2024年安徽宣城宁国中学自主招生数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年安徽省宣城市宁国中学数学自主招生（试题卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解正确的是（

）A．； B．；C．； D．；2．若关于的不等式组的解集中的任意的值，都能使不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．如图，已知中，为的平分线，，，，则的值为（

）A． B．2 C． D．14．定义：表示这三个数的中位数，用表示这三个数的最小数．例如：，．如果，则x的值为（

）A．2或 B．1或 C．2或 D．1或5．如图，中，，，为平面内一点，若，，则的值可能为（

）A． B． C． D．6．如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（

）A． B． C． D．二、填空题7．黄山景色绝美，景观奇特．“五一”假期，黄山风景区进山游客近13万人，黄山景区门票旺季190元/人，以此计算，“五一”假期黄山景区进山门票总收入用科学记数法表示为．8．若，则的值为．9．定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为．10．已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点，若其与直线交于A、B两点，与直线交于P、Q两点，则值为．三、解答题11．（1）若，求；（2）先化简再求值：，其中．12．请按以下要求完成尺规作图．(1)如图1，菱形中，点在对角线上，请作出一对以所在直线为对称轴的全等三角形，使交于点，交于点，．你有几种解法？请在下图中完成；（保留必要作图痕迹，不写作法）(2)如图2，点是菱形内部一点，请作出一条过点的直线，交射线，射线于点，且，聪明的你肯定有多种不同作法？请在下图中完成两种作法，并选择其中一种证明：．（保留必要作图痕迹，不写作法）13．如图，直角三角形中，以直角边为直径作圆交于点，过点作于点，为的中点，连接并延长交于点，．(1)求证：；(2)求；(3)若，求圆的面积．14．已知四边形，，点P在射线上运动，连接．(1)若四边形为正方形，点M在上，且．请判断之间数量关系，并说明理由；(2)若四边形为菱形呢？，其他条件与（1）同，则（1）中的结论还成立吗？并说明理由；(3)若四边形为正方形，将线段绕点P顺时针旋转于，此时的最小值为多少？的最小值呢？并说明理由．15．已知抛物线的顶点坐标为，与轴交点分别为点、（点在点左侧），与轴交点为，一次函数与轴所形成的夹角的正切值为，方程有两个相等的实数根．(1)求该抛物线的解析式；(2)点是该抛物线上一动点，则在抛物线对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标及该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；(3)若将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，点关于轴的对称点为，若过点的直线与交于、两点（点在点左侧），点关于轴的对称点为，若与面积相等，求直线的解析式．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2024年安徽省宣城市宁国中学数学自主招生（试题卷）》参考答案题号123456答案CDABAD1．C【分析】本题考查了因式分解的判定，掌握提取公因式法，公式法因式分解是解题的关键．运用提公因式法，公式法分解因式进行判定即可求解．【详解】解：A、，原选项不符合题意；B、，原选项不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，不是因式分解，不符合题意；故选：C．2．D【分析】本题考查了不等式组求解集，掌握不等式的性质，不等式组解集的取值方法是解题的关键．根据题意得到，再解不等式组得到或，分类讨论：当时，不等式组的解集为；当时，不等式组的解集为；由此即可求解．【详解】解：，∴，，解①得，解②得，，当时，不等式组的解集为，∵，∴，解得，；当时，不等式组的解集为，∵，∴，解得，；∴，故选：D．3．A【分析】在取一点，使，连接，利用勾股定理的联系定理先判定三是直角三角形，再利用判定三角形全等得到，进而得到，，再利用勾股定理求出，进而求得的长度．【详解】解：在取一点，使，连接．，，，，，，是直角三角形，．为的平分线，．在和中，，，，是直角三角形．，，，即，，．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．4．B【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，理解题意，分类讨论列方程，即可解答，正确列出方程是解题的关键．结合题意，分为最大数，为最大数，为最大数三种情况，分别求解即可．【详解】解：由可得，三个数中，最小数和中位数相等，当为最大数时，可得，解得，此时，，符合题意；当为最大数时，可得，解得，此时，符合题意；当为最大数时，可得，解得，当时，，不符合前提条件，当时，，不符合前提条件，综上，x的值为1或．故选：B．5．A【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过作于，，，，再由等腰三角形的性质可得，，然后由角所对直角边是斜边的一半得，设，则，则根据勾股定理可得，又，故有，然后得到，从而求解．【详解】解：∵中，，，∴将绕点顺时针旋转得到，连接，过作于，根据旋转的性质可知：，，，∴，，∴，∴，∴设，则，根据勾股定理可得，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，即，∴，选项符合题意，故选：．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．6．D【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，证明，设，由点和点，则，，求得，可得，进而求得直线的解析式为，联立，然后求出，再通过即可求解．【详解】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，∵直线与反比例函数相交于点，∴，，解得：，，∴直线解析式为，反比例函数，当时，，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，，设，∵点和点，∴，，∵，∴，解得，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴，令，则，∴，∴，联立，解得：或，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，掌握知识点的应用是解题的关键．7．【分析】本题考查了科学记数法的运用，正确确定的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解．【详解】解：黄山风景区进山游客近13万人，黄山景区门票旺季190元/人，∴，故答案为：．8．【分析】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，掌握这些知识及运算法则是解题的关键．由，则，即，然后两式相减得出，最后讨论即可．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵当时，，∴当时，，故答案为：．9．1【分析】本题考查了新定义，不等式的性质，配方法求最值的计算，理解新定义运算，掌握不等式的性质，配方法求最值的计算方法是解题的关键．根据题意得到，，，则，，由此得到当时，有最大值，代入计算即可求解．【详解】解：已知，∴，∴，∵，∴，，∴，解得，，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，∴，故答案为：1．10．【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，两点之间的距离等知识，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再分别联立抛物线与一次函数的解析式，解出A，B，P，Q的坐标，然后再根据两点之间的距离公式得出，的，最后代入求解即可．【详解】解：∵对称轴为直线，∴，∴二次函数为又∵且过点∴，解得：，∴二次函数的解析式为：联立，解得：或，∴A．B两点的坐标为，，∴联立解得：或，∴P．Q两点的坐标为，，∴，∴，故答案为：11．（1）；（2），【分析】本题考查了解二元一次方程组，分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则，熟记特殊角的三角函数值；（1）先根据加减消元法解二元一次方程组，再代入求值即可；（2）先化简分式，再根据特殊角的三角函数值求出m，再代入求值即可．【详解】（1）解：，由得，解得：，把代入得，解得：，方程组的解为：，，；（2）解：原式，当时，原式．12．(1)作图见详解(2)作图见详解【分析】（1）根据菱形的性质，全等三角形的判定方法作图即可；（2）根据菱形的性质，全等三角形的判定方法作图即可．【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以大于，小于的长为半径画弧交于点，交于点，∴，∵四边形是菱形，∴，且，∴，∴点即为所求点的位置；如图所示，连接并延长，分别交于点，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴点即为所求点的位置；（2）解：方法一，如图所示，连接交于点；连接并延长交于点；以点为圆心，以为半径画弧，交于点；连接，以点为圆心，以为半径画弧，交于点；连接，并向两边延伸，交于点，∴，∴，∴，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，∴点即为所求点的位置；方法二，如图所示，连接，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接；以点为圆心，以为半径画弧交于点；连接并向两边延时交于点，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，且，∴，即，∴是的垂直平分线，∴，∴点即为所求点的位置．【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质（三线合一）的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．13．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据题意可得，可证，，得到，，由为的中点，即，得到即可求解；（2）连接，设，，可证明，则，而，由，得到，，则在中，由勾股定理得，解得：，那么由即可求解；（3）连接，由直角三角形性质得到，则，求出，即可求解面积．【详解】（1）证明：∵根据题意，是直角三角形，，以直角边为直径作圆，，∴，∴，，∴，，∴，∵为的中点，即，∴；（2）解：连接，设，∵为直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∵，∴，，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，，，解得：，∴；（3）解：连接，∵，F为中点，∴，∴由上得：，∴，∴圆的面积为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质，难度较大，正确合理转化是解题的关键．14．(1)，理由见解析(2)不成立，理由见解析(3)最小值为，的最小值为【分析】（1）由勾股定理得，则，证明即可求证；（2）先证明为等边三角形，则，那么同上可证明：，即可得到；（3）①在上截取，连接，过点D作于点，可证明，然后确定轨迹为射线，那么当时，取得最小值，此时点Q由于点V重合，即最小值为，则；②延长，可得，作关于的对称点，则点在射线上，连接，则，，那么，故当点三点共线时，取得最小值，即为，再由勾股定理即可求．【详解】（1）解：，理由如下：如图：连接，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：不成立，理由如下，连接∵四边形是菱形，∴，∴为等边三角形，∴，同上可证明：∴；（3）解：①在上截取，连接，过点D作于点∵四边形是正方形，∴∴，由旋转得：，∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴轨迹为射线，∴当时，取得最小值，此时点Q由于点V重合，即最小值为，∴，∴最小值为；②延长，∵，，∴，作关于的对称点，则点在射线上，连接，则，，∴，∴当点三点共线时，取得最小值，即为，∵，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查了正方形和菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．(1)；(2)存在，点的坐标为，平行四边形的面积为(3)或【分析】（1）如图，设一次函数与轴交点为F，与轴交点为E，利用正切的定义得到，，求出，求出k的值，再根据方程有两个相等的实数根，利用判别式得到关于a的方程求解即可；（2）存在，先求出的坐标，画出示意图，结合点都在抛物线对称轴上，得到为四边形的对角线，再根据平行四边形的性质求解即可；（3）先求出平移后的抛物线解析式，利用与面积相等，设，过点的直线为，联立，利用根与系数的关系求出，进而得到，再分和两种情况讨论，解方程即可．【详解】（1）解：将代入，则，∴一次函数图象过点，∵，∴一次函数图象过一、二、三象限，如图，设一次函数与轴交点为F，与轴交点为E，则，∴，令，解得，∴，则，一次函数与轴所形成的夹角的正切值为，∴，∴，，一次函数的解析式为；抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，方程有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，整理得：，，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：存在，理由如下：解方程：，可得：，，点的坐标为，点的坐标为，如下图所示，点、都在对称轴上，是平行四边形的对角线，设点的坐标为，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形是平行四边形，此时点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，，；（3）解：把抛物线将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单