高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学实录1 新人教A版选修2-2

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算教学实录1新人教A版选修2-2课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：高中数学

2.教学年级和班级：高一年级

3.授课时间：2023年X月X日第2节

4.教学时数：1课时

二、核心素养目标分析三、教学难点与重点1.教学重点：

-复数代数形式的乘除运算规则：重点在于掌握复数乘法的分配律、结合律和交换律，以及复数除法中的分母有理化方法。

-复数乘除运算的实际应用：通过具体的例子，让学生学会如何将复数乘除运算应用于实际问题中，如解决几何问题或电路问题。

2.教学难点：

-复数乘除运算的技巧：难点在于如何正确进行复数乘法，特别是在乘法运算中出现多项式乘以多项式的情况。

-分母有理化的步骤理解：学生往往在分母有理化时容易出错，难点在于理解每一步的目的和如何正确操作。

-复数运算的几何意义：对于一些学生来说，理解复数乘除运算在复平面上的几何意义是一个难点，需要通过直观的图形来帮助学生理解。

-运算过程中符号的准确使用：在复数运算中，符号的正负和乘除的顺序是容易出错的地方，需要特别强调和练习。四、教学方法与策略1.采用讲授法，结合多媒体课件展示复数乘除运算的步骤和规则，直观地展示复数在复平面上的几何意义。

2.设计小组讨论活动，让学生通过合作解决实际问题，加深对复数乘除运算的理解。

3.利用在线互动平台，提供实时反馈，让学生在练习中巩固知识，同时教师通过提问和解答帮助学生克服难点。

4.结合数学游戏，如复数拼图，增加学习的趣味性，提高学生的学习积极性。五、教学过程一、导入新课

（教师）

同学们，我们上节课学习了复数的概念，知道了复数是由实部和虚部组成的。今天，我们将继续探讨复数的运算，特别是复数代数形式的乘除运算。请大家回顾一下复数的定义，准备好进入今天的课堂。

（学生）

回顾了复数的定义，了解到复数由实部和虚部组成。

二、新课讲授

1.复数乘法

（教师）

首先，我们来复习一下复数乘法的基本规则。假设有两个复数\(a+bi\)和\(c+di\)，它们的乘积是\((a+bi)\times(c+di)\)。按照分配律，我们可以将其展开为\(ac+adi+bci+bdi^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(bdi^2=-bd\)。因此，乘积可以简化为\((ac-bd)+(ad+bc)i\)。

（学生）

明白了，复数乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。

（教师）

现在，让我们通过一个例子来实践一下。假设我们要计算\((2+3i)\times(4-5i)\)。

（学生）

\((2+3i)\times(4-5i)=(2\times4)+(2\times-5i)+(3i\times4)+(3i\times-5i)=8-10i+12i-15i^2\)。

（教师）

很好，我们得到了\(8+2i\)。注意，这里我们使用了\(i^2=-1\)来简化计算。

2.复数除法

（教师）

（学生）

明白了，我们需要乘以共轭复数来有理化分母。

（教师）

让我们通过一个例子来练习。计算\(\frac{1+2i}{3-4i}\)。

（学生）

\(\frac{1+2i}{3-4i}=\frac{(1+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{3+4i+6i+8i^2}{9+12i-12i-16i^2}=\frac{3+10i-8}{9+16}=\frac{-5+10i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。

（教师）

正确！我们得到了\(-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i\)。注意，我们在计算过程中使用了\(i^2=-1\)。

3.实际应用

（教师）

现在，让我们将这些运算应用到实际问题中。例如，一个电路中的电流是\(3+4i\)安培，电阻是\(2+3i\)欧姆，求电路中的电压。

（学生）

电压\(V=I\timesR=(3+4i)\times(2+3i)=6+9i+8i+12i^2=6+17i-12=-6+17i\)。

（教师）

很好，我们得到了电压为\(-6+17i\)伏特。

三、课堂练习

（教师）

（学生）

认真完成练习题，检查自己的计算过程。

四、课堂总结

（教师）

今天我们学习了复数代数形式的乘除运算。我们了解到复数乘法遵循分配律，并且\(i^2=-1\)。在复数除法中，我们需要乘以共轭复数来有理化分母。我们还通过实际应用题巩固了这些运算。

（学生）

五、布置作业

（教师）

请大家课后完成以下作业：

1.复数乘法练习题；

2.复数除法练习题；

3.应用复数乘除运算解决实际问题。

（学生）

认真完成作业，准备下一节课的讨论。六、知识点梳理1.复数的定义

-复数是形如\(a+bi\)的数，其中\(a\)是实部，\(b\)是虚部，\(i\)是虚数单位，满足\(i^2=-1\)。

2.复数的几何表示

-复数\(a+bi\)可以在复平面上表示为一个点，其实部\(a\)表示点的横坐标，虚部\(b\)表示点的纵坐标。

3.复数的相等

-两个复数\(a+bi\)和\(c+di\)相等，当且仅当它们的实部相等，虚部也相等，即\(a=c\)且\(b=d\)。

4.复数的加法

-复数加法遵循实部与实部相加，虚部与虚部相加的规则，即\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)。

5.复数的减法

-复数减法遵循实部与实部相减，虚部与虚部相减的规则，即\((a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\)。

6.复数的乘法

-复数乘法遵循分配律，即\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)。

7.复数的除法

-复数除法需要乘以共轭复数来有理化分母，即\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\)。

8.复数的模

-复数\(a+bi\)的模定义为\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)。

9.复数的共轭

-复数\(a+bi\)的共轭复数为\(a-bi\)。

10.复数的乘除运算性质

-复数乘法满足结合律和交换律。

-复数除法满足结合律。

-复数乘法满足分配律。

11.复数的几何意义

-复数的乘法在复平面上表示为向量乘法，乘积的模表示向量的长度，乘积的辐角表示向量的方向。

12.复数的应用

-复数在电子学、信号处理、流体力学等领域有广泛的应用。七、典型例题讲解1.例题一：计算复数乘法

-题目：计算\((3+2i)\times(4-3i)\)。

-解答：\((3+2i)\times(4-3i)=(3\times4)+(3\times-3i)+(2i\times4)+(2i\times-3i)=12-9i+8i-6i^2\)。由于\(i^2=-1\)，所以\(12-9i+8i-6i^2=12-i+6=18-i\)。

2.例题二：计算复数除法

-题目：计算\(\frac{5+3i}{2-i}\)。

-解答：\(\frac{5+3i}{2-i}=\frac{(5+3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{(5\times2)+(5\timesi)+(3i\times2)+(3i\timesi)}{(2^2)+(2\timesi)-(2\timesi)-(i^2)}=\frac{10+5i+6i-3}{4+1}=\frac{7+11i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{11}{5}i\)。

3.例题三：计算复数的模

-题目：计算复数\(2+3i\)的模。

-解答：\(|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)。

4.例题四：求复数的共轭

-题目：求复数\(4-5i\)的共轭。

-解答：复数\(4-5i\)的共轭是\(4+5i\)。

5.例题五：利用复数解决几何问题

-题目：在复平面上，点\(A\)的坐标为\(2+3i\)，点\(B\)的坐标为\(4-i\)。求线段\(AB\)的长度。

-解答：线段\(AB\)的长度可以通过计算两个点的坐标差的模来得到。首先，计算\(AB\)的坐标差：\((4-i)-(2+3i)=2-4i\)。然后，计算模：\(|2-4i|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。因此，线段\(AB\)的长度是\(2\sqrt{5}\)。八、反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的应用：在讲解复数乘除运算时，我尝试引入实际案例，如电路问题、几何问题等，让学生在实际情境中应用所学知识，提高他们的实践能力。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件展示复数在复平面上的几何意义，以及复数乘除运算的步骤，使抽象的概念更加直观易懂。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对复数乘除运算的掌握程度不够：部分学生在进行复数乘除运算时，容易出错，特别是在分母有理化过程中。

2.学生对复数几何意义的理解不足：一些学生对复数在复平面上的几何表示和运算的几何意义理解不够深入，需要加强这方面的教学。

3.课堂互动不足：在课堂教学中，我发现学生参与度不高，互动环节较少，需要改进教学方法，提高学生的参与积极性。

反思改进措施（三）改进措施

1.加强对复数乘除运算的练习：针对学生在复数乘除运算中容易出错的问题，我将增加练习题的数量和难度，让学生通过反复练习来提高运算能力。

2.深入讲解复数的几何意义：为了帮助学生更好地理解复数在复平面上的几何表示和运算的几何意义，我将结合具体例子进行讲解，并利用图形工具进行辅助教学。

3.提高课堂互动性：为了提高学生的参与积极性，我将设计更多互动环节，如小组讨论、问题解答等，鼓励学生主动参与课堂，提出问题和观点。

4.课后辅导和答疑：对于学习上有困难的学生，我将提供课后辅导和答疑服务，帮助他们解决学习中的问题，提高学习效果。

5.定期评估和反馈：我将定期对学生进行评估，了解他们的学习进度和存在的问题，并根据评估结果调整教学策略，确保教学效果。板书设计①复数乘法

-复数乘法公式：\((a+bi)\times(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)

-\(i^2=-1\)

-分配律、结合律、交换律

②复数除法

-复数除法公式：\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\)

-分母有理化：乘以共轭复数

-\(i^2=-1\)

③复数的模

-复数模公式：\(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\)

-模的几何意义：复平面上点到原点的距离

④复数的共轭

-共轭复数公式：\(a+bi\)的共轭为\(a-bi\)

-共轭复数的几何意义：复平面上点关于实轴的对称点

⑤复数