7.3复数的三角形式 解析版

7.3复数的三角形式【考点梳理】考点一：复数的三角表示 考点二：复数的辐角考点三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义 考点四：复数三角表示综合问题【知识梳理】知识点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作argz，即0≤argz<2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。(3)常用的有关辐角主值的结论当aR+时arga=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。3.复数的三角形式复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。知识点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。则。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘：=。因此，如果就有[。这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。2.复数的除法设则z₁除以z₂的商：)]。这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（

）A．； B．；C．； D．.【答案】C【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案.【详解】，故选：C.2．（2024高一下·全国·专题）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解.【详解】.故选：D.3．（2023高一下·上海·专题）的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得.【详解】，故B正确；经检验，ACD都错误.故选：B题型二：复数的辐角4．（23-24高一下·福建泉州·阶段）复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解.【详解】因为，所以的辐角主值为.故选：C5．（22-23高一·全国）的辐角主值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误；对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误；对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确；对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误.故选：C.6．（21-22高一·全国）设，则复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：，因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为．故选：B.题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．（22-23高一·全国）计算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.【详解】因为所以，所以，故选：B.8．（24-25高一下·全国）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果；【详解】（1）原式．（2）原式．9．（24-25高一下·全国）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解.【详解】（1）．（2）原式．题型四：复数三角表示综合问题10．（2024高一下·上海）已知，且，若．(1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；(2)求．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值.（2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．【详解】（1），则；（2）设，而，则，又，于是，则，解得，，即，因此，所以．11．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根；(1)求证：；(2)设，求；(3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明；（2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果.【详解】（1）证明：.（2）依题意，，所以.（3）设，则，因此，解得，由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，因此对应的依次为，所以所求的集合是.12．（23-24高一下·重庆）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.(1)试将写成三角形式；(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；(3)计算：的值.【答案】(1)(2)推导过程见解析(3)【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案；（2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论；（3）由（2）的结论结合恒等变换推出，继而得，，再结合，化简，即可求得答案.【详解】（1）由于，故，则；（2）设模为1的复数为，则，由复数乘方公式可得，故；（3）首先证明：；由于，则，则，故，则可得，，所以.【高分达标】一、单选题13．（24-25高一下·全国）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（

）A．3 B．12 C． D．【答案】C【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可.【详解】由题意，得，由复数相等的定义，得解得，．故选：C14．（23-24高二下·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得旋转后对应的复数为.【详解】根据题意可知，复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转可得，即所得的向量对应的复数为.故选：A15．（2024高一下·全国·专题练习）设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解.【详解】因为，所以的辐角的主值为.故选：D.16．（2024高一下·全国·专题练习）（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复数的四则运算求解即可.【详解】，由于，所以，.故选：A.17．（2024高一下·全国·专题练习）复数的辐角的主值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据辐角主值的定义求解.【详解】.∵，∴，，∴.∵辐角的主值的取值范围为，∴复数z的辐角的主值为.故选：C.18．（2024高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（

）A．i B．C． D．【答案】D【分析】直接代入三角函数值即可运算求解.【详解】.故选：D.19．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】，在复平面内所对应的点为，在第二象限.故选：B.20．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定.【详解】，所以,所以的虚部为.故选:B.二、多选题21．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（

）A．＋i B．＋iC．＋i D．＋i【答案】CD【分析】根据题意，得到对应的复数为，得到对应的复数为或或，结合＝＋，即可求解.【详解】由正的顶点对应的复数为，可得对应的复数为，则对应的复数为，或，所以对应的复数为或，即或.故选：CD．22．（2024高一下·全国·专题练习）下列命题中正确的是（

）A．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是B．复数的辐角的主值是，则的辐角的主值是C．复数，的辐角的主值分别是，，则的辐角的主值是D．复数，的辐角的主值分别是，，且，则的辐角的主值是【答案】BD【分析】辅角的主值的取值范围是，若，，即可判断；由，即可判断；因为，即可判断；，为辐角的主值，可判断.【详解】设，，则，若，，则的辐角的主值为，不正确；，的辐角的主值为，正确；设，，，，，若，则的辐角的主值为，不正确；，所以的辐角的主值是，正确.故选：.23．（2024高一下·全国·专题练习）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据复数三角形式的乘除运算法则求解即可.【详解】因为，，，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；，所以，故D错误，故选：AC.24．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．复数的辐角的主值为B．复数的辐角的主值为C．复数的代数形式为D．复数的三角形式为【答案】AC【分析】根据辐角主值的定义可判断AB的正误，根据代数形式和三角形式的转化规则可判断CD的正误.【详解】对于A，因为，故的辐角的主值为，故A正确；对于B，而，故的辐角的主值不是，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故，故D错误.故选：AC.25．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知复数，满足，，且，则（

）A． B．C．若，则 D．【答案】ACD【分析】由，平方后可推出，即可判断D，由此可判断C；根据复数的乘法以及模的计算公式可判断A；根据复数的加法以及模的计算公式可判断B；【详解】由题意知复数，满足，，且，则，故，即，得，故，D正确；，得，A正确；由于，故，B错误；由以上D的分析可知，若，则，故，C正确；故选：ACD26．（2023高三·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由题意可知，，求出，再求出所对应的坐标，可得辐角.【详解】由题意可知，又，则，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为，故可以作为复数的辐角的是，，当时，.故选：BD.三、填空题27．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算：．【答案】【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可.【详解】.故答案为：28．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则.【答案】1【分析】根据欧拉公式结合诱导公式化简后可求出其模.【详解】由题意得，所以.故答案为：129．（23-24高一下·江苏淮安·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题，；关于x的方程，的解为．【答案】；或或或或或或或或．【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果．【详解】由题意，；由，得，则，即，即，即，即，解得或，又，，故或或或或或或或或，故x的取值集合为故答案为1，或或或或或或或或．30．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根．（1）设，则；（2）满足方程的复数的值所组成的集合为．【答案】【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.（2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解.【详解】（1）依题意，，所以.（2）设，则，因此，，解得，由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为，因此对应的依次为，所以所求的集合是.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已知条件的理解辨析，以及复数乘法的计算.四、解答题31．（24-25高一下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案.【详解】（1）原式．（2）原式．32．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.(1)设复数，求；(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模的公式求解即可；（2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可.【详解】（1）解：因为，则，所以为纯虚数，所以，解得.所以，因此.（2）解：因为，则，因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，解得.因此实数的取值范围是.33．（