，，，则 D．，，，则【答案】D【解析】当，，时，不能推出，故A错误；当，时，可能相交，也可能异面，不能推出，故B错误；当，，，，若不相交，则推不出，故C错误；当，，，由线面平行的性质定理知，故D正确.故选：D9．（多选题）（2025·高二·云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（

）

A．平面 B．平面C．点在平面内 D．点在平面内【答案】BD【解析】连接，在正方体中，且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故B正确.因为分别为中点，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内，故D正确；再连接，显然不在平面内，所以与平面不平行，故A错误；由平面，可知点不在平面内，故C错误.故选：BD.10．（多选题）（2025·高一·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（

）

A． B．平面平面OMNC． D．四棱锥的体积为【答案】ABC【解析】对于A，由于分别为侧棱的中点,所以,又，故，A正确，对于B,连接,由于分别为侧棱的中点,所以，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,故平面,，平面，所以平面平面，故B正确．对于C，由于,所以，故，又，故，C正确，对于D，由于，故D错；故选：ABC11．（多选题）（2025·高一·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方体的棱长为为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（

）A．直线与直线所成角的正切值为B．当时，S为等腰梯形C．当时，S与交于点，则D．当时，S为五边形【答案】BCD【解析】正方体的棱长为为的中点，对于A，，直线与直线所成角为，所以，A错误；对于B，，即为中点，此时，，，则截面为等腰梯形，B正确；对于C，，连接并延长交延长线于，直线交于，由，得，由是的中点，，得，因此，C正确；对于D，若，连接并延长交延长线于，直线交于，交延长线于点，连接交于点，连接得截面，过点的平面与正方体的5个表面相交，因此截面是五边形，D正确故选：BCD.12．（多选题）（2025·高一·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点，点为线段上的一个动点，下列说