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文档简介
江苏省江阴市澄要片2024年中考数学最后一模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.解分式方程,分以下四步,其中,错误的一步是()A.方程两边分式的最简公分母是(x﹣1)(x+1)B.方程两边都乘以(x﹣1)(x+1),得整式方程2(x﹣1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1D.原方程的解为x=12.不等式组中两个不等式的解集,在数轴上表示正确的是A. B.C. D.3.点A为数轴上表示-2的动点,当点A沿数轴移动4个单位长到B时,点B所表示的实数是()A.1B.-6C.2或-6D.不同于以上答案4.下列图形是几家通讯公司的标志,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线l上,则m的值是()A.﹣5 B. C. D.76.如图,由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上,重叠部分(阴影)的面积是4m2,广告牌所占的面积是30m2(厚度忽略不计),除重叠部分外,矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2,设矩形面积是xm2,三角形面积是ym2,则根据题意,可列出二元一次方程组为()A. B. C. D.7.已知:a、b是不等于0的实数,2a=3b,那么下列等式中正确的是()A.ab=23 B.a8.如图是一次数学活动课制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字-1,0,1,2.若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时,不记,重转),则记录的两个数字都是正数的概率为()A. B. C. D.9.下列各式属于最简二次根式的有()A. B. C. D.10.某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛,预赛分数各不相同,取前18名同学参加决赛.其中一名同学知道自己的分数后,要判断自己能否进入决赛,只需要知道这35名同学分数的(
).A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.不等式组的解集是__________.12.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0,N:cx2+bx+a=0,其中a+c=0,以下列四个结论中正确的是_____(填写序号).①如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根;②如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同;③如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1;④如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根.13.如图,在□ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是________.14.抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有交点,则m的取值范围是_____.15.如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为_____.16.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,1)和(-2,1)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2-4ac<1;②当x>-1时y随x增大而减小;③a+b+c<1;④若方程ax2+bx+c-m=1没有实数根,则m>2;
⑤3a+c<1.其中,正确结论的序号是________________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)已知:如图,∠ABC,射线BC上一点D,求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等.18.(8分)研究发现,抛物线上的点到点F(0,1)的距离与到直线l:的距离相等.如图1所示,若点P是抛物线上任意一点,PH⊥l于点H,则PF=PH.基于上述发现,对于平面直角坐标系xOy中的点M,记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d,称d为点M关于抛物线的关联距离;当时,称点M为抛物线的关联点.(1)在点,,,中,抛物线的关联点是_____;(2)如图2,在矩形ABCD中,点,点,①若t=4,点M在矩形ABCD上,求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围;②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点,则t的取值范围是________.19.(8分)如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,点D是的中点,DE⊥AC于E,DF⊥AB于F.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;(2)若OF=4,求AC的长度.20.(8分)定义:若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等,则这个四边形叫做等距四边形,这个顶点叫做这个四边形的等距点.(1)判断:一个内角为120°的菱形等距四边形.(填“是”或“不是”)(2)如图2,在5×5的网格图中有A、B两点,请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点,使得以A、B、C、D为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”,画出相应的“等距四边形”,并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长.端点均为非等距点的对角线长为端点均为非等距点的对角线长为(3)如图1,已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形,∠AEB=∠DEC=90°,连结AD,AC,BC,若四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形,求∠BCD的度数.21.(8分)如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G.(1)求四边形OEBF的面积;(2)求证:OG•BD=EF2;(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,求AE的长.22.(10分)如图,已知△ABC是等边三角形,点D在AC边上一点,连接BD,以BD为边在AB的左侧作等边△DEB,连接AE,求证:AB平分∠EAC.23.(12分)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,AD//EC,∠AED=∠B.求证:△AED≌△EBC;当AB=6时,求CD的长.24.如图,经过点C(0,﹣4)的抛物线()与x轴相交于A(﹣2,0),B两点.(1)a0,0(填“>”或“<”);(2)若该抛物线关于直线x=2对称,求抛物线的函数表达式;(3)在(2)的条件下,连接AC,E是抛物线上一动点,过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形?若存在,求出满足条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】
先去分母解方程,再检验即可得出.【详解】方程无解,虽然化简求得,但是将代入原方程中,可发现和的分母都为零,即无意义,所以,即方程无解【点睛】本题考查了分式方程的求解与检验,在分式方程中,一般求得的x值都需要进行检验2、B【解析】由①得,x<3,由②得,x≥1,所以不等式组的解集为:1≤x<3,在数轴上表示为:,故选B.3、C【解析】解:∵点A为数轴上的表示-1的动点,①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时,点B所表示的有理数为-1-4=-6;②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时,点B所表示的有理数为-1+4=1.故选C.点睛:注意数的大小变化和平移之间的规律:左减右加.与点A的距离为4个单位长度的点B有两个,一个向左,一个向右.4、C【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】A.不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误;B.不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误;C.是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;D.不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误.故选C.【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180°后与原图重合.5、C【解析】
把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b,求出解析式,再将A(3,m)代入,可求得m.【详解】把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b,得,解得所以,一次函数解析式y=x+1,再将A(3,m)代入,得m=×3+1=.故选C.【点睛】本题考核知识点:考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.6、A【解析】
根据题意找到等量关系:①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积=30;②(矩形面积﹣阴影面积)﹣(三角形面积﹣阴影面积)=4,据此列出方程组.【详解】依题意得:.故选A.【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组.7、B【解析】∵2a=3b,∴ab=3故选B.8、C【解析】
列表得,
1
2
0
-1
1
(1,1)
(1,2)
(1,0)
(1,-1)
2
(2,1)
(2,2)
(2,0)
(2,-1)
0
(0,1)
(0,2)
(0,0)
(0,-1)
-1
(-1,1)
(-1,2)
(-1,0)
(-1,-1)
由表格可知,总共有16种结果,两个数都为正数的结果有4种,所以两个数都为正数的概率为,故选C.考点:用列表法(或树形图法)求概率.9、B【解析】
先根据二次根式的性质化简,再根据最简二次根式的定义判断即可.【详解】A选项:,故不是最简二次根式,故A选项错误;B选项:是最简二次根式,故B选项正确;C选项:,故不是最简二次根式,故本选项错误;D选项:,故不是最简二次根式,故D选项错误;
故选:B.【点睛】考查了对最简二次根式的定义的理解,能理解最简二次根式的定义是解此题的关键.10、B【解析】分析:由于比赛取前18名参加决赛,共有35名选手参加,根据中位数的意义分析即可.详解:35个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有18个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选B.点睛:本题考查了统计量的选择,以及中位数意义,解题的关键是正确的求出这组数据的中位数二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、x≥1【解析】分析:分别求出两个不等式的解,从而得出不等式组的解集.详解:解不等式①可得:x≥1,解不等式②可得:x>-3,∴不等式组的解为x≥1.点睛:本题主要考查的是不等式组的解集,属于基础题型.理解不等式的性质是解决这个问题的关键.12、①②④【解析】试题解析:①在方程ax2+bx+c=0中△=b2-4ac,在方程cx2+bx+a=0中△=b2-4ac,
∴如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根,正确;
②∵和符号相同,和符号也相同,
∴如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同,正确;
③、M-N得:(a-c)x2+c-a=0,即(a-c)x2=a-c,
∵a≠c,
∴x2=1,解得:x=±1,错误;④∵5是方程M的一个根,
∴25a+5b+c=0,
∴a+b+c=0,
∴是方程N的一个根,正确.
故正确的是①②④.13、2【解析】试题解析:连接EG,
∵由作图可知AD=AE,AG是∠BAD的平分线,
∴∠1=∠2,
∴AG⊥DE,OD=DE=1.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠2=∠1,
∴∠1=∠1,
∴AD=DG.
∵AG⊥DE,
∴OA=AG.
在Rt△AOD中,OA==4,
∴AG=2AO=2.
故答案为2.14、m≤1.【解析】
由抛物线与x轴有交点可得出方程x1+1x+m-1=0有解,利用根的判别式△≥0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出结论.【详解】∴关于x的一元二次方程x1+1x+m−1=0有解,∴△=11−4(m−1)=8−4m≥0,解得:m≤1.故答案为:m≤1.【点睛】本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点,解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点.15、3【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE,在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°,BC=AD=3,∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG,∴EF=BC=3,AE=AB,∵DE=EF,∴AD=DE=3,∴AE==3,∴AB=3,故答案为3.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质,熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.16、②③④⑤【解析】试题解析:∵二次函数与x轴有两个交点,∴b2-4ac>1,故①错误,观察图象可知:当x>-1时,y随x增大而减小,故②正确,∵抛物线与x轴的另一个交点为在(1,1)和(1,1)之间,∴x=1时,y=a+b+c<1,故③正确,∵当m>2时,抛物线与直线y=m没有交点,∴方程ax2+bx+c-m=1没有实数根,故④正确,∵对称轴x=-1=-,∴b=2a,∵a+b+c<1,∴3a+c<1,故⑤正确,故答案为②③④⑤.三、解答题(共8题,共72分)17、见解析.【解析】
根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题.【详解】∵点P在∠ABC的平分线上,∴点P到∠ABC两边的距离相等(角平分线上的点到角的两边距离相等),∵点P在线段BD的垂直平分线上,∴PB=PD(线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等),如图所示:【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.18、(1)(2)①②【解析】【分析】(1)根据关联点的定义逐一进行判断即可得;(2))①当时,,,,,可以确定此时矩形上的所有点都在抛物线的下方,所以可得,由此可知,从而可得;②由①知,分两种情况画出图形进行讨论即可得.【详解】(1),x=2时,y==1,此时P(2,1),则d=1+2=3,符合定义,是关联点;,x=1时,y==,此时P(1,),则d=+=3,符合定义,是关联点;,x=4时,y==4,此时P(4,4),则d=1+=6,不符合定义,不是关联点;,x=0时,y==0,此时P(0,0),则d=4+5=9,不不符合定义,是关联点,故答案为;(2)①当时,,,,,此时矩形上的所有点都在抛物线的下方,∴,∴,∵,∴;②由①,,如图2所示时,CF最长,当CF=4时,即=4,解得:t=,如图3所示时,DF最长,当DF=4时,即DF==4,解得t=,故答案为【点睛】本题考查了新定义题,二次函数的综合,题目较难,读懂新概念,能灵活应用新概念,结合图形解题是关键.19、(1)DE与⊙O相切,证明见解析;(2)AC=8.【解析】(1)解:(1)DE与⊙O相切.证明:连接OD、AD,∵点D是的中点,∴=,∴∠DAO=∠DAC,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ODA,∴∠DAC=∠ODA,∴OD∥AE,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴DE与⊙O相切.(2)连接BC,根据△ODF与△ABC相似,求得AC的长.AC=820、(1)是;(2)见解析;(3)150°.【解析】
(1)由菱形的性质和等边三角形的判定与性质即可得出结论;(2)根据题意画出图形,由勾股定理即可得出答案;(3)由SAS证明△AEC≌△BED,得出AC=BD,由等距四边形的定义得出AD=AB=AC,证出AD=AB=BD,△ABD是等边三角形,得出∠DAB=60°,由SSS证明△AED≌△AEC,得出∠CAE=∠DAE=15°,求出∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°,∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB和∠ACD的度数,即可得出答案.【详解】解:(1)一个内角为120°的菱形是等距四边形;故答案为是;(2)如图2,图3所示:在图2中,由勾股定理得:在图3中,由勾股定理得:故答案为(3)解:连接BD.如图1所示:∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形,∴DE=EC,AE=EB,∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,在△AEC和△BED中,,∴△AEC≌△BED(SAS),∴AC=BD,∵四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形,∴AD=AB=AC,∴AD=AB=BD,∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∴∠DAE=∠DAB﹣∠EAB=60°﹣45°=15°,在△AED和△AEC中,∴△AED≌△AEC(SSS),∴∠CAE=∠DAE=15°,∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°,∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=30°,∵AB=AC,AC=AD,∴∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°+75°=150°.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了等距四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等是解决问题的关键.21、(1);(2)详见解析;(3)AE=.【解析】
(1)由四边形ABCD是正方形,直角∠MPN,易证得△BOE≌△COF(ASA),则可证得S四边形OEBF=S△BOC=S正方形ABCD;(2)易证得△OEG∽△OBE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得OG•OB=OE2,再利用OB与BD的关系,OE与EF的关系,即可证得结论;(3)首先设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,继而表示出△BEF与△COF的面积之和,然后利用二次函数的最值问题,求得AE的长.【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,∴∠BOF+∠COF=90°,∵∠EOF=90°,∴∠BOF+∠COE=90°,∴∠BOE=∠COF,在△BOE和△COF中,∴△BOE≌△COF(ASA),∴S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD(2)证明:∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,∴△OEG∽△OBE,∴OE:OB=OG:OE,∴OG•OB=OE2,∵∴OG•BD=EF2;(3)如图,过点O作OH⊥BC,∵BC=1,∴设AE=x,则BE=CF=1﹣x,BF=x,∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH∵∴当时,S△BEF+S△COF最大;即在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,【点睛】本题属于四边形的综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.22、详见解析【解析】
由等边三角形的性质得出AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA=∠ABC=∠DBE=60°,证出∠ABE=∠CBD,证明△ABE≌△CBD(SAS),得出∠BAE=∠BCD=60°,得出∠BAE=∠BAC,即可得出结论.【详解】证明:∵△ABC,△DEB都是等边三角形,∴AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BCA=∠ABC=∠DBE=60°,∴∠ABC﹣∠ABD=∠DBE﹣∠ABD,即∠ABE=∠CBD,在△ABE和△CBD中,∵AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,,∴△ABE≌△CBD(SAS),∴∠BAE=∠BCD=60°,∴∠BAE=∠BAC,∴AB平分∠EAC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质等知识,熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.23、(1)证明见解析;(2)CD=3【解析】分析:(1)根据二直线平行同位角相等得出∠A=∠BEC,根据中点的定义得出AE=BE,然后由ASA判断出△AED≌△EBC;(2)根据全等三角形对应边相等得出AD=EC,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等得出答案.详解:(1)证明:∵AD∥EC∴∠A=∠BEC∵E是AB中点,∴AE=BE∵∠AED=∠B∴△AED≌△EBC(2)解:∵△AED≌△EBC∴AD=EC∵AD∥EC∴四边形AEC
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