2024届高考数学模拟题及答案解析

2024年高考数学考前模拟题

1.如图，在三棱柱4BC・Ai3iCi中，A4_L平面A8C,4Al=AC=8C=2,NAC8=90°,

D,£分别是4山i,C。的中点

(I)求证：Ci。〃平面AiBE；

(II)求直线与平面A18E所成角的正弦值；

(III)在棱C。上是否存在一点P,使得平面加6与平面46E所成二面角为6(T?若

存在，求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(I)取A8的中点立连结。立交48于点M,可证。O〃EM,利用线面平

行的判定定理可得〃平面AiBE；

(II)建立空间直角坐标系，求出平面48E的法向号，利用向展的夹角公式，可求直线

AB与平面4由E所成角的正弦值；

(111)假设在棱C。上存在一点P,使得平面必B与平面4BE所成二面角为60°,求

出平面RW的法向量，根据向量的夹角公式，列方程求出点夕坐标，即可•得结论.

【解答】(I)证明：取A8的中点F,连接。F,交A18于点M,可知M为。尸中点，

连接EM,易知四边形。QME为平行四边形，

所以C\D//EM.

又平面平面48E,EMu平面A\BE,

所以〃平面

(II)解：如图建立空间直角坐标系。-町2,则A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,

1),A\(2,0,2).

：.AB=(-2,2,0),E1i=(2,0,1),EB=(0,2,-1).

设平面4相的法向量为3=(x,y,z),则降丁=°,即IQ：：；

-n=01y'一

令x=l,贝Un=(l,-1,-2).

TrT厂

所以cos<4B,n>="M

明向

所以直线AB与平面A\BE所成角的正弦值为

(III)ft?：假设在梭CCi上存在一点P,使得平面必/3与平面48E所成二面角为60°,

设尸(0,0,c),0WcW2.

则24=(2,0,-c),设平面以B的法向量为m=(x,y,z),

则盟=：,即闻&乜,

-AB=0J

取4=6则益=(c,c,2),

由(n)知平面的法向量为£=(I,-I,-2).

所以|cos<m,n>\=磐川=_।4==

|m||n|后*2+C2+4

解得c=*<2,

故在棱CO上存在一点P,使得平面%B与平面4BE所成二面角为60°,P点的坐标

【点评】本题考查了空间向量在几何中的应用，考查了直线与平面平行的判定、线面角

和二面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题

2.如图1,在平面四边形A8DC中，AB=2,AC=\,CD=瓜ZA=90c,cosZBCD=i

⑴求sin。；

(2)将△8CQ沿8C折起，形成如图2所示的三楂锥。-ABC,AD=2.

(i)三棱锥D-ABC中，证明：点。在平面ABC上的正投影为点A：

(ii)三棱锥O-A8C中，点E,F,G分别为线段AB,BC,4c的中点，设平面。£/

与平面QAC的交线为/,Q为/上的点.求DE与平面QFG所成角的正弦值的取值范闱.

图2

【分析】Q)在RtZV\BC中：求出BC,在△8CO中由余弦定理求出。的余弦函数值,

在△BC。中由止弦定理求解即川.

(2)(i)证明AD.LAC,推出AO_L平面ABC,得到结论.

(ii)以4坐标原点，分别以AB、AC,人。为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-孙z,

设。(0,1,2),求出平面QFG的法向量，法=(1,0,-2),设。七与平面QFG所

成角为。，利用空间向量的数展积求解表达式，然后推出。E与平面QFG所成角的正弦

值的取值范围.

【解答】解：(1)在RlaABC中：BC=>/AB2+AC2=V5,

在△8C。中由余弦定理：BC=CD=\/5,cos乙BCD=二卷

"Z段oC父-CL/〃□

所以80=2V2,

BCBD

在△8CO中由正弦定理：--=------；sin乙BCD=等，

stnDsinz.BCD5

所以sin。=

(2)(i)证明：在△D48中，因为48=2,AD=2,BD=2企，

所以吕/^二4/^+人。2，AQ_LA8,

在aD4c中，因为RC=1,AD=2,CD=V5,

所以。。2=心+加，ADLAC,

又因为48rMe=4,所以AQ_L平面ABC,

所以点D在平面A4C上的正投影为点人

点七和产分别在侧棱44、C。上，且4K=C尸=1.

（I）求证：8c〃平面。店尺

（2）求直线AO与平面。石尸所成角的正弦值.

R

【分析】（1）分别取CD,FD\的中点M,N,连结MMAM,EN,利用中位线定理证

明四边形AEMN是平行四边形，AMCA是平行四边形，从而得到〃硒，由线面

平行的判定定理证明即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】（1）证明：如图所示，分别取CD,FA的中点M,N,连结MMAM,EN,

则有MN是梯形CFQiD的中位线，故MN"CF"D\D,且MN=2（b+OQ）=2.

因为八1E=1,A\A//D\D,

所以E4=2=MN,旦MN〃EN,

所以四边形AEMN是平行四边形，

所以硒〃4M,同理可证AMCB是平行四边形，

所以BC〃4A/〃EM

又因为ENu平面。IER〃。仁平面。归巴

所以平面D1EF；

（2）解：以点4为坐标原点，48为工轴，A4为y轴，过点A且垂直于AB的直线为z

轴，

建立空间直角坐标系如图所示，

则A（0,0,0）,E（0,0,2）,D（-1,亭，0）,。式一,苧，3）,F点，孚，1）,

-1T1凝T

所以AD=（-全三，0）,D]E=（?-竽，-1）,。/=（2,0,-2）,

设平面O1E77的法向量为薪=(%,y,z),

则打¥=0,即告一亨y_z=O,

(m-DtF=0(2工-2z=0

令％=>/3,则y=-1,z=V3,故m=(V3,—1,73),

设直线AQ与平面。1即所成角为仇

所以sin0=|cos<AD，/