2017-2018学年新疆昌吉市高二上期末数学试卷(理科)(含答案)

2017-2018学年新疆昌吉市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）已知集合A={5}，B={4，5}，则A∩B=（）A．∅ B．{4} C．{5} D．{4，5}2．（4分）函数f（x）=的定义域为（）A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣1，0）∪（0，2]3．（4分）函数f（x）=x3﹣x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某空间几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为（）A．π B．2π C．3π D．4π5．（4分）直线l的斜率是3，过点A（1，﹣2），则直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣5=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x+y﹣1=06．（4分）在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A． B． C． D．7．（4分）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（4分）在等比数列{an}中，a1=1，a5=4，则a3=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．9．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z=x+y的最大值是（）A．1 B． C．2 D．310．（4分）要得到y=sin（2x﹣）的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位11．（4分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，则函数f（x）最大值为（）A．2 B．2 C．3 D．2+212．（4分）设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．14．（5分）已知向量=（2，5），向量=（1，y），，则实数y的值是．15．（5分）某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为．16．（5分）已知点A（m，n）在直线x+2y﹣1=0上，则2m+4n的最小值为．三、解答题（17、18、19、20题每小题10分，21题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn，bn=．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}前n项和为Tn，求Tn．18．（10分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc（1）求角A的大小（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．19．（10分）已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m=﹣6时，求圆心和半径；（2）若曲线C表示的圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且|MN|=，求m的值．20．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证AC⊥BC1（2）求证AC1∥平面CDB1．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

2017-2018学年新疆昌吉市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分）1．（4分）已知集合A={5}，B={4，5}，则A∩B=（）A．∅ B．{4} C．{5} D．{4，5}【解答】解：∵A={5}，B={4，5}，∴A∩B={5}，故选：C．2．（4分）函数f（x）=的定义域为（）A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣1，0）∪（0，2]【解答】解：要使函数有意义，x应满足，解得﹣1＜x＜0或0＜x≤2，故函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]；故选：D3．（4分）函数f（x）=x3﹣x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：因为f（﹣1）=﹣1+1﹣1=﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1﹣1﹣1=﹣1＜0，f（2）=8﹣2﹣1=5＞0，f（3）=27﹣3﹣1=23＞0，所以函数f（x）=x3﹣x﹣1的零点所在区间是[1，2]；故选：B．4．（4分）如图，网格纸上小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某空间几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为（）A．π B．2π C．3π D．4π【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是圆锥，底面圆的半径是1，高为3，体积为=π，故选：A．5．（4分）直线l的斜率是3，过点A（1，﹣2），则直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣5=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x+y﹣1=0【解答】解：∵直线l的斜率是3，过点A（1，﹣2），由点斜式求得直线l的方程是y+2=3（x﹣1），化简可得3x﹣y﹣5=0，故选A．6．（4分）在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．7．（4分）按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次执行循环体时，输出A=1，S=2，满足继续循环的条件，则A=3，第二次执行循环体时，输出A=3，S=3，满足继续循环的条件，则A=5，第三次执行循环体时，输出A=5，故选：C8．（4分）在等比数列{an}中，a1=1，a5=4，则a3=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【解答】解：在等比数列中，由a5=4得a5=q4=4，得q2=2，则a3=q2=2，故选：A，9．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z=x+y的最大值是（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．故选C．10．（4分）要得到y=sin（2x﹣）的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【解答】解：将y=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，故选：B．11．（4分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x，则函数f（x）最大值为（）A．2 B．2 C．3 D．2+2【解答】解：函数f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，由正弦函数的值域可知：2sin（2x+）≤2，∴2sin（2x+）+1≤3．函数f（x）最大值为：3．故选：C．12．（4分）设f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，则xf（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2【解答】解：∵f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，在（0，+∞）内是减函数∴xf（x）＜0则或根据在（﹣∞，0）内是减函数，在（0，+∞）内是减函数解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）故选C二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【解答】解：，故答案为：14．（5分）已知向量=（2，5），向量=（1，y），，则实数y的值是．【解答】解：根据题意，向量=（2，5），向量=（1，y），若，则有2y=5，即y=；故答案为：．15．（5分）某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为50．【解答】解：分层抽样即是按比例抽样，易知抽样比例为2000：200=10：1，故500名高三学生应抽取的人数为=50人．故答案为：5016．（5分）已知点A（m，n）在直线x+2y﹣1=0上，则2m+4n的最小值为2．【解答】解：点A（m，n）在直线x+2y﹣1=0上，可得m+2n=1，则2m+4n≥2=2=2，当且仅当m=2n=时，等号成立，即有2m+4n的最小值为2．故答案为：2．三、解答题（17、18、19、20题每小题10分，21题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn，bn=．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}前n项和为Tn，求Tn．【解答】解：（1）由等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，∴前n项和为Sn=n+=．∴bn==．（2）bn=2．∴Tn=2=2=．18．（10分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc（1）求角A的大小（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．【解答】解：（1）由余弦定理有：b2+c2﹣a2=2bccosA，…（2分）所以2bccosA=bc，于是cosA=，…（4分）又因为A∈（0，π），所以A=…（7分）（2）由正弦定理有a2+b2=c2，…（9分）于是△ABC为以角C为直角的直角三角形，…（12分）所以B==…（14分）19．（10分）已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m=﹣6时，求圆心和半径；（2）若曲线C表示的圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（1）当m=﹣6时，方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，圆心坐标为（1，2），半径为；（2）∵（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴圆心（1，2）到直线l：x+2y﹣4=0的距离d=，又圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m的半径r=，|MN|=，∴（）2+（）2=5﹣m，解得：m=4．20．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证AC⊥BC1（2）求证AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）∴CC1⊥底面ABC∴CC1⊥AC…（1分）∴AC=3BC=4AB=5∴AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC…（2分）∴AC⊥平面BCC1B1…（3分）∴AC⊥BC1…（4分）（2）设BC1∩B1C=E，连接DE∵BCC1B1是矩形，∴E是BC1的中点…（5分）又D是AB的中点，在△ABC1中，DE∥AC1…（6分）又AC1⊄平面CDB1，DE⊂平面CDB1∴AC1∥平面CDB1…（8分）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（5分）（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，