专题5.1 导数的概念及其意义（9类必考点）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）-1

专题5.1导数的概念及其意义TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【知识梳理】 1【考点1：变化率问题】 3【考点2：导数的定义】 5【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】 7【考点4：已知切线（斜率）求参数】 9【考点5：在曲线上一点的切线方程】 11【考点6：过一点的切线方程】 13【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 15【考点8：利用导数的几何意义求最值】 19【知识梳理】1．瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.2．抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.3．函数的平均变化率函数平均变化率的定义

对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)-f().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4．函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线的斜率，即f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为.5．导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.在曲线上一点的切线方程—解题秘籍：①求出切点的坐标②求出函数在点处的导数③得切线方程.过一点的切线方程—解题秘籍：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线.公切线—解题秘籍：①设切点，②建立切线方程，③代入点到切线方程中，利用此时切点在切线且在曲线上，即同时满足方程：解出切点坐标，从而写出切线方程．利用导数的几何意义求最值—解题秘籍：①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离.②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离.【考点1：变化率问题】【知识点：变化率问题】1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（

）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由平均变化率计算公式求解．【详解】解：函数在区间上的平均变化率为．故选：B.2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均变化率的定义即可求得.【详解】由平均变化率定义得，故选：C3．（2025高二下·河南商丘·开学考试）函数从到的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均变化率的定义直接进行计算即可求解.【详解】由题得所求平均变化率为.故选：C.4．（2025高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（

）A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度【答案】C【分析】由瞬时变化率的物理意义判断．【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度.故选：C5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.下列叙述中正确的是（

）A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率【答案】D【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得.【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误；对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误；对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于，乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于，故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误；对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快，故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确.故选：D.6．（2025高二上·全国·课后作业）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根据平均变化率的计算可得即可根据瞬时变化率的计算公式求解.【详解】函数在区间上的平均变化率为在时的瞬时变化率为，所以，解得．故选：B．【考点2：导数的定义】【知识点：导数的定义】1．（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案.【详解】，所以，故选：C.2．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数在处可导，且，则等于（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据导数的定义进行求解即可.【详解】由，故选：B3．（2025高二下·浙江温州·开学考试）若函数满足，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据导数的定义及已知求值即可.【详解】由题设.故选：C4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数的定义可得结果.【详解】因为函数在处可导，则.故选：D.5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）若，则（

）A． B．6 C．3 D．-3【答案】C【分析】由导数的定义可得；【详解】.故选：C.6．（2025高三·上海·随堂练习）已知函数，其中，(1)求曲线在，，，处的切线的斜率；(2)说明这些斜率值是如何变化的．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的定义求解；（2）利用一次函数的性质求解.【详解】（1）解：因为，所以，，，；（2）因为在上单调递增，所以随着x的增大，斜率也增大．【考点3：求曲线切线的斜率（倾斜角）】【知识点：求曲线切线的斜率（倾斜角）】1．（2025高二下·全国·课前预习）若函数在处的导数，则曲线在处的切线的倾斜角．【答案】【分析】由条件，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再由倾斜角与斜率的关系求倾斜角.【详解】因为函数在处的导数，所以函数在点处的切线斜率，所以，又，所以倾斜角．故答案为：.2．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的定义求出抛物线在点处的切线的斜率，即可得出该切线的倾斜角.【详解】抛物线在点处的切线的斜率为，故切线的倾斜角为．故选：B.3．（2025高二下·全国·课后作业）已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（

）

A．B．C．D．【答案】A【分析】依次作出在处的切线，根据切线倾斜角的大小进行判断即可.【详解】依次作出在处的切线，如图所示．根据图形中切线的斜率可知．故选：A．

4．（2025高二上·江苏·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围，即可求出结果.【详解】由题意得，即，又，所以，故选：D.【考点4：已知切线（斜率）求参数】【知识点：已知切线（斜率）求参数】1．（2025·四川·模拟预测）若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】1【分析】根据切点在切线上即可得解.【详解】由题知，解得．故答案为：12．（2025高三上·湖南·阶段练习）曲线的一条切线为，则．【答案】【分析】求导数，然后根据切线斜率求出切点坐标，代入切线方程后可得结论．【详解】，令，则，切点代入直线得．故答案为：．3．（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是得切线斜率为2，，由曲线，得，故，解得，又因为，故，所以，故答案为：4．（2025高三下·上海宝山·阶段练习）已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为.【答案】9【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解.【详解】设切点为，又因为曲线，则，直线斜率为1，所以，又因为，所以，所以，因为为正实数，所以，当且仅当，即时，则取最小值为9.故答案为：9.5．（2025高三下·广东惠州·阶段练习）若直线与曲线相切，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】设切点，则，利用导数求曲线的斜率，进而可得.【详解】设直线与曲线的切点为，故由得，故，得，故.故选：B6．（2025高三上·安徽·阶段练习）已知函数的图象与x轴相切，则a的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设切点，再求导，根据题意列出，求解即可得出.【详解】易知，定义域为，曲线与轴相切，设切点为，，易得，故，又，，故，解得.故选：B.【考点5：在曲线上一点的切线方程】【知识点：在曲线上一点的切线方程】1．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程；【详解】已知，函数定义域为，可得，此时，所以曲线在点处的切线方程为，即；故选：B.2．（2025高二上·全国·课后作业）已知曲线上一点，求：(1)曲线在点处的切线的斜率；(2)曲线在点处的切线方程.【答案】(1)4(2).【分析】（1）根据导数的几何意义，求割线的斜率的极限，得到切线的斜率；（2）根据切线的斜率进而求得切线的方程.【详解】（1）曲线在点处的切线的斜率为4.（2）由（1）知曲线在点处的切线的斜率是4，切线方程是，即.3．（2025高二上·全国·课后作业）已知函数．(1)求曲线上任意一点处的切线斜率；(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率；（2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程.【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为，则由导数的定义，可得．即曲线上任意一点处的切线斜率为．（2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点6：过一点的切线方程】【知识点：过一点的切线方程】1．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.【详解】设过点的曲线的切线为：，有,解得或,代入可得或.故选：2．（2025高二下·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且．(1)求，的值；(2)求曲线过点的切线方程．【答案】(1)，．(2)【分析】（1）根据题意可得，由，可得，联立即可得解；（2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．又，，所以②，由①②解得，．（2）由（1）知，设所求切线在曲线上的切点为，则，所以切线方程为，又切线过点，所以，可得，，，解得，所以切点为，切线方程为．故曲线过点的切线方程为．3．（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线，(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.【详解】（1）解：由函数，可得，可得，即曲线在点处的切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）解：因为点不在曲线上，设切点为，所以，所以切线方程为，又因为在直线上，所以，即，解得或.当切点为时，切线方程为；当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.【考点7：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】【知识点：两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】1．（24-25高二上·陕西西安·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.【详解】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率等于3，所以直线的斜率等于，即，解得，故选:D.2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】求导，与直线垂直，求出的值.【详解】由，求导，则在点处的切线的斜率为，而在点处的切线与直线垂直,则，故.故选：D3．（24-25高二下·江西·期中）设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.【详解】由得，故，由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，故选：C4．（24-25高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）．A．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解.【详解】解：因为，所以，由，解得或（舍去），所以切点为，因为切点在切线上，解得，所以切线方程为，设切点为，由题意得，解得，所以，故选：D5．（2025高三·全国·专题练习）若直线与函数和的图象分别相切于点，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解.【详解】设，，因为，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，函数的图象在点处的切线方程为，即，因为直线是两函数图象的公切线，所以，由①可得，代入②得，因为，所以，所以，，所以.故选：C．6．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：.7．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线是曲线和的公切线，则的值为.【答案】【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】令，则，因为直线是曲线的切线，所以由解得，此时所以在处的切线为，所以，又是的切线，联立得，令解得，所以，故答案为：8．（2025高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线与的公切线为，则实数.【答案】【分析】设切点坐标为，求得切线方程，根据题意，求得，得到切线方程为，再设切点为，结合切点在切线上和，列出方程组，即可求解.【详解】由函数，可得，设切点坐标为，可得，则切线方程为，即，与公切线重合，可得，可得，所以切线方程为，对于函数，可得，设切点为，则则，解得.故答案为：【考点8：利用导数的几何意义求最值】【知识点：利用导数的几何意义求最值】1．（2025高二下·福建宁德·阶段练习）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】求的最小值转化为求到直线的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案