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第十二章专题强化十七提能训练练案[60]基础过关练题组一电磁感应中的电路问题1.(2024·湖南长沙月考)如图所示,由均匀导线制成的半径为R的圆环,以速度v匀速进入一磁感应强度大小为B的匀强磁场,当圆环运动到图示位置(∠aOb=90°)时,a、b两点的电势差为(D)A.eq\r(2)BRv B.eq\f(\r(2),2)BRvC.eq\f(\r(2),4)BRv D.eq\f(3\r(2),4)BRv[解析]当圆环运动到题图所示位置时,圆环切割磁感线的有效长度为eq\r(2)R,产生的感应电动势E=eq\r(2)BRv,a、b两点的电势差Uab=eq\f(3,4)E=eq\f(3\r(2),4)BRv,故选D。2.(2022·全国甲卷)三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框,正方形线框的边长与圆线框的直径相等,圆线框的半径与正六边形线框的边长相等,如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中,线框所在平面均与磁场方向垂直,正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则(C)A.I1<I3<I2 B.I1>I3>I2C.I1=I2>I3 D.I1=I2=I3[解析]设线框的面积为S,周长为L,导线的截面积为S′,由法拉第电磁感应定律可知,线框中感应电动势E=eq\f(ΔΦ,Δt)=eq\f(ΔB,Δt)S,而线框的总电阻R=ρeq\f(L,S′),所以线框中感应电流I=eq\f(E,R)=eq\f(SS′ΔB,ρLΔt),由于三个线框处于同一线性变化的磁场中,且绕制三个线框的导线相同,设正方形线框的边长为l,则三个线框的面积分别为S1=l2,S2=eq\f(π,4)l2,S3=eq\f(3\r(3),8)l2,三个线框的周长分别为L1=4l,L2=πl,L3=3l,则I1∶I2∶I3=eq\f(S1,L1)∶eq\f(S2,L2)∶eq\f(S3,L3)=2∶2∶eq\r(3),故C正确。3.如图,导体轨道OPQS固定,其中PQS是半圆弧,Q为半圆弧的中点,O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆,M端位于PQS上,OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为B。现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ);再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B′(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中,流过OM的电荷量相等,则eq\f(B′,B)等于(B)A.eq\f(5,4) B.eq\f(3,2)C.eq\f(7,4) D.2[解析]在过程Ⅰ中,根据法拉第电磁感应定律,有E1=eq\f(ΔΦ1,Δt1)=eq\f(B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)πr2-\f(1,4)πr2)),Δt1),根据闭合电路的欧姆定律,有I1=eq\f(E1,R),且q1=I1Δt1;在过程Ⅱ中,有E2=eq\f(ΔΦ2,Δt2)=eq\f(B′-B\f(1,2)πr2,Δt2),I2=eq\f(E2,R),q2=I2Δt2,又q1=q2,即eq\f(B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)πr2-\f(1,4)πr2)),R)=eq\f(B′-B\f(1,2)πr2,R),所以eq\f(B′,B)=eq\f(3,2)。故B正确。题组二电磁感应中的图像问题4.如图甲所示,在线圈l1中通入电流i1后,在l2上产生的感应电流随时间变化的规律如图乙所示,l1、l2中电流的正方向如图甲中的箭头所示。则通入线圈l1中的电流i1随时间t变化的图像是如图中的(D)ABCD[解析]因为感应电流大小不变,根据法拉第电磁感应定律得:I=eq\f(E,R)=eq\f(n\f(ΔΦ,Δt),R)=eq\f(n\f(ΔB,Δt)S,R),而线圈l1中产生的磁场变化是因为电流发生了变化,所以I=eq\f(n\f(ΔB,Δt)S,R)∝eq\f(n\f(Δi,Δt)S,R),所以线圈l1中的电流均匀改变,A、C错误;根据题图乙可知,0~eq\f(T,4)时间内l2中的感应电流产生的磁场方向向左,所以线圈l1感应电流产生的磁场方向向左并且减小,或方向向右并且增大,B错误,D正确。5.在水平光滑绝缘桌面上有一边长为L的正方形线框abcd,被限制在沿ab方向的水平直轨道自由滑动。bc边右侧有一等腰直角三角形匀强磁场区域efg,直角边ge和ef的长也等于L,磁场方向竖直向下,其俯视图如图所示,线框在水平拉力作用下向右以速度v匀速穿过磁场区,若图示位置为t=0时刻,设逆时针方向为电流的正方向。则感应电流i-t图像正确的是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(时间单位为\f(L,v)))(D)[解析]bc边的位置坐标x在0~L的过程,根据楞次定律判断可知线框中感应电流方向沿a→b→c→d→a,为正值。线框bc边有效切割长度为l=L-vt,感应电动势为E=Blv=B(L-vt)·v,随着t均匀增加,E均匀减小,感应电流i=eq\f(E,R),即知感应电流均匀减小。同理,x在L~2L过程,根据楞次定律判断出来感应电流方向沿a→d→c→b→a,为负值,感应电流仍均匀减小,故A、B、C错误,D正确。6.(多选)在竖直向上的匀强磁场中,水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈,线圈所围的面积为0.1m2,线圈电阻为1Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向,如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。以下说法正确的是(AC)A.在0~2s时间内,I的最大值为0.01AB.在3~5s时间内,I的大小越来越小C.前2s内,通过线圈某横截面的总电荷量为0.01CD.第3s内,线圈的发热功率最大[解析]0~2s时间内,t=0时刻磁感应强度变化率最大,感应电流最大,I=eq\f(E,R)=eq\f(ΔB·S,RΔt)=0.01A,A项正确;3~5s时间内,磁感应强度的变化率不变,感应电流大小不变,B项错误;前2s内通过线圈某横截面的电荷量q=eq\f(ΔΦ,R)=eq\f(ΔB·S,R)=0.01C,C项正确;第3s内,B没有变化,线圈中没有感应电流产生,则线圈的发热功率最小,D项错误。能力综合练7.(多选)在水平放置的两条平行光滑直金属导轨上放有一与其垂直的金属棒ab,匀强磁场与导轨平面垂直,磁场方向如图所示,导轨接有R1=5Ω和R2=6Ω的两定值电阻及电阻箱R,其余电阻不计。电路中的电压表量程为0~10V,电流表的量程为0~3A。现将R调至30Ω,用F=40N的水平向右的力使ab垂直导轨向右平移。当棒ab达到稳定状态时,两电表中有一表正好达到满偏,而另一表未达到满偏。下列说法正确的是(BC)A.当棒ab达到稳定状态时,电流表满偏B.当棒ab达到稳定状态时,电压表满偏C.当棒ab达到稳定状态时,棒ab的速度大小是1m/sD.当棒ab达到稳定状态时,棒ab的速度大小是2m/s[解析]假设电压表满偏,则通过电流表的电流I=eq\f(U,\f(R2R,R2+R))=2A<3A,所以电压表可以满偏,此时电流表的示数为2A,故A错误,B正确;棒ab匀速运动时,水平拉力F与安培力大小相等,有FA=BIL=F,感应电动势E=U+IR1=(10+2×5)V=20V,又E=BLv,解得v=eq\f(EI,F)=1m/s,故C正确,D错误。8.如图所示,固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的金属棒,一端与圆环接触良好,另一端固定在竖直导电转轴OO′上,随轴以角速度ω匀速转动。在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器,有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g,不计其他电阻和摩擦,下列说法正确的是(B)A.棒产生的电动势为eq\f(1,2)Bl2ωB.微粒的电荷量与质量之比为eq\f(2gd,Br2ω)C.电阻消耗的电功率为eq\f(πB2r4ω,2R)D.电容器所带的电荷量为CBr2ω[解析]棒转动时垂直切割磁感线,由于只在圆环内存在磁场,故产生的电动势E=Br·eq\f(0+rω,2)=eq\f(1,2)Br2ω,A项错误;由于棒无电阻,故电容器、电阻两端电压均等于E,对微粒,由平衡条件有mg=eq\f(qE,d),故微粒的比荷eq\f(q,m)=eq\f(2gd,Br2ω),B项正确;电阻R消耗的电功率P=eq\f(E2,R)=eq\f(B2r4ω2,4R),C项错误;由Q=CE可知,电容器所带电荷量Q=eq\f(1,2)CBr2ω,D项错误。9.某铁路安装有一种电磁装置可以向控制中心传输信号,以确定火车的位置和运动状态,其原理是将能产生匀强磁场的磁铁安装在火车首节车厢下面,如图甲所示(俯视图),当它经过安放在两铁轨间的线圈时,线圈便产生一个电信号传输给控制中心。线圈边长分别为l1和l2,匝数为n,线圈和传输线的电阻忽略不计。若火车通过线圈时,控制中心接收到线圈两端的电压信号u与时间t的关系如图乙所示(ab、cd均为直线),t1、t2、t3、t4是运动过程的四个时刻,则火车(D)A.在t2~t3时间内做匀速直线运动B.在t3~t4时间内做匀减速直线运动C.在t1~t2时间内加速度大小为eq\f(u2-u1,Bl1t2-t1)D.在t1~t2时间内和在t3~t4时间内阴影面积相等[解析]根据动生电动势表达式E=Blv可知,感应电动势与速度成正比,而在ab段的电压随时间均匀增大,可知在t1~t2时间内,火车的速度随时间也均匀增大,火车在这段时间内做的是匀加速直线运动;在t2~t3时间内,这段时间内电压为零,是因为线圈没有产生感应电动势,不是火车做匀速直线运动;cd段的电压大小随时间均匀增大,可知在t3~t4时间内,火车的速度随时间也均匀增大,火车在这段时间内做的是匀加速直线运动,A、B错误;假设t1时刻对应的速度为v1,t2时刻对应的速度为v2,结合题图乙可得u1=nBl1v1,u2=nBl1v2,故这段时间内的加速度为a=eq\f(v2-v1,t2-t1)=eq\f(u2-u1,nBl1t2-t1),C错误;假设磁场的宽度为d,可知在t1~t2和t3~t4这两段时间内,线圈相对于磁场通过的位移大小均为d,根据u=nBL1v可得∑u·t=∑nBl1v·t=nBl1∑v·t=nBl1x,可知在t1~t2时间内和在t3~t4时间内阴影面积均为S=nBl1d,D正确。10.某风速实验装置由风杯组系统(图甲)和电磁信号产生系统(图乙)两部分组成。电磁信号产生器由圆形匀强磁场和固定于风轮转轴上的导体棒OA组成(O点连接风轮转轴),磁场半径为L,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里,导体棒OA长为1.5L,电阻为r,风推动风杯组绕水平轴顺时针匀速转动,风杯中心到转轴距离为2L,导体棒每转一周A端与弹性簧片接触一次,接触时产生的电流恒为I。图乙中电阻为R,其余电阻不计。求:(1)当导体棒与弹性簧片接触时,O、A两端间电势差UOA;(2)风杯的速率v。[答案](1)-IR(2)eq\f(4IR+r,BL)[解析](1)根据题意可知,当导体棒在磁场中顺时针转动时,相当于电源,且O端相当于电源的负极,则根据欧姆定律可知,O、A两端间电势差UOA数值上等于电路中的外电压,则有UOA=-IR。(2)依题意有,电源电动势为E=eq\f(1,2)BL2ω结合闭合电路的欧姆定律有E=eq\f(1,2)BL2ω=I(r+R)解得ω=eq\f(2Ir+R,BL2)则风杯的速率为v=ω×2L=eq\f(4IR+r,BL)。11.(2024·广东湛江联考)如图所示,一个电阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为R的电阻连接成闭合回路,线圈的半径为r1,在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场,磁感应强度B0随时间t变化的关系为eq\f(ΔB0,Δt)=k,电阻R的两端通过导线与平行金属板a、b相连,两足够长的平行边界MN、PQ区域内,有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B,两边界MN、PQ的距离为d,一质量为m、带电荷量为+q的粒子(不计重力),在a板中央处由静止释放,经b板上的小孔射出后,垂直进入磁场,最终粒子从边界离开磁场。求:(1)粒子进入磁场时的速度大小v;(2)该粒子离开磁场时,偏离原方向的距离x。[答案](1)r2eq\r(\f(nqkπ,m))(2)eq\f(mr2,qB)eq\r(\f(nqkπ,m))-eq\r(\f(nmkπr\o\al(2,2),qB2)-d2)或eq\f(2mr2,qB)eq\r(\f(nqkπ,m))[解析](1)由法拉第电磁感应定律有E=neq\f(ΔΦ,Δt),解得E=neq\f(ΔB,Δt)S=nkπreq\o\al(2,2)由闭合电路的欧姆定律有I=eq\f(E,R+R),平行金属板a、b两端的电压U=IR粒子在电场中运动时,由动能定理有qU=eq\f(1,2)mv2,解得v=r2

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