平面向量的数量积专项练习【2024-2025高一下重难点突破】-1

【平面向量的数量积专项练习】【期中期末精选】总览总览题型梳理题型分类题型分类知识讲解与常考题型【题型一：数量积的计算】一、单选题1．（22-23高一下·福建福州·期中）已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（

）

A．12 B．4 C．6 D．3【答案】C【分析】选择适当的向量作为平面向量基底，用基底来表示向量，即可解.【详解】以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量为基底,如图.则,所以，则.

故选：C2．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，点，，均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（

）A． B． C． D．10【答案】A【分析】根据给定的条件，求出，进而判断三角形形状，再利用数量积的运算律计算即得.【详解】依题意，，显然，即，所以.故选：A3．（20-21高一下·浙江丽水·期末）已知的外接圆圆心为，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知是圆的直径，为等边三角形，然后由平面向量的数量积求解即可【详解】因为，所以点是的中点，即是圆的直径，又因为，是圆的半径，所以为等边三角形，所以，所以，故选：A4．（2023·北京朝阳·一模）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（

）

A．26 B．13 C．10 D．5【答案】B【分析】由中点关系可得，利用为的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论．【详解】由于是边的中点，可得，是的外接圆的圆心，，同理可得，．故选：B5．（22-23高一下·河南·阶段练习）在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：B.6．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】先利用向量共线求得m的值，再依据向量数量积即可求得的值.【详解】记，则，,则，又，则，则,又三点共线，则，解之得，则故选：C7．（21-22高三上·福建三明·期末）已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（

）A．－ B．－ C． D．【答案】C【分析】由△ABC为等腰直角三角形，得出，结合数量积公式计算即可.【详解】，即△ABC为等腰直角三角形，即点O是△ABC的外心，点O是的中点故选：C二、填空题8．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，，，则.【答案】【分析】由向量数量积公式算得结果，注意这两个向量夹角不是，而是它的补角【详解】故答案为：9．（22-23高一下·天津滨海新·期中）已知在中，，则.【答案】【分析】取的中点，连接，将用表示，再利用向量数量积的定义结合等腰三角形性质求解作答.【详解】在中，，，，取的中点，连接，如图，则有，且，，所以.故答案为：.10．（22-23高三上·福建福州·期中）已知菱形的边长为6，，点分别在边上，，，则＝．【答案】【分析】根据条件，，得到，，再根据数量积的运算及条件即可求出结果.【详解】因为，，所以，，则，又菱形的边长为6，，所以，故答案为：.

【题型二：向量的夹角问题（含平行与垂直）】1．（2024·云南楚雄·一模）已知向量，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可.【详解】结合题意：，，，，．故选：A.2．（23-24高一下·福建福州·期中）若向量，满足，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合，则由数量积为0结合数量积的定义以及运算律即可求解夹角.【详解】设与的夹角为，，，，，，，，故选：C.3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知、均为单位向量，且，则与的夹角大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由模长公式求出，，进而由夹角公式求解即可.【详解】因为，所以，即.，则，因为，所以与的夹角大小为.故选：C4．（22-23高三上·福建福州·期中）已知向量满足，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量数量积公式及求夹角公式可求解.【详解】因为，，，所以，，所以故选：D5．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的数量积及模长计算夹角即可.【详解】由已知可得，又，所以.故选：A6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算，再代入向量的夹角公式计算即可.【详解】，所以，故选：B二、填空题7．（22-23高一下·福建厦门·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则．【答案】/【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可.【详解】解：设，，则，，又，，所以．故答案为：.8．（22-23高一下·福建龙岩·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为．

【答案】/【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得到各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】依题意，以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示，

因为，，，所以，则，，即为向量与的夹角，，，，.故答案为：.9．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为.【答案】【分析】由题意先求出的值，再由，结合夹角的取值范围解出即可.【详解】解：因为，，，所以，解得，因为，所以，又因为，所以.故答案为：三、解答题10．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）如图，在平行四边形中，，令，.(1)用表示，，；(2)若，且，求.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可.【详解】（1）因为，，且是平行四边形，所以，所以，所以，所以.（2）方法一：由（1）知，又，所以，即，解得，所以.方法二：因为，所以，因为，且，所以，解得，所以，又，所以.【题型三：向量的模长计算】1．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知向量，满足，，且，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】将两边平方，由可得，根据数量积的运算计算可得.【详解】因为，，且，所以，即，，解得（负值已舍去）.故选：D2．（22-23高一下·福建泉州·期中）平面向量与的夹角为，则等于（

）.A． B． C． D．4【答案】B【分析】根据数量积求模长结合数量积的运算律即可.【详解】因为,所以.故选：B.3．（22-23高一下·福建莆田·期末）在中，为上一点，且满足．若，则的值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据三点共线的结论结合平面向量基本定理可得，再利用数量积的定义与运算律求解.【详解】由题意可得：，因为三点共线，则，且，又因为，则，可得，解得，可得，所以，即.故选：C.4．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，平行四边形中，为的中点，与交于，则（

）A．在方向上的投影向量为 B．C． D．【答案】D【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】对于A，平行四边形中，，所以，则，所以，所以在方向上的投影向量为，所以A错误；对于B，因为，为的中点，所以，则，故，所以B不正确；对于C，，所以C不正确；对于D，，即，所以D正确.故选：D.5．（23-24高一下·福建宁德·期末）若平面向量两两的夹角相等，，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】依题意可得，两两的夹角为或，按照此两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得出结果.【详解】因为平面向量两两的夹角相等，所以平面向量两两的夹角为或，又因为当夹角为时，即向量同向，则；当夹角为时，即，，，则.综上所述，等于或.故选：C.二、填空题6．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量，的夹角为，，，则.【答案】【分析】根据模长公式即可求解.【详解】,故答案为：7．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量满足，且，则.【答案】/【分析】根据得，由，两边同时平方得，结合两式计算即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，解得.故答案为：.三、解答题8．（23-24高一下·福建莆田·期中）如图，在中，是的中点，．

(1)若，，求；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可；（2）利用向量线性运算可得，根据三点共线可构造方程求得结果.【详解】（1）为中点，，，.（2），，，三点共线，，解得：.9．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知中，，，，点D在边BC上且满足.

(1)用、表示，并求；(2)若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，（2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解.【详解】（1），

所以,（2）易知,所以,

又,所以,10．（20-21高一下·广东深圳·期末）如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设.

(1)用表示；(2)如果，且，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可.【详解】（1）因为，所以，；（2）因为，所以，所以，由，可得，又，所以，所以.【题型四：投影向量】一、单选题1．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用投影向量公式计算可得答案.【详解】向量在向量上的投影向量是,故选：D2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果.【详解】根据题意可得，所以，则所以，则在方向上的投影向量为.故选：B3．（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，可得，结合数量积的运算律可得的关系，再根据投影向量的公式即可得解.【详解】因为，所以，所以，因为向量在向量上的投影向量是，所以，即，所以，又因为，所以与的夹角是.故选：A.4．（23-24高一下·重庆渝中·期中）已知等腰中，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由投影向量的概况结合正弦定理可求.【详解】

由题意可得，由正弦定理可得，可得，在上的投影为，所以在上的投影向量为，即在上的投影向量为.故选：A．5．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知外接圆圆心为，半径为1，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为．【详解】如图，由知为中点，又为外接圆圆心，，，，，，，∴在向量上的投影为：，向量在向量上的投影向量为：．故选：D．6．（22-23高一下·福建福州·期末）在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】若，由题设及向量数量积的几何意义可得，再由，利用数量积的运算律求即可.【详解】如下图，若，则在方向上的投影向量为，又向量在向量方向上的投影向量为，则，即，

所以，又，所以.故选：B7．（22-23高一下·福建龙岩·期末）已知向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接计算即可【详解】因为向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，所以向量在向量上的投影向量为，故选：D8．（2023·湖南长沙·二模）已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.【详解】依题意，因为两个单位向量和的夹角为，所以，所以，，，故向量在向量上的投影向量为．故选：C.二、填空题9．（23-24高一下·福建泉州·期末）已知中，，向量在向量上的投影向量为，则．【答案】【分析】解法一：利用投影向量的定义结合题意列方程求解即可；解法二：如图作延长线于点，则由题意可得，从而可求出角.【详解】解法一：因为向量在向量上的投影向量为，则，因为所以．解法二：如图作，交延长线于点，由题可知向量在向量上的投影向量为，即，因为，所以，故答案为：．三、未知10．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，向量在向量方向上的投影向量为，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据投影向量的定义求出，再由数量积的定义计算可得.【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，，所以，所以．因为，所以，所以（负值舍去）．故选：B．【题型五：向量的最值与取值范围】一、单选题1．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围．【详解】延长交于点，延长交于点，如图所示：根据正八边形的特征，可知，又，所以，，则的取值范围是.故选：B.2．（22-23高一下·福建福州·期末）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意不妨设，则，所以设，然后利用数量积的坐标运算求解即可.【详解】因为向量均为单位向量，且，所以不妨设，设，因为，所以，则设，所以，，所以，所以当时，取得最大值，所以的最大值为，故选：A3．（22-23高一下·湖北·期末）已知平面向量满足且对，有恒成立，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将两边平方，根据，有恒成立，可求得两向量夹角，再结合夹角余弦公式即可求得.【详解】由展开得，对，有恒成立，即,即，所以可得，所以解得，又，所以，则，所以，则与的夹角余弦值,所以与的夹角为.故选：A．4．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量的模的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知化简可得向量夹角余弦值的表达式，借助基本不等式求出其最小值，再由投影向量的定义可求解.【详解】由，可得，化简得，，又因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，在方向上的投影向量的模为,其最小值为.故选：C二、多选题5．（22-23高一下·福建龙岩·期末）已知是边长为1的正六边形所在平面内一点，，则下列结论正确的是（

）A．当为正六边形的中心时， B．的最大值为4C．的最小值为 D．可以为0【答案】ACD【分析】以为原点，以为轴，建立坐标系，，设，求出，进而可得答案．【详解】以为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，如图，正六边形边长为1，，设则，，可得，，，，时，的最小值为，C对，为正六边形的中心时，即时，，A对，可以为0，没有最大值，D对，B错，故选：ACD.

三、填空题6．（23-24高一下·福建·期末）在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为.【答案】50【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律可得，进而根据模长公式得，利用三角换元，即可结合三角恒等变换即可求解.【详解】＝＝，由，得，即，即，即，设，则，（其中），当时，即时，取到最小值50，即的最小值50，故答案为：507．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为．【答案】【分析】设，得，，利用向量的数量积公式结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，则，由图可得，所以，则，所以当时，的最小值为，故答案为：8．（23-24高三上·福建福州·期末）已知的半径是1，点P满足，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，设，则当时，取得最大值．【答案】【分析】由题意可知：，，根据数量积的定义结合三角恒等变换整理得，再根据正弦函数的有界性分析求解.【详解】由题意可知：点P在以为圆心，半径为的圆上，因为直线PA与相切于点A，则，，可知，，又因为D为BC的中点，则，可得，则，且，可得，可知：当，即时，取到最大值.故答案为：.9．（21-22高一下·福建福州·期末）已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则；若为圆上的动点，则的最大值为.【答案】【分析】（1）分析出是对应线段上的中点，找出垂直关系；（2）建立坐标系，利用坐标运算解决向量数量积的运算.【详解】（1）依题意，是斜边的中点，又，故是中点，于是是中位线，//，又，故，于是（2）以圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系如下，设与轴正半轴的夹角为，则.∴，∴，∴，当，取到最大值.

故答案为：，四、解答题10．（21-22高一下·福建福州·期末）在如图所示的平面图形中，，，求：(1)设，求的值；(2)若且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量减法得，再根据向量共线可得，进而得答案；（2）由题知，设设，进而得，再结合二次函数与三角函数求范围即可得答案.【详解】（1）解：因为，所以，所以，即（2）解：因为，所以记因为，所以，设，则所以，，所以所以，当时，取得最小值，最小值为，又因为，所以，所以，即的最小值为【题型六：极化恒等式的应用】1．（24-25高三上·广东深圳·期末）点为曲线上一动点，为单位圆的一条直径的两个端点，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】设，由题意可得，且，根据及向量的线性运算，可得，再利用换元法及基本不等式求解即可.【详解】解：设，则,由题意可得，且，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.2．（2024高三·全国·专题练习）如图，是圆O的一条直径且，是圆O的一条弦，且，点P在线段上，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，则当最小时，取得最小值，然后结合圆的性质可求出的最小值，从而可求得结果.【详解】由题意可得，为使最小，只需最小，所以只需，根据圆的性质可得，此时为中点，又，因此，所以的最小值为.故选：B3．（2024高三·全国·专题练习）已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件可得，，再由平面向量数量积的运算律可得，即可得到结果.【详解】如图，取的中点，连接，则，，所以，，所以，即．因为，，所以．又，所以，即的取值范围为．故选：D．4．（21-22高三上·山东潍坊·期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图象，结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围.【详解】设正方形的内切圆圆心为O，如图所示：考虑是线段上的任意一点，，，圆的半径长为1，由于是线段上的任意一点，则，所以.故选：A二、填空题5．（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是【答案】【分析】由题画出图形,设的中点为,则,可解得,由图形的性质可得点在边的中点和顶点之间,则,进而求解即可.【详解】如图，设的中点为，则两式平方相减得，所以（可由极化恒等式直接得出），即，所以，由对称性可知每条边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故，解得．故答案为：.6．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则.

【答案】