高中平面向量知识点总结

高中平面向量知识点总结平面向量1、向量的定义:既有大小又有方向的量叫向量2、向量的表示方法(1)几何表示:以A为起点，以B为终点的有向线段记作AB，如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB.(2)字母表示:印刷时粗黑体字母a，b，c…向量手写时带箭头的小写字母a，b…3、向量点的长度(模)a4、零向量:长度为0的向向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB|、,量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行a,0,a,,0单位向量:模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量,a0,,平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量记作a?b5、相等向量:abx1x2即大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)yy21a6、对于任意非零向量的单位向量是.,a,7、向量的加法(1)三角形法则设ABa,BCb，则a+b=AB,BC=AC对于零向量与任意向量a的和有0,aa,0a(2)平行四边形法则已知两个不共线的向量a，b，做ABa,BCb，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC=a+b.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时，用三角形法则(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:(AB,BC,CD,,PQ,QRAR，但这时必须“首尾相连”8、向量加法的运算律(1)交换律a+b=b+a(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法a,ba,(,b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量图:10、相反向量:与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作,a(1),(,a)=a，即a与,a互为相反向量;(2)若a、b是互为相反向量，则a=,b,b=,a,a+b=0;(3)a+(,a)=(,a)+a=0;(4)零向量的相反向量仍是零向量(5)对于用起点和终点表示的向量，则有AB=—BA,即AB和-BA互为相反向量11、已知向量α，b，则||α|-|b||???|α|?|b|12、向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下:(1)aa;(2)当0时，a与a同向当0时，a与a异向当0或a=0时，a013、向量数乘的运算律(1)λ(μa)=(λμ)a(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb(4)(—λa)=—(λa)=λ(—a)λ(a—b)=λa-λb14、向量共线判定定理当向量a?0，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么ab共线.向量b与向量a(a?0)共线有且只有一个实数，使得b=a.15、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b以及任意实数λ、μ1、μ2恒有(μ1a?μ2b)=μ1a+μ2b16、平面向量的基本定理如果e1,e2是一个平面θ=0?ab同向图θ=180?ab同向θ=90?ab垂直，记为a?b18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量19、平面向量的坐标表示(1)直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平aa，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使=xi+yj，则把有面内的的一个向量a序数对(x，y)叫做向量的坐标。(2)坐标表示在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量的坐标表示。(3)在向量的直角坐标中，i=(1,0)j=(0,1)0=(0,0)20、若a,x1,y1,,b,x2,y2,和实数λ(1)ab,x1x2,y1y2,a=(x1,y1)(2)(3)若A,x1,y1,,B,x2,y2,，则AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行条件(1)若a,x1,y1,,b,x2,y2,，a//bx1y2,x2y10(2)若a,x1,y1,,b,x2,y2,，如果b不平行于坐标轴，即x2y，则?02?0x1y1a//b=即两个向量平行的条件是成比例(注意此时x2?y2?0)x2y222、向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a?b=,a,?,b,cos其中是a与b的夹角，,a,cos叫做向量a在b方向上的投影。规定0a023、数量积的几何意义a?b等于a的长度,a,与b在a方向上的投影,b,cos的乘积24、a与b都是非零向量，它们的夹角为(1)aba?b=0(2)ab同向时a?b=,a,?,b,ab反向时a?b=—,a,?,b,(3)aaa|a|或222,a,=a?a=a(4)cos=,a,?,b,a?b(5)|a?b|?,a,?,b,25、向量数量积的运算律(1)交换律:abba,,(3)分配律:,ab,cacbcc,ab,特别注意:(1)结合律不成立:a,bc,,ab,cwhy,前者表示与a共线的向量，后者表示与向量c共线的向量，而a与c不一定共线。(2)结合律:,a,babab,R,,,(2)消去律不成立abac不(3)ab=0不能a=0或b=0bc26、平面向量的数量积的坐标运算:已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a?b=x1x2,y1y27、垂直设两个非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则abx1x2,y1y20a?ba?b,Ox1x2,y1y228、设a=(x，y)，则,a,=x设A=(x1，y1)B=(x2，y2)，则AB=0029、已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则?AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角(x2?x1)+(y2?y1)22x1x2,y1y2abcos=cosa,b=(可用此公式求两向量夹角)2222abx1,y1x2,y2当x1x2,y1y2<0，ϵ(，π];2当x1x2,y1y2>0，ϵ[0，);2当x1x2,y1y2=0，=20当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180030、向量a的单位向量的坐标表示aa0=(x，y)=,a,a0为a的单位向量31、对于求直线L1:A1x+B1y+C1=0与直线L2:A2x+B2y+C2=0的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线L1、L2分别平行的向量m=(A1，B1)，n=(A2，B2)，设向量m、n的夹角为cos=当cos<0时，直线L1L2夹角等于π-θ锐角当cos>0时，直线L1L2夹角等于θ32、三角形面积公式S=33、a=|a|12?,,?,,22221+1?1+2?bsinC可利用夹角公式求出sinC22222(a?b)(a?b)=|a?b|=|a|?2a?b+|b|34、证三点共线35、直线L的向量参数方程式运用2.2的例一设A、B是直线L上任意两点，O是L外一点，则对于L上任一点P，存在实数t，是向量OP=(1-t)OA+tOB当t=P为AB中点时，OP=2211正弦定理在?ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有即