2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷01（适用于天津市）-1

天津市2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将答题卡交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分.参考公式：·如果事件互斥，那么·柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. B. C. D.2.若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（）A. B. C. D.3.函数的部分图象大致形状是（）A. B.C. D.4.已知函数，若，，则的大小关系为（）A. B. C. D.5.已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（）A.B.C.不等式的解集为D.函数的图象的对称中心为6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A. B. C. D.7.如图是函数的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，是图象与轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称；B.函数的最小正周期为；C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到；D.函数的单调递增区间是.8.已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.9.已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10已知集合，则_________.11.在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）12.在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________.13.甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为_________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为_________.14.已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项．15.在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为____________；___________.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积；（3）若，求.17.如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点D到平面的距离．18.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标.19.若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.（1）若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”；（2）若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，（i）求数列的通项公式；（ii）求证：.20.设函数（）．（1）当时，求过点且与曲线相切的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数有两个极值点，，且，记表示不大于的最大整数，试比较与的大小．

天津市2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷01本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将答题卡交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分.参考公式：·如果事件互斥，那么·柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算法则以及复数的模的概念即可得到结果.【详解】，，故选：B.2.若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案．【详解】不等式等价于，使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集，由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选：A．3.函数的部分图象大致形状是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，故选：C.4.已知函数，若，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数自变量大小可得，再根据函数在上的单调性判断即可.【详解】因为，，所以，当时，，因为，所以在上单调递增，所以，故选：C.5.已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（）A.B.C.不等式的解集为D.函数的图象的对称中心为【答案】C【解析】【分析】由图象求出函数的解析式，然后利用正弦函数的相关性质求解即可逐项判断出来.【详解】由图象可知，，所以，所以，所以，将代入得：，所以，由于，所以，所以，故A错误；，故B错误；由，所以，所以，解得，即不等式解集为，故C正确；令，解得，所以的图象的对称中心为，故D错误.故选：C6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积．【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为．故选：A．7.如图是函数的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，是图象与轴的交点，且的面积等于，则下列说法正确的是（）A.函数的图象关于点对称；B.函数的最小正周期为；C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到；D.函数的单调递增区间是.【答案】D【解析】【分析】根据部分图像求出的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.【详解】由图像可知，，即，所以，故B错误；即，所以，且图像过点，即，又，所以，所以，当时，故A错误；将的图象向右平移个单位长度得到，故C错误；令，则，函数为增函数，当时为增函数，即，解得，所以函数的单调递增区间是，故D正确；故选：D.8.已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解．【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得，直线方程为，即，联立，可得，解得或，又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为，由，所以，在点处的切线斜率为，又在点处的切线平行于的一条渐近线，双曲线的一条渐近线的斜率为，双曲线的渐近线方程为．故选：D．9.已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据参数的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解.【详解】由函数，其中，当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以，当时，，由可得或，则在上，有一个零点，所以在内有3个零点，即在内有3个零点，因为，所以，，所以，解得，综上所述，实数的取值范围为.故选：C.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.第Ⅱ卷1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10已知集合，则_________.【答案】【解析】【分析】解不等式得到，由补集和交集的概念求出答案.【详解】，解得，故，其中，故.故答案为：11.在的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】求出二项式展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式的展开式通项公式为．令，解得，故展开式的常数项为，故答案为：．12.在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________.【答案】【解析】【分析】首先由条件得到，再根据等差数列的通项公式，转化为关于公差的方程，即可求解.【详解】设数列的公差为，由，得，且，所以，得，得或（舍），所以.故答案为：13.甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为_________；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为_________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用条件概率公式摸出的2个球是白球的概率；利用全概率公式求红球的概率.【详解】记事件表示“抽出的2个球中有白球”，事件表示“两个都是白球”，则，故；即从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为；设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则，所以,即抽到红球的概率是.故答案为：；14.已知数列满足，则数列的通项公式为______，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第______项．【答案】①.②.【解析】【分析】当时求出，当时，，作差即可求出的通项公式，从而求出，即可表示出，再由基本不等式求出数列的最大项.【详解】因为，当时，，解得；当时，，两式相减得，即，经检验当时也成立，所以；因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号．所以数列的最大项为第项.故答案为：；．15.在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为____________；___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定及与，的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空.【详解】由题意得，,,由分别为线段、的中点，知，，因此，；延长、交一点,由,，，,且.,又，,,，则.故答案为：；三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积；（3）若，求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先分析题意，利用正弦定理进行边角互化，进而通过特殊角的余弦值求解即可.（2）通过余弦定理列出方程，求解关键边长，进而求出三角形面积即可.（3）通过正弦定理判断角为锐角，利用二倍角公式结合两角和的正弦公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理得：，，显然则，又，故；【小问2详解】，由余弦定理可得，整理可得，又，解得，【小问3详解】由正弦定理得：，则，，即，则，故为锐角，，，，17.如图，三棱台中，为等边三角形，，平面ABC，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点D到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，结合平面，得出平面；（2）利用向量的夹角公式即可求解；（3）利用点到平面的距离的向量法公式，即可求解．【小问1详解】因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作，则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，设长为，则，，因为，所以，则有，．所以，，，，，，．证明：因为，，设平面的法向量为，则，令，则，又因为．所以，所以，又因为平面，所以平面．【小问2详解】因为为中点，所以，则，有，又，设直线与平面所成角为，，则直线与平面所成角的正弦值为．【小问3详解】因为，平面的法向量为，所以，点D到平面的距离为．18.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标.【答案】（1）（2）直线方程为，点的坐标为【解析】【分析】（1）由的周长借助椭圆的定义可求，再结合椭圆的离心率求得，进而求得椭圆C的标准方程；（2）联立直线和椭圆的方程，表示出的中点的坐标，根据，表示出点的坐标，再由列出等式，求出，即得解．【小问1详解】因为的周长为8，由椭圆的定义，，所以，又椭圆C的离心率为，即，∴，∴，∴椭圆C的标准方程为.【小问2详解】设，，的中点为，，联立，整理得，因为直线与椭圆C交于M，N两点，故，解得，，，则，代入，∴，故，因为是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴，故，即，解得，故，由，故，即，又，，所以，经计算，，因为，所以，所以直线的方程为，点的坐标为.19.若某类数列满足“，且”，则称这个数列为“型数列”.（1）若数列满足，求的值并证明：数列是“型数列”；（2）若数列的各项均为正整数，且为“型数列”，记，数列为等比数列，公比为正整数，当不是“型数列”时，（i）求数列的通项公式；（ii）求证：.【答案】（1），，证明见解析（2）（i）；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）首先分析题意，合理构造等比数列，结合新定义求解即可.（2）利用给定新定义结合放缩法证明即可.【小问1详解】，令，则，令，则；由①，当时，②，由①②