2017-2018学年兰州高二上期末数学理科试卷(2)(含答案)-(新课标人教版)

2017-2018学年甘肃省兰州高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y= D．y=﹣2．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2 B．4 C．4 D．25．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B． C． D．7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，ex＞1，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A． B． C． D．9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A． B． C． D．11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2 B． C． D．12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②“若sinα≠，则α≠”；③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；④命题“∃x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”的否定．其中真命题的序号是．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围．16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆C上两点，N（3，1）是线段AB的中点．（1）求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程．21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．2017-2018学年甘肃兰州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）抛物线y=16x2的准线方程是（）A．x=4 B．x=﹣4 C．y= D．y=﹣【解答】解：抛物线的方程为y=16x2，其标准方程为x2=y，其开口向上，且p=，则其准线方程为：y=﹣；故选：D．2．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．3．（5分）“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B4．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（）米．A．2 B．4 C．4 D．2【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2，故水面宽为4m．故选：B5．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选B．6．（5分）若A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），当||取最小值时，x的值等于（）A．19 B． C． D．【解答】解：=（1﹣x，2x﹣3，﹣3x+3），||==求出被开方数的对称轴为x=当时，||取最小值．故选C7．（5分）已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，ex＞1，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（￢q）是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题【解答】解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，ex＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∧￢q是真命题．故选：C．8．（5分）设F1，F2为曲线C1：的焦点，P是曲线C2：﹣y2=1与C1的一个交点，则cos∠F1PF2的值是（）A． B． C． D．【解答】解：依题意，曲线C1：+=1的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）双曲线C2：﹣y2=1的焦点也为F1（﹣2，0），F2（2，0）∵P是曲线C2与C1的一个交点，设其为第一象限的点由椭圆与双曲线定义可知PF1+PF2=2，PF1﹣PF2=2解得PF1=+，PF2=﹣设∠F1PF2=θ则cosθ==，故选：C9．（5分）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：椭圆的方程为，∴2a=6，2b=4，c=2，连接AF1，BF1，则由椭圆的中心对称性可得△ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|AB|=2a+|AB|，当AB位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b=4，l=2a+|AB|=6+|AB|≥6+4=10．故选：D．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）A． B． C． D．【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1，可求得EF=B1C=．故选B．11．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，=3，则|k|=（）A．2 B． C． D．【解答】解：设A在第一象限，如图，设A、B在准线上的射影分别为M，N，过B作BE⊥AM与E，根据抛物线定义，可得：AF=AM=3m，BN=BF=m，∴AE=2m，又AB=4m，∴∠BAF=60°，k=，当A在第四象限时，可得k=﹣．故选：B．12．（5分）过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，可得：e＞或1综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞或1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②“若sinα≠，则α≠”；③若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题；④命题“∃x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”的否定．其中真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，由x＞1不能得到x＞2，由x＞2能得到x＞1，∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，命题①为假命题；对于②，∵“若，则sin”为真命题，∴其逆否命题“若sinα≠，则α≠”为真命题，命题②为真命题；对于③，由xy=0，可得x=0或y=0，∴“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，则其逆否命题为假命题；对于④，∵x02﹣x0+1=，∴命题“∃x0∈R，使x02﹣x0+1≤0”为假命题，则其否定为真命题．∴真命题的序号是②④．故答案为：②④．14．（5分）已知=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=．【解答】解：∵=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（7，5，λ），，，三向量共面三向量共面，∴存在p，q，使得=p+q，∴（7，5，λ）=（2p﹣q，﹣p+4q，3p﹣2q）∴，解得p=，q=，λ=3p﹣2q=．故答案为：．15．（5分）已知A是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点，过左焦点F与y轴平行的直线交双曲线C于P、Q两点，若△APQ是锐角三角形，则双曲线C的离心率的范围（1，2）．【解答】解：∵△APQ是锐角三角形，∴∠PAF为锐角，∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，∴∠PAF=∠QAF＜45°∴PF＜AF∵F为座焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（a，0）所以PF=，AF=a+c∴＜a+c即c2﹣ac﹣2a2＜0解得﹣1＜＜2双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为：（1，2）16．（5分）如图，已知点C的坐标是（2，2）过点C的直线CA与X轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与Y轴交于点B，设点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为x+y﹣2=0．【解答】解：由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点．∴|OM|=|CM|，设M（x，y），则，化为x+y﹣2=0．故答案为x+y﹣2=0．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．【解答】解：若命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅为真命题则△=（a﹣1）2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1＜0即3a2+2a﹣1＞0，解得A={a|a＜﹣1，或a＞}若命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数为真命题则2a2﹣a＞1即2a2﹣a﹣1＞0解得B={a|a＜﹣，或a＞1}（1）若甲、乙至少有一个是真命题则A∪B={a|a＜﹣或a＞}；（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题（A∩CUB）∪（CUA∩B）={a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．18．（12分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）．∴=（，1，0），=（，1，﹣3），=（0，2，﹣3）…（6分）（2）设面SBC的法向量为．则令y=3，则z=2，x=，∴．设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ=…12分19．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆C上两点，N（3，1）是线段AB的中点．（1）求直线AB的方程；（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程．【解答】解：（1）离心率e=，设椭圆C：x2+3y2=a2（a＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，设直线AB的方程为y=k（x﹣3）+1，代入x2+3y2=a2，整理得（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+3（3k﹣1）2﹣a2=0．①△=4[a2（3k2+1）﹣3（3k﹣1）2]＞0，②且x1+x2=，由N（3，1）是线段AB的中点，得．解得k=﹣1，代入②得a2＞12，∴直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0..（6分）（2）圆心N（3，1）到直线的距离d=，∴|AB|=2．当k=﹣1时方程①即4x2﹣24x+48﹣a2=0．∴|AB|=|x1﹣x2|==2，解得a2=24．∴椭圆方程为…（12分）21．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（