高中数学圆锥曲线的知识点总结

高中数学圆锥曲线的知识点总结高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线,C在平面直角坐标系中,如果某曲线(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系,(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,(2)以这个方程的解为坐标的fxy(,)0,点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.CC点与曲线的关系,若曲线的方程是,则点在曲线上,点Pxy(,)fxy(,)0,Pxy(,)fxy(,)0,,00000000C不在曲线上.fxy(,)0,,00两条曲线的交点,若曲线,的方程分别为,,则点是,的交点CCfxy(,)0,fxy(,)0,Pxy(,)CC222110001f(x,y),0100{方程组有个不同的实数解,两条曲线就有个不同的交点,方程组没有实数解,曲线就没nn,f(x,y),0200有交点.二、圆,O1{|}MOMr,、定义,点集,其中定点为圆心,定长为半径.r2222、方程,(1)标准方程,圆心在,半径为的圆方程是Cab(,)()()xaybr,，,,r222圆心在坐标原点,半径为的圆方程是xyr，,r2222DEF，,,40(2)一般方程,?当时,一元二次方程叫做圆的一般方程,圆心为xyDxEyF，，，，,022DEF，,4DE22(,,,)半径是.配方,将方程化为xyDxEyF，，，，,022222DEDEF，,422()()xy，，，,224DE22(,,,)DEF，,,40?当时,方程表示一个点2222DEF，,,40?当时,方程不表示任何图形.CMM(,)xy,3,点与圆的位置关系已知圆心Cab(,),半径为,点的坐标为,则||MCr,点在圆,r0022||()()MCxayb,,，,CCMM内,||MCr,点在圆上,||MCr,点在圆外,其中.,,00,4,直线和圆的位置关系,?直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系,直线与圆相交有两个公共点,,直线与圆相切有一个公共点,直线与圆相离没有公共点.,,Cab(,)AxByC，，,0?直线和圆的位置关系的判定,(i)判别式法,(ii)利用圆心到直线的距离-1-Aa，Bb，C与半径的大小关系来判定.d,r22A，B三、圆锥曲线的统一定义,l平面内的动点到一个定点的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数Pxy(,)Fc(,0)l,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点称为焦点,定直线称为准线,正常数称为离心率.当eee(0),Fc(,0)01,,ee,1e,1时,轨迹为椭圆,当时,轨迹为抛物线,当时,轨迹为双曲线.四、椭圆、双曲线、抛物线,椭圆双曲线抛物线,的距离之1,到两定点FF121,到两定点,的距离之和FF12差的绝对值为定值为定值的点的2(2||)aaFF,12的点的轨2(02||)aaFF,,与定点和直线的距离12定义轨迹迹相等的点的轨迹.2,与定点和直线的距离之比为2,与定点和直线的距离之比为定值的点的轨迹.e(01),,e定值的点的轨迹.e(1)e,点集,点集,点集,轨迹{|||||2,MMFMFa，,{|||||2,MMFMFa,,,{|||MMFM,点1212条件到直线的距离l}||2}FFa,||2}FFa,1212yB1Mba图形xcAFA1F122B222aax=x=-cc标方准2222xyxy2y,2pxa,b，,1,,1(0,0)ab,,(>0)2222abab方程程-2-参数,,x,acosx,asec,,2,x,2pt,,,,(为参数)y,bsiny,btant,,,y,2pt,(参数,为离心角)(参数,为离心角)方程x,0,,,axa范围,,,,,byb||xa,yR,中心原点原点O(0,0)O(0,0),(,0),a(,0)a(0,0)顶点,(,0),a(,0)a,(0,),b(0,)b对称轴,轴,轴,轴,yyxx轴x2a2b2a2b轴长轴长,短轴长实轴长,虚轴长.pF(,0),,Fc(,0)Fc(,0),Fc(,0)Fc(,0),焦点12122px,,2a2x,,2acx,,准准线与焦点位于顶点c准线垂直于实轴,且在两顶点线两侧,且到顶点的距离准线垂直于长轴,且在椭圆外.的内侧.相等.渐近byx,,无无a线2222焦距2()ccab,,2()ccab,，左支,||()PFexa,,，1焦半||()PFexa,,,2p||,||PFaexPFaex,，,,||PFx,，122右支,径||PFexa,，1||PFexa,,2-3-222b2b2p通径aa离心cce,1e,(0,e,1)e,(e,1)aa率【备注1】双曲线,222,1,等轴双曲线,双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.y,,xe,2x,y,,a22yx,2,共轭双曲线,以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.,,,22ab2222yyxx,,0与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线,.,,,,2222abab2222yxyxyx,,,(,,0),,0,3,共渐近线的双曲线系方程,的渐近线方程为,如果双曲线的渐近线为,,02222ababab22yx,,,(,,0)时,它的双曲线方程可设为.22ab【备注2】抛物线,pp22x,,,1,抛物线的焦点坐标是(,0),准线方程,开口向右,抛物线ypxp,,2(0)ypxp,,2(0)22ppp2x,,的焦点坐标是(,0),准线方程,开口向左,抛物线的焦点坐标是(0,),准线方xpyp,,2(0)222ppp2y,,y,,程,开口向上,抛物线的焦点坐标是(0,),准线方程,开口向下.xpyp,,2(0)222p2MMF,x，Mxy(,),2,抛物线上的点与焦点的距离,ypxp,,2(0)0002pp2,3,设抛物线的标准方程为,则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,ypxp,,2(0)22p焦点到准线的距离为.五、坐标的变换,,1,坐标变换,在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.,2,坐标轴的平移,坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.-4-''',3,坐标轴的平移公式,设平面内任意一点,它在原坐标系中的坐标是,在新坐标系中的M(,)xyxOyxOyxxh,，','''坐标是.设新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是,则O(,)hkxOy(x,y),yyk,，',叫做平移(或移轴)公式.六、椭圆的常用结论,1.点处的切线平分在点处的外角.PPTP,PFF12证明,如图,设,,.Fc(,0),Fc(,0)Pxy(,)120022'xy22xyy对椭圆方程两边求导得,，,1，,02222abab22bxbx''0,？,,ykky,,,,PTxy(,)2200ayay0yy00又,kkkk,,,,PFPF1212xcxc，,002,,,kkb()2？，,，,，,,tan2tan()PFFPTF2121，kkcy202b同理？，,tan4cy0，,，24故总结,角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率,多利用几何方法补充角平分线定理22xxyyxy00，,1，,1Pxy(,)P2.若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.,和圆上点的切线做比较,00002222abab22'xy22xyy，,1，,0解析,对椭圆方程两边求导得,2222abab22bxbx''0,？,,ykky,,,,PTxy(,)2200ayay0xxyy00，,1故直线方程为22ab总结,常见的求切线的方法22xy，,1PPxy(,)PP、PP3.若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为,则切点弦的直线方程是0000121222ab-5-xxyy00.，,122ab2补充圆的切线公式,()()()()xaxaybybr,,，,,,002圆的切点弦公式,()()()()xaxaybybr,,，,,,00总结,知识点的对比性记忆22xy4.椭圆的左右焦点分别为,点为椭圆上任意一点,则椭圆的焦P，,1FF、，,FPF,(0)ab,,121222ab,2点角形的面积为Sb,tan.,FPF122证明,设,则由余弦定理可得PFmPFn,,,1222242coscmnmn,，,,224()2(cos1)cmnmn,，,，,22b,mn,，1cos1sin,,22Smnbb,,,,sintan,,PFF12，21cos2,11SabC,sin总结,求面积的方法,底乘高、大减小、割补法、2222xy，,15.椭圆的焦半径公式||MFaex,，,,其中(0)ab,,1022ab(Fc(,0),,Fc(,0),Mxy(,)).12002222bxcxa()，22222200解析,||()2MFcxyxcxxb,，，,，，，,,10000022aa？,，||MFaex10||MFaex,，同理10222xybABAB，,1kk,,,Mxy(,)6.是椭圆的不平行于对称轴的弦,为的中点,则,即OMAB00222aba2bx0K,,.AB2ay0222222akxkay,bx000ykxxy,,，()xxx，,,2k,,解析,设直线方程为,联立可得,001202222bak，ay0-6-2222xxyyxyxy00007.若在椭圆内,则被所平分的中点弦的方程是,，,1，,，Pxy(,)P0000222222ababab22xyO8、已知椭圆,为坐标原点,为椭圆上两动点,且.,1,，,1(0)ab,,PQ、OPOQ,22ab22224abab111122;,2,的最小值为;,3,的最小值是.S，,，||||OPOQ，,OPQ22222222ab，ab，||||OPOQab222222222解析:设直线方程为,联立可得ykxm,，()20akbxkmaxamab，，，,,2222amab,22可得xxyykxxkmxxm,,，，，,()12121212222akb，222mab由xxyy，,,,012122221，，kab2222211||||||11OPOQPQab，，，,,,,，2222222222||||||||||OPOQOPOQPQdabab221111||||OPOQ，22222,2,||||()(||||)()()OPOQOPOQ，,，,，2222abab222224abab22,,3,同理可求||||OPOQ，,S,OPQ2222，abab，七、双曲线的常用结论,PPTP1、点处的切线平分在点处的内角.,PFF1222xxyyxy00,,1,,12、若Pxy(,)在双曲线上,则过P的双曲线的切线方程是.(0,0)ab,,00002222abab22xy,,13、若Pxy(,)在双曲线外,则过P作双曲线的两条切线切点为PP、,则切点弦(0,0)ab,,00001222abxxyy00,,1PP的直线方程是.1222ab22xyP,,1FF、，,FPF,、双曲线4的左右焦点分别为,点为双曲线上任意一点,则双曲(0,0)ab,,121222ab,2Sbco,t线的焦点角形的面积为.,FPF12222xy,,1Fc(,0),Fc(,0)Mxy(,)5、双曲线(0,0)ab,,的焦半径公式,(,,当在右支上时,120022ab||MFexa,，||MFexa,,Mxy(,)||MFexa,,，||MFexa,,,,,当在左支上时,,.1020001020222bxxy0ABAB,,1Mxy(,)K,(0,0)ab,,6、是双曲线的不平行于对称轴的弦,为的中点,则.AB00222abay0-7-2222xxyyxyxy00007、若在双曲线内,则被所平分的中点弦的方程.,,1Pxy(,)P,,,(0,0)ab,,0000222222ababab22xyO8、已知双曲线,为坐标原点,为双曲线上两动点,且.,,1(0)ba,,PQ、OPOQ,22ab22224abab111122,1,;,2,的最小值为;,3,的最小值是.S，,,||||OPOQ，,OPQ22222222ba,ba,||||OPOQab八、抛物线的常用结论,24ac,bb21、顶点.(),ay，by，c,x4a2a22、设是过抛物线的焦点的弦,,则ABFAxyBxy(,),(,)ypxp,,2(0)11222p2,1,xxyyp,,,,121242p,2,，，,,为弦的倾斜角,弦长||()ABxxpAB122sin,pykx,,()解析,,一,设直线为,代入抛物线方程可得,2222224(48)0kxpkpxpk,，，,则xxxx，,,...,...121222(1)pk，22||1()4ABkxxxx,，，,,12122kpp||()()ABxx,,,，,,,二,利用定义1222112,3,，,||||FAFBp11112xxp，，12，,，,,解析,2pppp||||FAFBpxx，，xxxx，，，()1212122224AB,4,以弦为直径的圆与准线相切''AO、BABA,5,与在准线上