方程与不等式（4大模块知识清单 7种方法清单 10种易错清单 27个考试清单真题专练）

一一次方程(组)及其应用知识必备02方程与不等式,用于解方程中的系数化为1)中的应用3.移项：把含有未知数的项都移到等号的左边，常数项都移到等号的右边(记住移项一程及其解法|解法步骤定要④变号)程及其解法|解法步骤4.合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)的形式5.系数化为1:在方程两边都除以未知数的⑤系数，得到方程的解为一一次二元一次方程组的解：二元一次方程组中的两个方程的公共解最简公分母为0=a是分式方程的增根解分式方分式方程去分母整式方程解整式方程=检验分式方程的购买问题：总费用=购买数量【满分技法】列分式方程解实际应用题必须验根，既要看原方程是否有增根(原方程增根应舍去),又要看是否符合实际情况.程的步骤：乘以x=a是分式方程的根相分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根使分式方程分母为0.分式方程及其解法分式方程及其应田1.形如(x+h)²=k(h、k为常数，k≥0)的方程二次项系数化为1后，一次项系(1)化二次项系数为1:两边同时除以a得(2)常数项移右边,即(4)直接开平方一元二次方程根与系数的关系(*选学):方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x₁,x₂,!平均增长率(下一元二次方程的(降率)问题实际应用的常见每每问题：总利润=(售价-成本)×数量次次不等式(组)2.如图2,设阴影部分的宽为x,则S=⑩(a-x)(b-x)3.如图3,设阴影部分的宽为x,则S=⑪(a-x)(b-x)4.如图4,栏杆总长为a,BC的长为b,则面积问题一元二次方程互赠礼物问题石和短，的分数为n-1)若a>b,则a±c①>b±c若a>b,c>0,那么a③>be若a>b,c<0,那么ac⑥<be,一般解答步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1总结一般解答步骤：先求出不等式组中各个不等式的解关于x的不等式组的解集及其在数轴上表示的四种情况如下表：类型(a>b)口诀同大取大同小取小取中间大大小小取不了元二次方程及其应用元二次方程及其应用方法1:不等式(组)中的分类讨论1.(2022·黔东南州)在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.当x|+1|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是()A.x≤-1B.x≤-1或x2.(2023·淄博)某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数m(人)每人门票价(元)*题中的团队人数均不少于10人.现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人.(1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人?(2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人?方法2:方程中的转化思想3.(2023·德阳)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，74方法3:根的判别式4.(2023·广元)关于x的一元二次方程A.有两个不相等的实数根根的情况，下列说法中正确的是()B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定5.(2022·泰州)方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为方法4:增长率问题6.(2022·河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为()A.30(1+x)²=50B.30(1-x)C.30(1+x²)=50D.7.(2022·宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x,根据题意列出方程，正确的是()方法5:图形面积问题8.(2023·黑龙江)如图，在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m²,则小路的宽是()9.(2022·泰州)如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m²,道路的宽应为多少?10.(2022·德州)如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m,15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m,求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3.求新的矩形绿地面积.方法6:商品销售问题进货价和销售价如下表：(注：利润=销售价-进货价)A款钥匙扣B款钥匙扣进货价(元/件)销售价(元/件)(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?12.(2023·赤峰)某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1500元.(1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元?(2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少件?13.(2022·湖北)某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元?(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份?14.(2023·内江)某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果.某超市看好甲、乙售价(元/千克)甲a乙b该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元.(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克.实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润y(元)取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率(利润率=本金))不低于16%,求m的最大值.方法7:方案选择问题15.(2022·牡丹江)某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元.经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：(1)求A,B两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案?(3)为扩大生产，厂家欲拿出与(2)中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备(两种都买).若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案?最多可购买甲，乙两种设备共多少台?(请直接写出答案即可)少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元.销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元.(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元?(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围.(3)在(2)的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些?并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少?易错点1:运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况.1.(2022·青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是()C.若a²=b²,则a=bD.若则x=-2易错点2:一元一次方程的解以及解方程：计算思路要清晰、计算要准确，否则很容易失分。2.(2003·绵阳)当a=0时，方程ax+b=0(其中x是未知数，b是已知数)A.有且只有一个解B.无解C.有无限多个解D.无解或有无限多个解易错点3:解二元一次方程：注意题目给出的条件，充分利用条件进行解答。3.(2023·无锡)下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是()易错点4:一元二次方程中相关字母的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。解这类问题一定要掌握一元二次方程的定义，注意特殊字母的取值范围：4.(2023·桐柏县一模)关于x的方程(m+1)xm+1-mx+6=0是一元二次方程，则m的值是易错点5:一元二次方程的解：灵活运用求解的几种方法，另外，结合整体代入法进行考查时也是是一个特别容易出错的点，需特别留意。6.(2023·娄底)若m是方程x²-2x-1=0的根，则易错点6:解分式方程时首要步骤去分母，分数线相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。另外注意方程无解时，相关字母可能会出现多个解，容易遗漏：7.(2023·山西)解方程：8.(2023·陕西)解方程：9.(2023·西藏)解分式方程：10.(2023·广西)解分式方程：11.(2022·眉山)解方程：12.(2022·青海)解方程：13.(2022·玉林)解方程：易错点7:运用不等式的性质3时，容易忘记改变不等号的方向而导致结果出错。注意结合不等号两边的正负性灵活转变不等号的方向。不等式(组)的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。:14.(2022·宿迁)如果x<y,那么下列不等式正确的是()A.x-1>y-1B.x+1>y+1C.-2x<-2y易错点8:关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视相等的情况。解不等式过程中，容易忽视整数解的正确选择，需要考虑到解题步骤中要满足每个步骤及相关条件：15.(2022·内蒙古)关于x的不等式红无解，则a的取值范围是16.(2022·黑龙江)若关于x的一元一次不等式的解集为x<2,则a的取值范易错点9:不等式(组)的解的问题要先确定解集，注意包含与不包含，以及对正整数，整数，非负整数等关键词理解要透彻，容易概念混乱。确定解集的方法运用数轴。:17.(2023·陕西)解不等式组：18.(2023·福建)解不等式组：19.2023·常州)解不等式把解集在数轴上表示出来，并写出整数解.20.(2023·济南)解不等式组：,并写出它的所有整数解.21.(2022·淮安)解不等式组：并写出它的正整数解.22.(2022·扬州)解不等式并求出它的所有整数解的和.23.(2022·西宁)解不等式组：并写出该不等式组的最大整数解.易错点10:方程与不等式应用于实际问题时应注意：(1)单位要统一；(2)找等量关系必须准确；(3)列方程组时要避免出现0=0的情况。在一元二次方程中容易忽略多个解24.(2023·怀化)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.(1)求原计划租用A种客车多少辆?这次研学去了多少人?(2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案?(3)在(2)的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算?25.(2022·遂宁)某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球.已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元.(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元.那么有哪几种购买方案?26.(2023·淮安)为了便于劳动课程的开展，学校打生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18m的篱笆围成.生态园的面积能否为40m²?如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由.墙27.(2023·郴州)随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待28.(2022·眉山)建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区?29.(2022·毕节市)2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：(注：利润=销售价-进货价)A款钥匙扣B款钥匙扣进货价(元/件)销售价(元/件)(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少?(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?一.一元一次方程的解(共1小题)1.(2023·永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1,则m的值为()二.解一元一次方程(共1小题)A.9B三.由实际问题抽象出一元一次方程(共1小题)3.(2023·成都)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺?设木长x尺，则可列方程为()四.一元一次方程的应用(共5小题)4.(2023·台湾)有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东向良名向良名小维A.46B.505.(2023·德阳)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m=.746.(2023·河北)某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：投中位置A区脱靶一次计分(分)31在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次.脱靶4次.(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值.7.(2023·临沂)大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金.(1)这台M型平板电脑价值多少元?(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬(用含m的代数式表示)?乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同.(1)求甲、乙两区各有农田多少亩?(2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同),喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷泥亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩?五.由实际问题抽象出二元一次方程(共1小题)9.(2023·温州)一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g),y(g),可列出方程六.二元一次方程的应用(共3小题)10.(2023·黑龙江)某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A,B,C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本(三种图书都要买),此次采购的方案有()11.(2023·西藏)列方程(组)解应用题如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成.(1)求一块长方形墙砖的长和宽；(2)求电视背景墙的面积.12.(2023·海南)2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在星发射中心参观学习.已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问甲、乙两种型号客车各租多少辆?七.二元一次方程组的解(共1小题)13.(2023·眉山)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4,八.解二元一次方程组(共3小题)九.由实际问题抽象出二元一次方程组(共3小题)17.(2023·西宁)《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何?意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺?设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得()18.(2023·浙江)我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为四.问人数、物价各几何?”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元.问有多少人?该物品价值多少元?设有x人，该物品价值y元，一十.二元一次方程组的应用(共3小题)20.(2023·巴中)某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为()21.(2023·重庆)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份?(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份?22.(2023·宜昌)为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍.肉粽数量小欢妈妈小乐妈妈(1)求豆沙粽和肉粽的单价；(2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元);①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A,B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计),每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计.A,B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半.端午节当天统计发现，A,B两种包装的销量分别为(80-4m)包，(4m+8)包，A,B两种包装的销售总额为17280元.求m的值.十一.一元二次方程的解(共1小题)23.(2023·绵阳)若x=3是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是()十二.解一元二次方程-配方法(共1小题)24.(2023·赤峰)用配方法解方程x²-4x-1=0时，配方后正确的是()A.(x+2)²=3B.(x+2)²=17十三.根的判别式(共2小题)25.(2023·锦州)若关于x的一元二次方程kx²-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是26.(2023·朝阳)若关于x的一元二次方程(k-1)x²+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()十四.根与系数的关系(共5小题)27.(2023·西藏)已知一元二次方程x²-3x+2=0的两个根为xi、x₂,则的值为()28.(2023·岳阳)已知关于x的一元二次方程x²+2mx+m²-m+2=0有两个不相等的实数根x₁、x₂,且x₁+x₂+x₁x₂=2,则实数m=.29.(2023·湖北)已知一元二次方程x²-3x+k=0的两个实数根为x₁,x₂,若x1x₂+2x₁+2x₂=30.(2023·襄阳)关于x的一元二次方程x²+2x+3-k=0有两个不相等的实数根.(2)若方程的两个根为α,β,且k²=aβ+3k,求k的值.31.(2023·南充)已知关于x的一元二次方程x²-(2m-1)x-3m²+m=0.(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若x₁,x₂是方程的两个实数根，求m的值.十五.由实际问题抽象出一元二次方程(共2小题)32.(2023·阜新)近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x,则所列方程正确的是()A.16(1+x)²=23B.23(1-x)²=16C.23-23(1-x)²=16D.23(1-2x)=1633.(2023·衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程()A.x+(1+x)=36B.2(1+x)C.1+x+x(1+x)=36D.1+x+x²=36十六.一元二次方程的应用(共1小题)34.(2023·大连)为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020-2022年买书资金的平均增长率.十七.配方法的应用(共1小题)35.(2023·盐城)课堂上，老师提出了下面的问题：试比较M与N的大小.小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较x²+1与2x-1的大小.小华：∵(x²+1)-(2x-1)=x²+1-2x+1=(x-1)²+1>0,老师：分式的大小比较能用“作差法”吗?(1)请用“作差法”完成老师提出的问题.(2)比较大小：(填“>""=”或“<”)十八.分式方程的解(共1小题)36.(2023·黑龙江)已知关于x的分式方的解是非负数.则m的取值范围是A.m≤2B.m≥2C.m≤2且m≠-2D.m<2且m≠-2十九.解分式方程(共2小题)37.(2023·益阳)分式方程的解是38.(2023·赤峰)方程1的解为二十.分式方程的增根(共1小题)39.(2023·巴中)关于x的分式方有增根，则m=二十一.由实际问题抽象出分式方程(共5小题)40.(2023·青海)为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h.根据题意，下列方程正确的是()41.(2023·云南)阅读，正如一束阳光.孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是()42.(2023·青岛)某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为43.(2023·呼和浩特)甲、乙两船从相距150km的A,B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h,则江水的流速为km/h.经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元?根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：解得x=5,经检验x=5是原方程的解.乙：解得x=65,经检验x=65是原方程的解.则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个?二十二.分式方程的应用(共4小题)45.(2023·南通)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积(单位：m²)每天施工费用(单位：甲乙x信息二甲工程队施工1800甲工程队施工1800m²所需天数与乙工程队施工1200m²所需天数相等.(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m².该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?46.(2023·通辽)某搬运公司计划购买A,B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同.(1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨?(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案.1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A,B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个?48.(2023·长春)随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”,受到广大敦煌文化爱果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件?二十三.不等式的解集(共1小题)49.(2023·黄石)若实数a使关于x的不等式的解集为-1<x<4,则实数a的取值范围为二十四.解一元一次不等式(共2小题)50.(2023·盐城)解不等式并把它的解集在数轴上表示出来.51.(2023·宁夏)解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：任务一：该同学的解答过程第步出现了错误，错误原因是;不等式①的正确解集是任务二：解不等式②,并写出该不等式组的解集.二十五.一元一次不等式的应用(共3小题)共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元.(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本?53.(2023·哈尔滨)佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A,B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同.若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米.(1)求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；(2)该中学需要A,B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装?54.(2023·湖北)创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A,B两种型号的新型垃圾桶.若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元.(1)求两种型号垃圾桶的单价；(2)若需购买A,B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个?二十六.解一元一次不等式组(共4小题)55.(2023·广州)不等式的解集在数轴上表示为()56.(2023·威海)解不等式时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确1157.(2023·北京)解不等式组：58.(2023·湘潭)解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.二十七.一元一次不等式组的整数解(共2小题)59.(2023·绵阳)关于x的不等式有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数A.11B.1560.(2023·宜宾)若关于x的不等式所有整数解的和为14,则整数a的值为 一次一次方程(组)及其应用1.若a=b,则a±c=b±c(用于解方程中的移项)等式的性质2.若a=b,则ac=be(用于解方程中的去分母),用于解方程中的系数化为1)及在解方程一元一次方一元一次方3.移项：把含有未知数的项都移到等号的左边，常数项都移到等号的右边(记住移项一程及其解法|解法步骤定要④变号)二元一次方程二元一次方程组的解：二元一次方程组中的两个方程的公共解组及其解法代入消元法：方程组中有一个方程未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法比较简单(1)方程组中一个未知数的系数相等或互为相反数时，选择加组的基本方法打折销售问题：售价=标价×折扣(打几折，折扣就是百分之几十),销售额=售价×销量一次方程(组)购买分配问题：总费用=甲的数量×甲的单价+乙的数量×乙的单价的实际应用常见类型及关系解分式方分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根使分式方程分母为0.【满分技法】列分式方程解实际应用题必须验根，既要看原方程是否有增根(原方程增根应舍去),又要看是否符合实际情况.江分式方程及其解法分式方程及其应用-概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①2的整式方程叫做一元二次方程1.形如(x+h)²=k(h、k为常数，k≥0)的方程2.方程缺少一次项时，即方程ax²二次项系数化为1后，一次项系(1)化二次项系数为1:两边同时除以a得(2)常数项移右边,即(4)直接开平方[一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为③b²-4ac根的判别式判别式与根的关程有两个④不相等的实数根方程有两个相等的实数根一元二次方程根与系数的关系(水选学):方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根是x..x.[1.增长率=基础量×100%;平均增长率(下类型及关系2.改a为基础量，b为变化后的量，则每每问题：总利润=(售价-成本)×数量一一次不等式(组)的实际应用的[1.如图1,设空白部分的宽为x,则Sm=⑨(a-2x)(b-2x)2.如图2,设阴影部分的宽为x,则S=⑩(a-x)(b-x)3.如图3,设阴影部分的宽为x,则S=4.如图4,栏杆总长为a,BC的长为b,则面积问题互赠礼物问题人区和送单分收为n-1)若a>b,则a±c①>b±c不等式的基本性质若a>b,c>0,那么a③>be,"不等式的基本性质一般解答步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1一一般解答步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1总结aa一般解答步骤：先求出不等式组中各个不等式的解关于x的不等式组的解集及其在数轴上表示的四种情况如下类型(a>b)口诀同大取大同小取小取中间大大小小取不了元二次方程及其应用元二次方程及其应用方法1:不等式(组)中的分类讨论义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.当x|+1|+x-2|取得最小值时，x的取值范围是()A.x≤-1B.x≤-1【分析】以-1和2为界点，将数轴分成三部分，对x的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可.【解答】解：如图，综上所述，当-1≤x≤2时，|x+1|+|x-2|取得最小值，所以当|x+1|+lx-2|取得最小值时，x的取值范围故选C.【点评】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以-1和2为界点对x的值进行分类讨论，进而得出代数式的值.2.(2023·淄博)某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：购票人数m(人)每人门票价(元)*题中的团队人数均不少于10人.现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人.(1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人?(2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各少于1200元，问甲团队最少多少人?【分析】(1)设甲团队有x人，乙团队(102-x)人，但需要考虑乙团队人数是否大于100,所以分类讨论即可.甲团队按票价是每人80元，乙团队按票价是每人60元，如果乙超过100人，大概需要缴纳4000多元，但是5580元减去4000多元，剩下的钱不足以构成甲的人数，因为此时甲的人数只能是1人，所以这种情况省略；所以甲人数在50以下，乙人数在51到100之间，联列方程即可；(2)两个团队要合起来购票的话，每人40元，列出一共购票的钱和各自购票的钱之和，【解答】解：(1)设甲人数x人，乙人数(102-x)人；∵当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5580元；∴乙人数在51到100之间，甲人数在10到50之间；∴甲48人，乙54人；答：甲团队48人，乙团队54人.(2)设甲人数x人，乙人数(102-x)人；甲乙一起买价格：102×40=4080(元);∴甲最少18人；答：甲团队最少18人.【点评】本题考查学生不等式的基本应用，属于基础题.方法2:方程中的转化思想3.(2023·德阳)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m=_3974【分析】设九宫格中最中间的数为x,由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4=7+x,求得x,根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m=3x.【解答】解：设九宫格中最中间的数为x,∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，故答案为：39.【点评】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键.方法3:根的判别式4.(2023·广元)关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【分析】先确定a、b、c的值，在计算b²-4ac即可.∴方程没有实数根.【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程中根的判别式大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0,方程无解.5.(2022·泰州)方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为1【分析】由题可得△=(-2)²-4×1×m=0,即可得m的值.【解答】解：∵方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，解得m=1.故答案为：1.【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，若一元二次方程有两个不相等的实数根，则△=b²-4ac>0;若一元二次方程有两个相等的实数根，则△=b²-4ac=0;若一元二次方程没有实数根，则△=b²-4ac<0.方法4:增长率问题6.(2022·河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为()A.30(1+x)²=50B.C.30(1+x²)=50D.30(【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x,某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30(1+x)万个，三月份的口罩产量是30(1+x)²万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可.【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x,由题意得，30(1+x)²=50.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产量是解题关键.7.(2022·宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x,根据题意列出方程，正确的是()【分析】利用该地92号汽油五月底的价格=该地92号汽油三月底的价格×(1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【解答】解：依题意得6.2(1+x)²=8.9,【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉.方法5:图形面积问题8.(2023·黑龙江)如图，在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m²,则小路的宽是()【分析】设小路的宽是xm,则余下的部分可合成长为(100-2x)m,宽为(50-2x)m的【解答】解：设小路的宽是xm,则余下的部分可合成长为(100-2x)m,宽为(50-2x)解得：xi=5,x₂=70(不符合题意，舍去),∴小路的宽是5m.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.9.(2022·泰州)如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m²,道路的宽应为多少?【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面-所修路面积=草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可.【解答】解：设路宽应为x米根据等量关系列方程得：(50-2x)(38-2x)=1260,40不合题意，舍去，答：道路的宽应为4米.【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.10.(2022·德州)如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m,15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m,求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3.求新的矩形绿地面积.【分析】(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m,根据扩充后的矩形绿地面积为800m,即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入(35+x)及(15+x)中，即可得出结论；(2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3,即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积.【解答】解：(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为根据题意得：(35+x)(15+x)=800,解得：x1=5,x₂=-55(不符合题意，舍去),答：新的矩形绿地的长为40m,宽为20m.(2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,即3(35+y)=5(15+y),答：新的矩形绿地面积为1500m².【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程.方法6:商品销售问题进货价和销售价如下表：(注：利润=销售价-进货价)类别价格B款钥匙扣进货价(元/件)销售价(元/件)(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?【分析】(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，利用总价=单价×数量，结合该网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，即可得出关于x,y的二元一次方程(2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80-m)件B款钥匙扣，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；(3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a-25)元，平均每天可售出(78-2a)件，利用平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润=每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论.【解答】解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件.(2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80-m)件B款钥匙扣，依题意得：30m+25(80-m)≤2200,设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960.∴当m=40时，w取得最大值，最大值=3×40+960=1080,此时80-m=80-40=40.答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元.(3)设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为(a-25)元，平均每天可售出解得：a₁=30,a₂=34.答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出一元二次方程.12.(2023·赤峰)某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1500元.(1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元?(2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种电子产品多少件?“2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1500元”,可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)设销售甲种电子产品m万件，则销售乙种电子产品(8-m)万件，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合销售总额不低于5400万元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.【解答】解：(1)设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的销售单价是y元，根据题意得：解得：答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的销售单价是600元；(2)设销售甲种电子产品m万件，则销售乙种电子产品(8-m)万件，根据题意得：900m+600(8-m)≥5400,∴m的最小值为2.答：至少销售甲种电子产品2万件.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.13.(2022·湖北)某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.(2)已知该班共买55份甲乙两种快餐，所花快餐费不超过1280元，问至少买乙种快餐多少份?【分析】(1)设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，根据“买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元，买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元”,即可(2)设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐(55-m)份，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1280元，即可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.【解答】解：(1)设购买一份甲种快餐需要x元，购买一份乙种快餐需要y元，答：购买一份甲种快餐需要30元，购买一份乙种快餐需要20元.(2)设购买乙种快餐m份，则购买甲种快餐(55-m)份，依题意得：30(55-m)+20m≤1280,答：至少买乙种快餐37份.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.14.(2023·内江)某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果.某超市看好甲、乙水果种类进价(元/千克)售价(元/千克)甲a乙b该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元.(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克.实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润y(元)取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率)不低于16%,求m的最大值.【分析】(1)根据信息列二元一次方程得出答案；(2)分类讨论，分别求出30≤x≤60和60<x≤80时的函数关系；(3求出当x为多少时，y值最大，利用利润率公式得到关于m的不等式，解出m的最大【解答】解：(1)由题可列(2)由题可得当30≤x≤60时，y=(20-14)x+(23-19)(100-x)=2x+当60<x≤80时，y=(20-3-14)(x-60)+(20-14)×60+(23-19)(100-x)=-x+答：超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的答：m的最大值为1.2.【点评】本题以应用题为背景考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出关系式.本题难度适中，常为期末考试题.方法7:方案选择问题15.(2022·牡丹江)某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元.经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：(1)求A,B两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案?(3)为扩大生产，厂家欲拿出与(2)中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备(两种都买).若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案?最多可购买甲，乙两种设备共多少台?(请直接写出答案即可)【分析】(1)设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为(x+500)元/箱，利用数量=总价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本，再将其代入(x+500)中即可求出A种防疫用品的成本；(2)设生产m箱B种防疫用品，则生产(50-m)箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”,即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出该工厂共有6种生产方案；(3)设(2)中的生产成本为w元，利用生产成本=A种防疫用品的成本×生产数量+B种防疫用品的成本×生产数量，即可得出关于w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可求出(2)中最低成本，设购买a台甲种设备，b台乙种设备，利用总价=单价×数量，即可得出关于a,b的二元一次方程，结合a,b均为正整数，即可得出各购买方案，再将其代入a+b中即可得出结论.【解答】解：(1)设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为(x+500)经检验，x=1500是原方程的解，且符合题意，答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱.(2)设生产m箱B种防疫用品，则生产(50-m)箱A种防疫用品，解得：20≤m≤25.∴m可以为20,21,22,23,24,25,∴该工厂共有6种生产方案.(3)设(2)中的生产成本为w元，则w=2000(50-m)+1500m=-500m+100000,∴当m=25时，w取得最小值，最小值=-500×25+100000=87500.设购买a台甲种设备，b台乙种设备，依题意得：2500a+3500b=87500,又∵a,b均为正整数，或或或∴a+b=33或31或29或27.∴共有4种购买方案，最多可购买甲，乙两种设备共33台.【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方16.(2023·湘西州)2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元.销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元.(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元?(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围.(3)在(2)的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些?并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少?【分析】(1)列方程组即可求出两种风扇的进价，(2)列一元一次不等式组求出取值范围即可，(3)再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润.【解答】解：(1)设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：解得：答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元.(2)设购进A型品牌小电器a台，由题意得：解得30≤a≤50,答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50.(3)设获利为w元，由题意得：w=3a+4(150-a)=-a+600,∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，解得：a≤35,∵w随a的增大而减小，∴当a=30台时获利最大，w最大=-30+600=570元，答：A型30台，B型120台，最大利润是570元.【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件.易错点1:运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况.1.(2022·青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是()C.若a²=b²,则a=bD.若则x=-2【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答.B、若ac=bc(c≠0),则a=b,C、若a²=b²,则a=±b,故C不符合题意；,【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键.易错点2:一元一次方程的解以及解方程：计算思路要清晰、计算要准确，否则很容易失分。2.(2003·绵阳)当a=0时，方程ax+b=0(其中x是未知数，b是已知数)(A.有且只有一个解B.无解C.有无限多个解D.无解或有无限多个解【分析】分两种情况进行讨论(1)当a=0,b=0时；(2)当a=0,而b≠0.【解答】解：当a=0,b=0时，方程有无限多个解；当a=0,而b≠0时，方程无解.【点评】本题考查了一元一次方程的解的情况，要分情况讨论在判断.易错点3:解二元一次方程：注意题目给出的条件，充分利用条件进行解答。3.(2023·无锡)下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是()【分析】二元一次方程2x