解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练（解析版）

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练考点一考点一中线问题1．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足(1)求B；(2)若的面积为，，求中线BD的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又因为所以，，得，所以，由余弦定理得，又B为三角形内角，所以，（2）因为的面积为，，，所以，，所以，又，因为BD为的中线，所以，，所以，，所以2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，．(1)求角；(2)若，求边上的角平分线长；(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，，解得，又，所以.（2）由及，余弦定理得，又，解得，由得，即，则，所以.（3）因为是的中点，所以，则，由正弦定理得，即，为锐角三角形，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为．3．（23-24高一下·广东汕尾·期中）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．(1)求；(2)求∠MPN的余弦值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，为的中点，所以,在中，，所以（2）因为为的中点，所以，又，所以,所以，，所以，又与的夹角相等，所以，所以的余弦值为.4．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角所对边的长分别为，且满足．(1)求；(2)若，是的中线，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以，又，故又，所以；（2）因为，由余弦定理得，，因为，所以，因为是的中线，所以，所以，故．5．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若的面积为，中线，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，，则，因为，则，由正弦定理得：，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得.（2）因为的面积为，所以，由（1）知，故，因为为中线，即为中点，则，又，则，所以，解得，由余弦定理得，所以.6．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足.(1)求角A；(2)若，边上的中线，求的面积．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为，，所以由正弦定理得，又因为，所以，所以，所以即，又因为，所以，所以，所以.（2）因为，所以即，所以，所以由余弦定理得，解得，所以.

考点考点二角平分线问题1．（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，；(1)求角的值；(2)的角平分线交于点，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以；因为，所以；（2）由（1）知，由余弦定理得，则可得，由，可得，所以，因为，即，所以.2．（24-25高三上·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的面积的最大值；(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由和正弦定理，可得，因，代入可得，因,则，故，又因,故；（2）由余弦定理，，因，，代入整理得：，由，当且仅当时等号成立，此时，而的面积，在中，由，，和，易得，即当时，的面积的最大值为；（3）如图，因平分,且，则,即，在中，由余弦定理，，即得，则，故.3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在①；②边上的高为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．问题：记内角，，的对边分别为，，，已知，，______．(1)求的值；(2)设是的角平分线，求的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）选条件①：，，由余弦定理，即，∴，；选条件②；边上的高为，由三角形的面积公式得，解得，；选条件③：，由题意可知，所以．因为，所以．由正弦定理得，即，解得，．（2）选条件①：因为是的角平分线，所以，，，则，由正弦定理，得；选条件②；因为是的角平分线，所以，，，，则，由正弦定理，得；选条件③：因为是的角平分线，所以，由题意可知，，∴则，由正弦定理，得．4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）锐角的内角所对的边分别为，若，且，.(1)求边的值；(2)求内角的角平分线的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，即，又因为，则，可得，又因为，所以．由余弦定理可得，即，则，解得：，或，由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取，故.（2）根据面积关系可得，即，解得：．5．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知的内角的对边分别是，已知.(1)求角的大小；(2)若为上一点，且，为的角平分线，求线段的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）由得，故，故即，因，故（2）由角平分线定理得：，则，在中，由余弦定理得：，得，由得：，得.6．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求cosA；(2)若点D在线段BC上，AD为的角平分线，且，求的周长．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由，得，所以，所以．（2）由（1）知．由题意知，，即，化简得．在中，，，根据余弦定理有，则，解得，从而，所以的周长为．

考点考点三高线问题1．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，(1)求(2)设，求边上的高.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，，，而A为三角形内角，，，整理得，得，又，且，（2）由正弦定理得，得，由（1）得，，，，设边上的高为h，则，边上的高为2．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知．(1)求．(2)若的面积为，，求边上的高．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得．又，，则，，则．又，，则，解得．（2）由的面积为，得，，则．由余弦定理，得，．又，，解得．，．设边上的高为，则，．3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.(1)求的大小；(2)若边上的高为，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）选择①，因为向量，，且，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以；选择②，由，得，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以；选择③，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以；（2）因为，所以，由余弦定理可得，当且仅当时取等号，所以，解得，所以，所以面积的最小值为.4．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，．(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上高线的长．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，则，所以，则，又，解得；（2）若选条件①：，由正弦定理知，可得，又，故满足所选条件的三角形不存在，不满足题意；若选条件②：，由余弦定理可得，，即得（负值舍去），所以满足条件的三角形唯一，设边上的高为，由三角形等面积法可知，即，解得，故边上高线的长为．若选条件③：，由正弦定理可得，即，所以，又，解得或，有两解，不符合题意．5．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）在中，内角所对的边分别为．(1)求；(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由，得，①由，得，②由①②联立，得，由，得，所以，又由，得．（2）因为的面积为，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，所以，可得，所以的周长为．6．（24-25高三上·