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2017-2018学年辽宁省本溪高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.)1.(5分)已知复数z满足z•i=2﹣i,i为虚数单位,则z=()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i2.(5分)命题“∃x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否命题是()A.∃x∈Z,使x2+2x+m>0 B.∀x∈Z,都有x2+2x+m>0C.∀x∈Z,都有x2+2x+m≤0 D.不存在x∈Z,使x2+2x+m>03.(5分)已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为()A. B. C.﹣ D.﹣4.(5分)已知sinα=2cosα,则sin()=()A. B. C. D.5.(5分)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A.21 B.20 C.19 D.186.(5分)若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦F的距离为()A.4 B.5 C.6 D.77.(5分)已知向量,若实数x,y满足,则的最大值是()A. B. C. D.8.(5分)点P在双曲线:(a>0,b>0)上,F1,F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.2 B.3 C.4 D.59.(5分)已知x0=﹣是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极小值点,则f(x)的一个单调递减区间是()A.(,) B.(,) C.(,π) D.(,π)10.(5分)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为()A.8 B.4 C.1 D.11.(5分)已知l是双曲线C:﹣=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若•=0,则P到x轴的距离为()A. B. C.2 D.12.(5分)设定义在R上的偶函数y=f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x)=f(2﹣x),x∈(0,1]时f(x)=,若a=f(),b=f(),c=f(),则a,b,c三者的大小关系是()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.(5分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4,则曲线C的普通方程为.14.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.15.(5分)F1是椭圆的左焦点,P是椭圆上的动点A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是.16.(5分)在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.三、解答题:(本大题共6小题,共70分.)17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2b﹣c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b+c=4,求△ABC的面积.18.(12分)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲,乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲,乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下,计成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)从乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写下面2x2列联表,并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计附:K2=P((K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.02419.(12分)已知数列{an},其前n项和为Sn,若函数y=x2﹣2x在x=an处的切线斜率为Sn,数列{bn},满足点(n,bn)(n∈N*)在直线y=x上.(1)分别求{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.20.(12分)如图,在四棱锥E﹣ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.(1)求B到平面CDE的距离(2)在线段DE上是否存在一点F,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.21.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的短轴长为2,离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x2+(2m﹣1)x﹣mlnx.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)的极值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若对任意m∈(2,3)及x∈[1,3]时,恒有mt﹣f(x)<1成立,求实数t的取值范围.

2017-2018学年辽宁省本溪高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.)1.(5分)已知复数z满足z•i=2﹣i,i为虚数单位,则z=()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i【解答】解:由z•i=2﹣i得,,故选A2.(5分)命题“∃x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否命题是()A.∃x∈Z,使x2+2x+m>0 B.∀x∈Z,都有x2+2x+m>0C.∀x∈Z,都有x2+2x+m≤0 D.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0【解答】解:特称命题“∃x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是全称命题:“∀x∈Z,都有x2+2x+m>0”.故答案为:∀x∈Z,都有x2+2x+m>0.3.(5分)已知平面向量,满足()=5,且||=2,||=1,则向量与夹角的正切值为()A. B. C.﹣ D.﹣【解答】解:设、的夹角为θ,则θ∈[0,π],又()=5,||=2,||=1,∴+•=22+2×1×cosθ=5,解得cosθ=,∴θ=,∴tanθ=,即向量与夹角的正切值为.故选:B.4.(5分)已知sinα=2cosα,则sin()=()A. B. C. D.【解答】解:由sinα=2cosα,得tanα=2.∴sin()=cos2α=.故选:A.5.(5分)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A.21 B.20 C.19 D.18【解答】解:设{an}的公差为d,由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105,即a1+2d=35,①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99,即a1+3d=33,②由①②联立得a1=39,d=﹣2,∴Sn=39n+×(﹣2)=﹣n2+40n=﹣(n﹣20)2+400,故当n=20时,Sn达到最大值400.故选:B.6.(5分)若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦F的距离为()A.4 B.5 C.6 D.7【解答】解:抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则P(3,),∴P到抛物线的准线的距离为:4,∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选:A.7.(5分)已知向量,若实数x,y满足,则的最大值是()A. B. C. D.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,∵,∴,其几何意义为可行域内动点到原点的距离,由图可知,A到原点距离最大.联立,解得A(3,8),∴的最大值是.故选:A.8.(5分)点P在双曲线:(a>0,b>0)上,F1,F2是这条双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是()A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解:因为△F1PF2的三条边长成等差数列,不妨设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,分别设为m﹣d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知:m﹣(m﹣d)=2a,m+d=2c,(m﹣d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,c=,故离心率e===5,故选D.9.(5分)已知x0=﹣是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极小值点,则f(x)的一个单调递减区间是()A.(,) B.(,) C.(,π) D.(,π)【解答】解:x0=﹣是函数f(x)=sin(2x+φ)的一个极小值点,∴sin[2×(﹣)+φ]=﹣1,∴﹣+φ=2kπ﹣,解得φ=2kπ﹣,k∈Z,不妨取φ=﹣,此时f(x)=sin(2x﹣),令2kπ+<2x﹣<2kπ+,可得kπ+<x<kπ+,∴函数f(x)的单调递减区间为(kπ+,kπ+)k∈Z,结合选项可知当k=0时,函数的一个单调递减区间为(,).故选:A.10.(5分)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中项,则的最小值为()A.8 B.4 C.1 D.【解答】解:因为3a•3b=3,所以a+b=1,,当且仅当即时“=”成立,故选择B.11.(5分)已知l是双曲线C:﹣=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若•=0,则P到x轴的距离为()A. B. C.2 D.【解答】解:双曲线C:﹣=1的a=,b=2,c==,即有F1(﹣,0),F2(,0),设渐近线l的方程为y=x,且P(m,m),•=(﹣﹣m,﹣m)•(﹣m,﹣m)=(﹣﹣m)(﹣m)+(﹣m)2=0,化为3m2﹣6=0,解得m=±,则P到x轴的距离为|m|=2.故选:C.12.(5分)设定义在R上的偶函数y=f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x)=f(2﹣x),x∈(0,1]时f(x)=,若a=f(),b=f(),c=f(),则a,b,c三者的大小关系是()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b【解答】解:定义在R上的偶函数y=f(x)满足对任意x∈R,都有f(x)=f(2﹣x),可得f(﹣x)=f(x)=f(2﹣x),即为f(x+2)=f(x),函数f(x)的最小正周期为2,若a=f()=f(672﹣)=f(﹣)=f(),b=f()=f(404﹣)=f(﹣)=f(),c=f()=f(288+)=f(),x∈(0,1]时f(x)=,导数为f′(x)=,当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)递增,由<<,可得f()<f()<f(),即为c<a<b,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.(5分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4,则曲线C的普通方程为+y2=1.【解答】解:曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4,转化为直角坐标方程为:x2+3y2=4,整理得:.故答案为:.14.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8﹣S4,S12﹣S8,S16﹣S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.【解答】解:设等比数列{bn}的公比为q,首项为b1,则T4=b14q6,T8=b18q1+2++7=b18q28,T12=b112q1+2++11=b112q66,∴=b14q22,=b14q38,即()2=•T4,故T4,,成等比数列.故答案为:15.(5分)F1是椭圆的左焦点,P是椭圆上的动点A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是6﹣.【解答】解:椭圆的a=3,b=,c=2,如图,设椭圆的右焦点为F2(2,0),则|PF1|+|PF2|=2a=6;∴|PA|+|PF1|=|PA|+6﹣|PF2|=6+|PA|﹣|PF2|;由图形知,当P在直线AF′上时,||PA|﹣|PF2||=|AF2|=,当P不在直线AF′上时,根据三角形的两边之差小于第三边有,||PA|﹣|PF2||<|AF2|=;∴当P在F'A的延长线上时,|PA|﹣|PF2|取得最小值﹣,∴|PA|+|PF1|的最小值为6﹣.故答案为:6﹣.16.(5分)在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是等腰或直角三角形.【解答】解:根据题意,∵∠BAD+∠C=90°,∴∠CAD+∠B=180°﹣(∠BAD+∠C)=90°,设∠BAD=α,∠B=β,则∠C=90°﹣α,∠CAD=90°﹣β,在△ABD和△ACD中,根据正弦定理得:sinα:sinβ=BD:AD,sin(90°﹣β):sin(90°﹣α)=CD:AD,又D为BC中点,∴BD=CD,∴sinα:sinβ=sin(90°﹣β):sin(90°﹣α)=cosβ:cosα,∴sinαcosα=sinβcosβ,即sin2α=sin2β,∴2α=2β或2α+2β=180°,∴α=β或α+β=90°,∴BD=AD=CD或AD⊥CD,∴∠BAC=90°或AB=AC,∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.故答案为:等腰或直角三角形三、解答题:(本大题共6小题,共70分.)17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(2b﹣c)cosA=acosC.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b+c=4,求△ABC的面积.【解答】解:(1)已知等式(2b﹣c)cosA=a•cosC,由正弦定理化简得(2sinB﹣sinC)cosA=sinA•cosC,整理得:2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,在△ABC中,sinB≠0,∴cosA=,∵0<A<π∴A=;(2)∵b+c=4,a=2,∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bcosA,即4=b2+c2﹣bc,∴4=(b+c)2﹣3bc,∵b+c=4,∴bc=4,∴S△ABC=bc•sinA=×4×=18.(12分)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲,乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A,B两种不同的教学方式分别在甲,乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,作出茎叶图如下,计成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)从乙班样本的20个个体中,从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率;(2)由以上统计数据填写下面2x2列联表,并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀成绩不优秀总计附:K2=P((K2≥k)0.250.150.100.050.025k1.3232.0722.7063.8415.024【解答】解:(1)设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A.从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为(86,93),(86,96),(86,97),(86,99)(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共15个,而事件A包含基本事件:(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共10个.所以所求概率为P(A)==(2)由已知数据得:甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计202040根据2×2列联表中数据,K2=≈3.137>2.706所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.19.(12分)已知数列{an},其前n项和为Sn,若函数y=x2﹣2x在x=an处的切线斜率为Sn,数列{bn},满足点(n,bn)(n∈N*)在直线y=x上.(1)分别求{an},{bn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.【解答】解:(1)∵y=x2﹣2x,∴y′=2x﹣2,∴2an﹣2=Sn,2an﹣1﹣2=Sn﹣1(n≥2),∴an=2an﹣1(n≥2),当n=1时,a1=2,∴{an}是以a1=2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2n(n∈N*),由条件知{bn}是等差数列,bn=n;(2)令cn=anbn=n2n(利用错位相减法求和),则Tn=2+2•22+3•23+4•24+…+n•2n,①故2Tn=22+2•23+3•24+…+(n﹣1)2n+n2n+1②,①﹣②得﹣Tn=2+22+23+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n﹣1,∵Tn=(n﹣1)2n+1+2.20.(12分)如图,在四棱锥E﹣ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.(1)求B到平面CDE的距离(2)在线段DE上是否存在一点F,使AF∥平面BCE?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【解答】(1)解:∵CD⊥平面ADE,∴CD⊥AE,又AE⊥ED,ED∩CD=D,∴AE⊥平面CDE,又AB∥CD,∴B到平面CDE的距离为AE=3…(6分)(2)解:在线段DE上存在一点F,使AF∥平面BCE,=.下面给出证明:设F为线段DE上的一点,且=.过F作FM∥CD交CE于点M,则FM=,∵CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,∴CD∥AB.又CD=3AB,∴MFAB,∴四边形ABMF是平行四边形,∴AF∥BM,又AF⊄平面BCE,BM⊂平面BCE.∴AF∥平面BCE.…(12分)21.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的短轴长为2,离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的椭圆C交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角,求直线

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