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文档简介
2024年高考数学考前模拟题
1.如图,在三棱柱4BC・Ai3iCi中,A4_L平面A8C,4Al=AC=8C=2,NAC8=90°,
D,£分别是4山i,C。的中点
(I)求证:Ci。〃平面AiBE;
(II)求直线与平面A18E所成角的正弦值;
(III)在棱C。上是否存在一点P,使得平面加6与平面46E所成二面角为6(T?若
存在,求出。点的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(I)取A8的中点立连结。立交48于点M,可证。O〃EM,利用线面平
行的判定定理可得〃平面AiBE;
(II)建立空间直角坐标系,求出平面48E的法向号,利用向展的夹角公式,可求直线
AB与平面4由E所成角的正弦值;
(111)假设在棱C。上存在一点P,使得平面必B与平面4BE所成二面角为60°,求
出平面RW的法向量,根据向量的夹角公式,列方程求出点夕坐标,即可•得结论.
【解答】(I)证明:取A8的中点F,连接。F,交A18于点M,可知M为。尸中点,
连接EM,易知四边形。QME为平行四边形,
所以C\D//EM.
又平面平面48E,EMu平面A\BE,
所以〃平面
(II)解:如图建立空间直角坐标系。-町2,则A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,
1),A\(2,0,2).
:.AB=(-2,2,0),E1i=(2,0,1),EB=(0,2,-1).
设平面4相的法向量为3=(x,y,z),则降丁=°,即IQ::;
-n=01y'一
令x=l,贝Un=(l,-1,-2).
TrT厂
所以cos<4B,n>="M
明向
所以直线AB与平面A\BE所成角的正弦值为
(III)ft?:假设在梭CCi上存在一点P,使得平面必/3与平面48E所成二面角为60°,
设尸(0,0,c),0WcW2.
则24=(2,0,-c),设平面以B的法向量为m=(x,y,z),
则盟=:,即闻&乜,
-AB=0J
取4=6则益=(c,c,2),
由(n)知平面的法向量为£=(I,-I,-2).
所以|cos<m,n>\=磐川=_।4==
|m||n|后*2+C2+4
解得c=*<2,
故在棱CO上存在一点P,使得平面%B与平面4BE所成二面角为60°,P点的坐标
【点评】本题考查了空间向量在几何中的应用,考查了直线与平面平行的判定、线面角
和二面角的求法,考查了运算求解能力,转化与化归能力,逻辑推理能力,属于中档题
2.如图1,在平面四边形A8DC中,AB=2,AC=\,CD=瓜ZA=90c,cosZBCD=i
⑴求sin。;
(2)将△8CQ沿8C折起,形成如图2所示的三楂锥。-ABC,AD=2.
(i)三棱锥D-ABC中,证明:点。在平面ABC上的正投影为点A:
(ii)三棱锥O-A8C中,点E,F,G分别为线段AB,BC,4c的中点,设平面。£/
与平面QAC的交线为/,Q为/上的点.求DE与平面QFG所成角的正弦值的取值范闱.
图2
【分析】Q)在RtZV\BC中:求出BC,在△8CO中由余弦定理求出。的余弦函数值,
在△BC。中由止弦定理求解即川.
(2)(i)证明AD.LAC,推出AO_L平面ABC,得到结论.
(ii)以4坐标原点,分别以AB、AC,人。为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-孙z,
设。(0,1,2),求出平面QFG的法向量,法=(1,0,-2),设。七与平面QFG所
成角为。,利用空间向量的数展积求解表达式,然后推出。E与平面QFG所成角的正弦
值的取值范围.
【解答】解:(1)在RlaABC中:BC=>/AB2+AC2=V5,
在△8C。中由余弦定理:BC=CD=\/5,cos乙BCD=二卷
"Z段oC父-CL/〃□
所以80=2V2,
BCBD
在△8CO中由正弦定理:--=------;sin乙BCD=等,
stnDsinz.BCD5
所以sin。=
(2)(i)证明:在△D48中,因为48=2,AD=2,BD=2企,
所以吕/^二4/^+人。2,AQ_LA8,
在aD4c中,因为RC=1,AD=2,CD=V5,
所以。。2=心+加,ADLAC,
又因为48rMe=4,所以AQ_L平面ABC,
所以点D在平面A4C上的正投影为点人
点七和产分别在侧棱44、C。上,且4K=C尸=1.
(I)求证:8c〃平面。店尺
(2)求直线AO与平面。石尸所成角的正弦值.
R
【分析】(1)分别取CD,FD\的中点M,N,连结MMAM,EN,利用中位线定理证
明四边形AEMN是平行四边形,AMCA是平行四边形,从而得到〃硒,由线面
平行的判定定理证明即可;
(2)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数
法求出平面的法向量,由向量的夹角公式求解即可.
【解答】(1)证明:如图所示,分别取CD,FA的中点M,N,连结MMAM,EN,
则有MN是梯形CFQiD的中位线,故MN"CF"D\D,且MN=2(b+OQ)=2.
因为八1E=1,A\A//D\D,
所以E4=2=MN,旦MN〃EN,
所以四边形AEMN是平行四边形,
所以硒〃4M,同理可证AMCB是平行四边形,
所以BC〃4A/〃EM
又因为ENu平面。IER〃。仁平面。归巴
所以平面D1EF;
(2)解:以点4为坐标原点,48为工轴,A4为y轴,过点A且垂直于AB的直线为z
轴,
建立空间直角坐标系如图所示,
则A(0,0,0),E(0,0,2),D(-1,亭,0),。式一,苧,3),F点,孚,1),
-1T1凝T
所以AD=(-全三,0),D]E=(?-竽,-1),。/=(2,0,-2),
设平面O1E77的法向量为薪=(%,y,z),
则打¥=0,即告一亨y_z=O,
(m-DtF=0(2工-2z=0
令%=>/3,则y=-1,z=V3,故m=(V3,—1,73),
设直线AQ与平面。1即所成角为仇
所以sin0=|cos<AD,/
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