2017-2018学年辽宁省本溪高二上期末数学试卷(文科)(含答案)

2017-2018学年辽宁省本溪高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i2．（5分）命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否命题是（）A．∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0C．∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞03．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（）A． B． C．﹣ D．﹣4．（5分）已知sinα=2cosα，则sin（）=（）A． B． C． D．5．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．186．（5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦F的距离为（）A．4 B．5 C．6 D．77．（5分）已知向量，若实数x，y满足，则的最大值是（）A． B． C． D．8．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）已知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）10．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．11．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A． B． C．2 D．12．（5分）设定义在R上的偶函数y=f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），x∈（0，1]时f（x）=，若a=f（），b=f（），c=f（），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，则曲线C的普通方程为．14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．15．（5分）F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点A（1，1）为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是．16．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．18．（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：K2=P（（K2≥k）0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.02419．（12分）已知数列{an}，其前n项和为Sn，若函数y=x2﹣2x在x=an处的切线斜率为Sn，数列{bn}，满足点（n，bn）（n∈N*）在直线y=x上．（1）分别求{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．20．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求B到平面CDE的距离（2）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与（1）中的椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．

2017-2018学年辽宁省本溪高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i【解答】解：由z•i=2﹣i得，，故选A2．（5分）命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否命题是（）A．∃x∈Z，使x2+2x+m＞0 B．∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0C．∀x∈Z，都有x2+2x+m≤0 D．不存在x∈Z，使x2+2x+m＞0【解答】解：特称命题“∃x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是全称命题：“∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0”．故答案为：∀x∈Z，都有x2+2x+m＞0．3．（5分）已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（）A． B． C．﹣ D．﹣【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，又（）=5，||=2，||=1，∴+•=22+2×1×cosθ=5，解得cosθ=，∴θ=，∴tanθ=，即向量与夹角的正切值为．故选：B．4．（5分）已知sinα=2cosα，则sin（）=（）A． B． C． D．【解答】解：由sinα=2cosα，得tanα=2．∴sin（）=cos2α=．故选：A．5．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．故选：B．6．（5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦F的距离为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则P（3，），∴P到抛物线的准线的距离为：4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选：A．7．（5分）已知向量，若实数x，y满足，则的最大值是（）A． B． C． D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵，∴，其几何意义为可行域内动点到原点的距离，由图可知，A到原点距离最大．联立，解得A（3，8），∴的最大值是．故选：A．8．（5分）点P在双曲线：（a＞0，b＞0）上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e===5，故选D．9．（5分）已知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．故选：A．10．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．11．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A． B． C．2 D．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．12．（5分）设定义在R上的偶函数y=f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），x∈（0，1]时f（x）=，若a=f（），b=f（），c=f（），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：定义在R上的偶函数y=f（x）满足对任意x∈R，都有f（x）=f（2﹣x），可得f（﹣x）=f（x）=f（2﹣x），即为f（x+2）=f（x），函数f（x）的最小正周期为2，若a=f（）=f（672﹣）=f（﹣）=f（），b=f（）=f（404﹣）=f（﹣）=f（），c=f（）=f（288+）=f（），x∈（0，1]时f（x）=，导数为f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，由＜＜，可得f（）＜f（）＜f（），即为c＜a＜b，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，则曲线C的普通方程为+y2=1．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，转化为直角坐标方程为：x2+3y2=4，整理得：．故答案为：．14．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．【解答】解：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，T12=b112q1+2++11=b112q66，∴=b14q22，=b14q38，即（）2=•T4，故T4，，成等比数列．故答案为：15．（5分）F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点A（1，1）为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是6﹣．【解答】解：椭圆的a=3，b=，c=2，如图，设椭圆的右焦点为F2（2，0），则|PF1|+|PF2|=2a=6；∴|PA|+|PF1|=|PA|+6﹣|PF2|=6+|PA|﹣|PF2|；由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF2||=|AF2|=，当P不在直线AF′上时，根据三角形的两边之差小于第三边有，||PA|﹣|PF2||＜|AF2|=；∴当P在F'A的延长线上时，|PA|﹣|PF2|取得最小值﹣，∴|PA|+|PF1|的最小值为6﹣．故答案为：6﹣．16．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，已知∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是等腰或直角三角形．【解答】解：根据题意，∵∠BAD+∠C=90°，∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，又D为BC中点，∴BD=CD，∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，∴2α=2β或2α+2β=180°，∴α=β或α+β=90°，∴BD=AD=CD或AD⊥CD，∴∠BAC=90°或AB=AC，∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．故答案为：等腰或直角三角形三、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cosA=acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）已知等式（2b﹣c）cosA=a•cosC，由正弦定理化简得（2sinB﹣sinC）cosA=sinA•cosC，整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA=，∵0＜A＜π∴A=；（2）∵b+c=4，a=2，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bcosA，即4=b2+c2﹣bc，∴4=（b+c）2﹣3bc，∵b+c=4，∴bc=4，∴S△ABC=bc•sinA=×4×=18．（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附：K2=P（（K2≥k）0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解答】解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A．从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，而事件A包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个．所以所求概率为P（A）==（2）由已知数据得：甲班（A方式）乙班（B方式）总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计202040根据2×2列联表中数据，K2=≈3.137＞2.706所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．19．（12分）已知数列{an}，其前n项和为Sn，若函数y=x2﹣2x在x=an处的切线斜率为Sn，数列{bn}，满足点（n，bn）（n∈N*）在直线y=x上．（1）分别求{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x，∴y′=2x﹣2，∴2an﹣2=Sn，2an﹣1﹣2=Sn﹣1（n≥2），∴an=2an﹣1（n≥2），当n=1时，a1=2，∴{an}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，∴an=2n（n∈N*），由条件知{bn}是等差数列，bn=n；（2）令cn=anbn=n2n（利用错位相减法求和），则Tn=2+2•22+3•23+4•24+…+n•2n，①故2Tn=22+2•23+3•24+…+（n﹣1）2n+n2n+1②，①﹣②得﹣Tn=2+22+23+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n﹣1，∵Tn=（n﹣1）2n+1+2．20．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．（1）求B到平面CDE的距离（2）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）解：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，又AB∥CD，∴B到平面CDE的距离为AE=3…（6分）（2）解：在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=．下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=．过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=，∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，∴CD∥AB．又CD=3AB，∴MFAB，∴四边形ABMF是平行四边形，∴AF∥BM，又AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE．∴AF∥平面BCE．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点T（0，2）的直线l与（1）中的椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线