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文档简介

天津市2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷01本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将答题卡交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;2.本卷共9小题,每小题共5分,共45分.参考公式:·如果事件互斥,那么·柱体的体积公式,其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则()A. B. C. D.2.若,下列选项中,使“”成立的一个必要不充分条件为()A. B. C. D.3.函数的部分图象大致形状是()A. B.C. D.4.已知函数,若,,则的大小关系为()A. B. C. D.5.已知函数的部分图象如下图所示,则以下说法中,正确的为()A.B.C.不等式的解集为D.函数的图象的对称中心为6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A. B. C. D.7.如图是函数的部分图象,是图象的一个最高点,是图象与轴的交点,是图象与轴的交点,且的面积等于,则下列说法正确的是()A.函数的图象关于点对称;B.函数的最小正周期为;C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到;D.函数的单调递增区间是.8.已知抛物线:的焦点为点,双曲线的右焦点为点,线段与在第一象限的交点为点,若的焦距为6,且在点处的切线平行于的一条渐近线,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.9.已知函数,其中,若在区间内恰好有4个零点,则a的取值范围是()A. B. C. D.第Ⅱ卷1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10已知集合,则_________.11.在的展开式中,常数项为___________.(用数字作答)12.在公差大于零的等差数列中,,,成等比数列,若,则_____________.13.甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球,其中甲箱中有2个红球、2个白球,乙箱中有3个红球、1个白球,从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到白球的条件下,则2个球都是白球的概率为_________;掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于2,就从甲箱子中随机抽出1个球;如果点数大于等于3,就从乙箱子中随机抽出1个球,则抽到红球的概率为_________.14.已知数列满足,则数列的通项公式为______,若数列的前项和为,记,则数列的最大项为第______项.15.在四边形中,,,,,,分别为线段、的中点,若设,,则可用,表示为____________;___________.三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知的内角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,求的面积;(3)若,求.17.如图,三棱台中,为等边三角形,,平面ABC,点M,N,D分别为AB,AC,BC的中点,.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求点D到平面的距离.18.已知椭圆:的离心率为,左、右焦点分别为,,直线:交椭圆C于M,N两点,当直线过点时,的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设P为x轴上一点,是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求直线的方程及点P的坐标.19.若某类数列满足“,且”,则称这个数列为“型数列”.(1)若数列满足,求的值并证明:数列是“型数列”;(2)若数列的各项均为正整数,且为“型数列”,记,数列为等比数列,公比为正整数,当不是“型数列”时,(i)求数列的通项公式;(ii)求证:.20.设函数().(1)当时,求过点且与曲线相切的切线方程;(2)求函数的单调递增区间;(3)若函数有两个极值点,,且,记表示不大于的最大整数,试比较与的大小.

天津市2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷01本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将答题卡交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;2.本卷共9小题,每小题共5分,共45分.参考公式:·如果事件互斥,那么·柱体的体积公式,其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算法则以及复数的模的概念即可得到结果.【详解】,,故选:B.2.若,下列选项中,使“”成立的一个必要不充分条件为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意,等价于,若所求必要条件对应的范围为,则,由此判断即可得到本题的答案.【详解】不等式等价于,使“”成立的一个必要不充分条件,对应的集合为,则是的真子集,由此对照各项,可知只有A项符合题意.故选:A.3.函数的部分图象大致形状是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性,利用排除法即可得出结果.【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称,,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除选项B、D,当时,令可得或,所以时,两个相邻的零点为和,当时,,,,故排除选项A,故选:C.4.已知函数,若,,则的大小关系为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数自变量大小可得,再根据函数在上的单调性判断即可.【详解】因为,,所以,当时,,因为,所以在上单调递增,所以,故选:C.5.已知函数的部分图象如下图所示,则以下说法中,正确的为()A.B.C.不等式的解集为D.函数的图象的对称中心为【答案】C【解析】【分析】由图象求出函数的解析式,然后利用正弦函数的相关性质求解即可逐项判断出来.【详解】由图象可知,,所以,所以,所以,将代入得:,所以,由于,所以,所以,故A错误;,故B错误;由,所以,所以,解得,即不等式解集为,故C正确;令,解得,所以的图象的对称中心为,故D错误.故选:C6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm,再根据截面圆半径,球的半径以及球心距的关系,即可求出球的半径,从而得到球的体积.【详解】设球的半径为cm,根据已知条件知,正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm,球心到截面圆的距离为cm,所以由,得,所以球的体积为.故选:A.7.如图是函数的部分图象,是图象的一个最高点,是图象与轴的交点,是图象与轴的交点,且的面积等于,则下列说法正确的是()A.函数的图象关于点对称;B.函数的最小正周期为;C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到;D.函数的单调递增区间是.【答案】D【解析】【分析】根据部分图像求出的表达式,再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.【详解】由图像可知,,即,所以,故B错误;即,所以,且图像过点,即,又,所以,所以,当时,故A错误;将的图象向右平移个单位长度得到,故C错误;令,则,函数为增函数,当时为增函数,即,解得,所以函数的单调递增区间是,故D正确;故选:D.8.已知抛物线:的焦点为点,双曲线的右焦点为点,线段与在第一象限的交点为点,若的焦距为6,且在点处的切线平行于的一条渐近线,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知,,从而可得直线方程,再联立抛物线方程求出的横坐标,再根据导数的几何意义及直线平行的性质,求出渐近线(其中一条)的斜率,即可得解.【详解】抛物线:的焦点为,依题意可得,直线方程为,即,联立,可得,解得或,又线段与在第一象限的交点为点,的横坐标为,由,所以,在点处的切线斜率为,又在点处的切线平行于的一条渐近线,双曲线的一条渐近线的斜率为,双曲线的渐近线方程为.故选:D.9.已知函数,其中,若在区间内恰好有4个零点,则a的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据参数的范围,讨论两段函数的零点情况,利用二次函数与三角函数的图象与性质,结合端点满足的条件,即可求解.【详解】由函数,其中,当时,对任意,函数在内最多有1个零点,不符题意,所以,当时,,由可得或,则在上,有一个零点,所以在内有3个零点,即在内有3个零点,因为,所以,,所以,解得,综上所述,实数的取值范围为.故选:C.【点睛】方法技巧:已知函数零点(方程根)的个数,求参数的取值范围问题的三种常用方法:1、直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式(组)确定参数的取值范围;2、分离参数法,先分离参数,将问题转化成求函数值域问题加以解决;3、数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,然后数形结合求解.第Ⅱ卷1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题,共105分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.10已知集合,则_________.【答案】【解析】【分析】解不等式得到,由补集和交集的概念求出答案.【详解】,解得,故,其中,故.故答案为:11.在的展开式中,常数项为___________.(用数字作答)【答案】【解析】【分析】求出二项式展开式的通项,再令,求出,再代入计算可得;【详解】解:二项式的展开式通项公式为.令,解得,故展开式的常数项为,故答案为:.12.在公差大于零的等差数列中,,,成等比数列,若,则_____________.【答案】【解析】【分析】首先由条件得到,再根据等差数列的通项公式,转化为关于公差的方程,即可求解.【详解】设数列的公差为,由,得,且,所以,得,得或(舍),所以.故答案为:13.甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球,其中甲箱中有2个红球、2个白球,乙箱中有3个红球、1个白球,从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到白球的条件下,则2个球都是白球的概率为_________;掷一枚质地均匀的骰子,如果点数小于等于2,就从甲箱子中随机抽出1个球;如果点数大于等于3,就从乙箱子中随机抽出1个球,则抽到红球的概率为_________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用条件概率公式摸出的2个球是白球的概率;利用全概率公式求红球的概率.【详解】记事件表示“抽出的2个球中有白球”,事件表示“两个都是白球”,则,故;即从甲箱中随机抽出2个球,在已知抽到白球的条件下,则2个球都是白球的概率为;设事件表示“从乙箱中抽球”,则事件表示“从甲箱中抽球”,事件表示“抽到红球”,则,所以,即抽到红球的概率是.故答案为:;14.已知数列满足,则数列的通项公式为______,若数列的前项和为,记,则数列的最大项为第______项.【答案】①.②.【解析】【分析】当时求出,当时,,作差即可求出的通项公式,从而求出,即可表示出,再由基本不等式求出数列的最大项.【详解】因为,当时,,解得;当时,,两式相减得,即,经检验当时也成立,所以;因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号.所以数列的最大项为第项.故答案为:;.15.在四边形中,,,,,,分别为线段、的中点,若设,,则可用,表示为____________;___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用向量的加法可以求出第一个空;通过转化确定及与,的夹角,代入数量积的计算公式即可求出第二个空.【详解】由题意得,,,由分别为线段、的中点,知,,因此,;延长、交一点,由,,,,且.,又,,,,则.故答案为:;三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知的内角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,求的面积;(3)若,求.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)首先分析题意,利用正弦定理进行边角互化,进而通过特殊角的余弦值求解即可.(2)通过余弦定理列出方程,求解关键边长,进而求出三角形面积即可.(3)通过正弦定理判断角为锐角,利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理得:,,显然则,又,故;【小问2详解】,由余弦定理可得,整理可得,又,解得,【小问3详解】由正弦定理得:,则,,即,则,故为锐角,,,,17.如图,三棱台中,为等边三角形,,平面ABC,点M,N,D分别为AB,AC,BC的中点,.(1)证明:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值;(3)求点D到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用,结合平面,得出平面;(2)利用向量的夹角公式即可求解;(3)利用点到平面的距离的向量法公式,即可求解.【小问1详解】因为侧棱底面,为等边三角形,所以过点作,则以为点A为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立如下图所示的空间直角坐标系,设长为,则,,因为,所以,则有,.所以,,,,,,.证明:因为,,设平面的法向量为,则,令,则,又因为.所以,所以,又因为平面,所以平面.【小问2详解】因为为中点,所以,则,有,又,设直线与平面所成角为,,则直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】因为,平面的法向量为,所以,点D到平面的距离为.18.已知椭圆:的离心率为,左、右焦点分别为,,直线:交椭圆C于M,N两点,当直线过点时,的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设P为x轴上一点,是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,求直线的方程及点P的坐标.【答案】(1)(2)直线方程为,点的坐标为【解析】【分析】(1)由的周长借助椭圆的定义可求,再结合椭圆的离心率求得,进而求得椭圆C的标准方程;(2)联立直线和椭圆的方程,表示出的中点的坐标,根据,表示出点的坐标,再由列出等式,求出,即得解.【小问1详解】因为的周长为8,由椭圆的定义,,所以,又椭圆C的离心率为,即,∴,∴,∴椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设,,的中点为,,联立,整理得,因为直线与椭圆C交于M,N两点,故,解得,,,则,代入,∴,故,因为是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,∴,故,即,解得,故,由,故,即,又,,所以,经计算,,因为,所以,所以直线的方程为,点的坐标为.19.若某类数列满足“,且”,则称这个数列为“型数列”.(1)若数列满足,求的值并证明:数列是“型数列”;(2)若数列的各项均为正整数,且为“型数列”,记,数列为等比数列,公比为正整数,当不是“型数列”时,(i)求数列的通项公式;(ii)求证:.【答案】(1),,证明见解析(2)(i);(ii)证明见解析【解析】【分析】(1)首先分析题意,合理构造等比数列,结合新定义求解即可.(2)利用给定新定义结合放缩法证明即可.【小问1详解】,令,则,令,则;由①,当时,②,由①②

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