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2017-2018学年黑龙江省大庆高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大包括12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题目要求)1.(5分)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是()A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法2.(5分)把38化为二进制数为()A.100110(2) B.101010(2) C.110010(2) D.110100(2)3.(5分)若直线l的一个方向向量,平面α的一个法向量为,则()A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.A、C都有可能4.(5分)已知空间向量=(1,n,2),=(﹣2,1,2),若2﹣与垂直,则||等于()A. B. C. D.5.(5分)已知p:∀m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解,q:∃x0∈N,;则下列选项中是假命题的为()A.p∧q B.p∧(¬q) C.p∨q D.p∨(¬q)6.(5分)对具有线性相关关系的两个变量x和y,测得一组数据如下表所示:x24568y20406070m根据上表,利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5,则m=()A.85.5 B.80 C.85 D.907.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,78.(5分)执行如图的程序框图,则输出的结果是()A.﹣1 B. C.2 D.19.(5分)若在区间[0,2]中随机地取两个数,则这两个数中较小的数大于的概率是()A. B. C. D.10.(5分)设命题p:x2﹣(2a+1)x+a2+a<0,命题q:lg(2x﹣1)≤1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.11.(5分)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则这个椭圆的离心率是()A.﹣1 B.2﹣ C. D.12.(5分)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=()A. B. C. D.二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)若双曲线的焦距为8,点在其渐近线上,则C的方程为.14.(5分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于.15.(5分)从双曲线﹣=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线,切点为T,延长F1T交双曲线右支于P点,设M为线段F1P的中点,O为原点坐标,则|MO|﹣|MT|=.16.(5分)下列说法正确的有①函数f(x)=4cos(2x+)的一个对称中心为(﹣,0);②在△ABC中,AB=1,AC=3,D是BC的中点,则=4;③在△ABC中,A<B是cos2A>cos2B的充要条件;④定义min{a,b}=,已知f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且an+1=2Sn+1+1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=log3a2n,bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.18.(12分)“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q≤80时,为酒后驾车;当Q>80时,为醉酒驾车.某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动,共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内).(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取2人,求两人中恰有1人醉酒驾车的概率.19.(12分)△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.(1)求∠B的大小;(2)若,且,求△ABC面积的最大值.20.(12分)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.(1)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;(2)求四棱锥F﹣ABCD的体积.21.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)求B点到平面PCD的距离.(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.22.(12分)如图,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程;(2)求的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|•|OS|为定值.

2017-2018学年大庆高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大包括12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题目要求)1.(5分)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是()A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法【解答】解:总体由男生和女生组成,比例为500:500=1:1,所抽取的比例也是1:1.故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样法.故选:D.2.(5分)把38化为二进制数为()A.100110(2) B.101010(2) C.110010(2) D.110100(2)【解答】解:38÷2=19…019÷2=9…19÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故38(10)=100110(2)故选:A.3.(5分)若直线l的一个方向向量,平面α的一个法向量为,则()A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.A、C都有可能【解答】解:∵直线l的一个方向向量,平面α的一个法向量为,则=2,∴l⊥α.故选:B.4.(5分)已知空间向量=(1,n,2),=(﹣2,1,2),若2﹣与垂直,则||等于()A. B. C. D.【解答】解:∵=(1,n,2),=(﹣2,1,2),∴2﹣=(4,2n﹣1,2),∵2﹣与垂直,∴(2﹣)•=0,∴﹣8+2n﹣1+4=0,解得,n=,∴=(1,,2)∴||==.故选:B.5.(5分)已知p:∀m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解,q:∃x0∈N,;则下列选项中是假命题的为()A.p∧q B.p∧(¬q) C.p∨q D.p∨(¬q)【解答】解:对于m命题p:方程x2﹣mx﹣1=0,则△=m2+4>0,因此:∀m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解,可得:命题p是真命题.对于命题q:由x2﹣x﹣1≤0,解得≤x≤,因此存在x=0,1∈N,使得x2﹣x﹣1≤0成立,因此是真命题.∴下列选项中是假命题的为p∧(¬q),故选:B.6.(5分)对具有线性相关关系的两个变量x和y,测得一组数据如下表所示:x24568y20406070m根据上表,利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5,则m=()A.85.5 B.80 C.85 D.90【解答】解:∵=5,回归直线方程为y=10.5x+1.5,∴=54,∴55×4=20+40+60+70+m,∴m=80,故选:B.7.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为()A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7【解答】解:由已知中甲组数据的中位数为65,故乙组数据的中位数也为65,即y=5,则乙组数据的平均数为:66,故x=3,故选:A.8.(5分)执行如图的程序框图,则输出的结果是()A.﹣1 B. C.2 D.1【解答】解:模拟程序的运行,可得a=2,i=1执行循环体,可得a=﹣1,i=2不满足条件i≥6,执行循环体,a=,i=3不满足条件i≥6,执行循环体,a=2,i=4不满足条件i≥6,执行循环体,a=﹣1,i=5不满足条件i≥6,执行循环体,a=,i=6满足条件i≥6,退出循环,输出a的值为.故选:B.9.(5分)若在区间[0,2]中随机地取两个数,则这两个数中较小的数大于的概率是()A. B. C. D.【解答】解:∵在区间[0,2]中随机地取一个数,这两个数中较小的数大于的概率为=,故选:C.10.(5分)设命题p:x2﹣(2a+1)x+a2+a<0,命题q:lg(2x﹣1)≤1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【解答】解:由x2﹣(2a+1)x+a(a+1)<0,得[x﹣(a+1)](x﹣a)<0,即a<x<a+1,即p:a<x<a+1,由lg(2x﹣1)≤1,得0<2x﹣1≤10,解得:<x≤,若p是q的充分不必要条件,则,解得:≤a≤,故选:A.11.(5分)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则这个椭圆的离心率是()A.﹣1 B.2﹣ C. D.【解答】解:∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点,∴△PF1F2为直角三角形,且∠P=90°,∵∠PF1F2=2∠PF2F1,∴∠PF1F2=60°,F1F2=2c,∴PF1=c,PF2=c,由椭圆的定义知,PF1+PF2=c+c=2a,即==﹣1∴离心率为﹣1.故选:A12.(5分)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比=()A. B. C. D.【解答】解:如图过B作准线l:x=﹣的垂线,垂足分别为A1,B1,∵=,又∵△B1BC∽△A1AC、∴=,由拋物线定义==.由|BF|=|BB1|=2知xB=,yB=﹣,∴AB:y﹣0=(x﹣).把x=代入上式,求得yA=2,xA=2,∴|AF|=|AA1|=.故===.故选A.二、填空题(本题包括4小题,每小题5分,共20分)13.(5分)若双曲线的焦距为8,点在其渐近线上,则C的方程为.【解答】解:根据题意,双曲线的焦距为8,即2c=8,则c=4,若点在其渐近线上,则双曲线的一条渐近线方程为y=x,又由双曲线的方程为,则有=,又由c=4,则a2+b2=c2=16,解可得a2=4,b2=12,则双曲线的方程为:故答案为:14.(5分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于.【解答】解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2.则A1(2,0,2),F)1,0,0),D1(0,0,2),E(0,2,1)则,,==,∴异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于,故答案为:.15.(5分)从双曲线﹣=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线,切点为T,延长F1T交双曲线右支于P点,设M为线段F1P的中点,O为原点坐标,则|MO|﹣|MT|=1.【解答】解:设F'是双曲线的右焦点,连接PF'.∵M、O分别为FP、FF'的中点,∴|MO|=|PF'|.|FT|==5,由双曲线定义得,|PF|﹣|PF'|=8,故|MO|﹣|MT|=|PF'|﹣|MF|+|FT|=(|PF'|﹣|PF|)+|FT|=﹣4+5=1.故答案为:1.16.(5分)下列说法正确的有①②③④①函数f(x)=4cos(2x+)的一个对称中心为(﹣,0);②在△ABC中,AB=1,AC=3,D是BC的中点,则=4;③在△ABC中,A<B是cos2A>cos2B的充要条件;④定义min{a,b}=,已知f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的最大值为.【解答】解:对于①,∵,∴函数f(x)=4cos(2x+)的一个对称中心为(﹣,0),故正确;对于②,∵===4,故正确;对于③,在△ABC中,A<B⇒0<sinA<sinB⇒1﹣2sin2A>1﹣2sin2B⇒cos2A>cos2B,反之也成立,故正确;对于④,∵f(x)=min{sinx,cosx}=,则f(x)的最大值为,故正确.故答案为:①②③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且an+1=2Sn+1+1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令cn=log3a2n,bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.【解答】解:(1)∵an+1=2Sn+1,n∈N∗,n≥2时,an=2Sn﹣1+1,可得an+1﹣an=2an,即an+1=3an.n=1时,a2=2a1+1=3=3a1,满足上式.∴数列{an}是等比数列,∴an=3n﹣1.….(6分)(2)c=log3a2n==2n﹣1.bn===(),数列{bn}的前n项和Tn=+…++]=(1+)…(12分)18.(12分)“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q≤80时,为酒后驾车;当Q>80时,为醉酒驾车.某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动,共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内).(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取2人,求两人中恰有1人醉酒驾车的概率.【解答】解:(1)由已知得,(0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人.(2)利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人,酒后驾车6人,从8人中抽取2人,恰有1人为醉酒驾车为事件A,则基本事件总数为:n==28事件A包含的基本事件数为:m==12,所以两人中恰有1人醉酒驾车的概率P(A)=.19.(12分)△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知.(1)求∠B的大小;(2)若,且,求△ABC面积的最大值.【解答】解:(1)由正弦定理==,,因为sinC≠0,所以,又因为0<B<π,所以.(2)考虑△BMC,由余弦定理CM2=BM2+BC2﹣2BM•BC•cosB,即,,当且仅当BM=BC时等号成立,所以.20.(12分)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.(1)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;(2)求四棱锥F﹣ABCD的体积.【解答】(1)证明:设DF的中点为N,则,又,∴,∴MNAO为平行四边形∴OM∥AN,又AN⊂平面DAF,OM⊄平面DAF,∴OM∥平面DAF.(2)解:过点F作FG⊥AB于G,∵平面ABCD⊥平面ABEF,∴FG⊥平面ABCD,FG即正△OEF的高,∴,∴S△BCD=2,∴.21.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)求B点到平面PCD的距离.(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)在△PAD中PA=PD,O为AD中点,所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得OC⊥AD;所以以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.则P(0,0,1),A(0,﹣1,0),B(1,﹣1,0),C(1,0,0),D(0,1,0);所以,易证:OA⊥平面POC,所以,平面POC的法向量,所以PB与平面POC所成角的余弦值为….(4分)(2),设平面PDC的法向量为,则,取z=1得B点到平面PCD的距离….(8分)(3)假设存在,则设=λ(0<λ<1)因为=(0,1,﹣1),所以Q(0,λ,1﹣λ).设平面CAQ的法向量为=(a,b,c),则,所以取=(1﹣λ,λ﹣1,λ+1),平面CAD的法向量=(0,0,1),因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为,所以=,所以3λ2﹣10λ+3=0.所以λ=或λ=3(舍去),所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)22.(12分)如图,已知椭圆C:

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