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2017-2018学年青海省西宁高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的)1.(5分)抛物线y2=8x的准线方程是()A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣22.(5分)若过点A(﹣2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y﹣1=0垂直,则m的值为()A.2 B.0 C.10 D.﹣83.(5分)焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为的双曲线标准方程是()A. B.C. D.4.(5分)“x≠0”是“x>0”的()A.充分而不必要 B.充分必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.(5分)若两条平行线L1:x﹣y+1=0,与L2:3x+ay﹣c=0(c>0)之间的距离为,则等于()A.﹣2 B.﹣6 C..2 D.06.(5分)一个几何体的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体的表面积为()A.4(9+2)cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm27.(5分)命题:“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是()A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠08.(5分)已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A.(¬p)∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)9.(5分)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A. B. C. D.10.(5分)已知m,n,是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β.②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n.③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β④若α∩β=m,n∥m且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β其中正确的命题是()A.①② B.②④ C.②③ D.③④11.(5分)由直线y=x+1上的一点向圆(x﹣3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为()A.1 B.2 C. D.312.(5分)已知圆C:(x+3)2+y2=100和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程是()A.y2=6x B.C. D.x2+y2=25二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知命题p:∃x∈R,x2+2x=3,则¬p是.14.(5分)已知椭圆C的中心在坐标原点,长轴长在y轴上,离心率为,且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12,则椭圆的方程是.15.(5分)如图ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则AB1与平面D1B1BD所成角=.16.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且,o是坐标原点,则|OA|=.三、解答题:(本大题共6小题,共70分)17.(10分)若双曲线的焦点在y轴,实轴长为6,渐近线方程为y=±x,求双曲线的标准方程.18.(12分)已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.19.(12分)如图五面体中,四边形CBB1C1为矩形,B1C1⊥平面ABB1N,四边形ABB1N为梯形,且AB⊥BB1,BC=AB=AN==4.(1)求证:BN⊥平面C1B1N;(2)求此五面体的体积.20.(12分)已知关于x,y的方程C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.(1)若方程C表示圆,求实数m的取值范围;(2)若圆C与直线l:x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求m的值.21.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC(2)已知AP=1,AD=,AB=,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.22.(12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点(1,)在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.

2017-2018学年青海省西宁高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的)1.(5分)抛物线y2=8x的准线方程是()A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2【解答】解:抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣=﹣2,故选:C2.(5分)若过点A(﹣2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y﹣1=0垂直,则m的值为()A.2 B.0 C.10 D.﹣8【解答】解:∵A(﹣2,m),B(m,4),∴,直线2x+y﹣1=0的斜率为﹣2,由过点A(﹣2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y﹣1=0垂直,得,解得:m=2.故选:A.3.(5分)焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为的双曲线标准方程是()A. B.C. D.【解答】解:根据题意可知2b=12,解得b=6①又因为离心率e==②根据双曲线的性质可得a2=c2﹣b2③由①②③得,a2=64双所以满足题意的双曲线的标准方程为:故选D4.(5分)“x≠0”是“x>0”的()A.充分而不必要 B.充分必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解:当x=﹣1时,满足x≠0,但x>0不成立,即充分性不成立,若x>0,则x≠0一定成立,即必要性成立,故“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件,故选:C5.(5分)若两条平行线L1:x﹣y+1=0,与L2:3x+ay﹣c=0(c>0)之间的距离为,则等于()A.﹣2 B.﹣6 C..2 D.0【解答】解:由两条平行线L1:x﹣y+1=0,与L2:3x+ay﹣c=0(c>0)之间的距离为,可得,∴a=﹣3,c≠3,直线L1的方程即:3x﹣3y+3=0,由=,解得c=3,或c=﹣9(舍去),∴==﹣2,故选A.6.(5分)一个几何体的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如下(单位cm),则该几何体的表面积为()A.4(9+2)cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2【解答】解:由三视图知几何体是一个三棱柱,三棱柱的高是2,底面是高为2的正三角形,所以底面的边长是2÷=4,∴两个底面的面积是2××4×2=8侧面积是2×4×3=24,∴几何体的表面积是24+8(cm2),故选B.7.(5分)命题:“若a2+b2=0(a,b∈R),则a=b=0”的逆否命题是()A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0B.若a=b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2+b2≠0【解答】解:“且”的否定为“或”,因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”;故选D.8.(5分)已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A.(¬p)∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∨(¬q)【解答】解:不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而¬p为假命题,¬q为真命题,所以A、B、C均为假命题,故选D.9.(5分)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A. B. C. D.【解答】解:设|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c∴2a=3x,2c=x,∴C的离心率为:e==.故选A.10.(5分)已知m,n,是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β.②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n.③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β④若α∩β=m,n∥m且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β其中正确的命题是()A.①② B.②④ C.②③ D.③④【解答】解:若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n和α和β两个平面之间有相交,在面上.故①不正确,若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n.这是两个平面平行的性质定理,故②正确.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β,缺少两条直线相交的条件,故③不正确,若α∩β=m,n∥m且n⊄α,n⊄β,则n∥α且n∥β,④正确,故选B.11.(5分)由直线y=x+1上的一点向圆(x﹣3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为()A.1 B.2 C. D.3【解答】解:切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d=,圆的半径为1,故切线长的最小值为,故选C.12.(5分)已知圆C:(x+3)2+y2=100和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程是()A.y2=6x B.C. D.x2+y2=25【解答】解:由圆的方程可知,圆心C(﹣3,0),半径等于10,设点M的坐标为(x,y),∵BP的垂直平分线交CQ于点M,∴|MB|=|MP|.又|MP|+|MC|=半径10,∴|MC|+|MB|=10>|BC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且2a=10,c=3,∴b=4,故椭圆方程为,故选B.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知命题p:∃x∈R,x2+2x=3,则¬p是∀x∈R,x2+2x≠3.【解答】解:∵命题p:∃x∈R,x2+2x=3是特称命题,∴根据特称命题的否定是全称命题,得¬p:∀x∈R,x2+2x≠3.故答案为:∀x∈R,x2+2x≠3.14.(5分)已知椭圆C的中心在坐标原点,长轴长在y轴上,离心率为,且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12,则椭圆的方程是..【解答】解:设椭圆C的标准方程为,由题意离心率为,可得:,且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12,可得2a=12,解得a=6,c=3,则b=3.所以椭圆C的标准方程.故答案为:.15.(5分)如图ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则AB1与平面D1B1BD所成角=.【解答】解:连接A1C1,交B1D1于O,由正方体的几何特征易得,A1O⊥平面D1B1BD连接BO,则∠A1BO即为AB1与平面D1B1BD所成角又∵ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体,∴A1B=a,BO=,A10=则cos∠A1BO==∴∠A1BO=故答案为:.16.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且,o是坐标原点,则|OA|=.【解答】解:设A到准线的距离等于AM,由抛物线的定义可得|AF|=|AM|,由可得△AMK为等腰直角三角形.设点A(,s),∵准线方程为x=﹣2,|AM|=|MK|,∴+2=|s|,∴s=±4,∴A(2,±4),∴|AO|==2,故答案为:2.三、解答题:(本大题共6小题,共70分)17.(10分)若双曲线的焦点在y轴,实轴长为6,渐近线方程为y=±x,求双曲线的标准方程.【解答】解:由题意双曲线的焦点在y轴,实轴长为6,渐近线方程为y=±x,2a=6,∴a=3.,可得b=2;∴双曲线的标准方程为:.18.(12分)已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;(写一般式)(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.【解答】解:(1)圆C:(x﹣1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P、C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x﹣1),即2x﹣y﹣2=0.(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y﹣2=x﹣2,即x﹣y=0圆心C到直线l的距离为,圆的半径为3,弦AB的长为.19.(12分)如图五面体中,四边形CBB1C1为矩形,B1C1⊥平面ABB1N,四边形ABB1N为梯形,且AB⊥BB1,BC=AB=AN==4.(1)求证:BN⊥平面C1B1N;(2)求此五面体的体积.【解答】解:(1)证明:连NC,过N作NM⊥BB1,垂足为M,∵B1C1⊥平面ABB1N,BN⊂平面ABB1N,∴B1C1⊥BN,…(2分)又,BC=4,AB=4,BM=AN=4,BA⊥AN,∴,=,∵,∴BN⊥B1N,…(4分)∵B1C1⊂平面B1C1N,B1N⊂平面B1C1N,B1N∩B1C1=B1∴BN⊥平面C1B1N…(6分)(2)连接CN,,…(8分)又B1C1⊥平面ABB1N,所以平面CBB1C1⊥平面ABB1N,且平面CBB1C1∩ABB1N=BB1,NM⊥BB1,NM⊂平面B1C1CB,∴NM⊥平面B1C1CB,…(9分)…(11分)此几何体的体积…(12分)20.(12分)已知关于x,y的方程C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.(1)若方程C表示圆,求实数m的取值范围;(2)若圆C与直线l:x+2y﹣4=0相交于M,N两点,且|MN|=,求m的值.【解答】解:(1)若方程C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆,则4+16﹣4m>0,解得m<5.(2)圆心(1,2)到直线x+2y﹣4=0的距离d=,∴圆的半径r==1,∴=1,解得m=4.21.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC(2)已知AP=1,AD=,AB=,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.【解答】证明:(1)连结AC、BD,交于点O,连结OE,∵底面ABCD为矩形,∴O是BD中点,∵E为PD的中点,∴OE∥PB

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