2017-2018学年大庆高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案)-(新课标人教版)

2017-2018学年黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求）1．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法2．（5分）把38化为二进制数为（）A．100110（2） B．101010（2） C．110010（2） D．110100（2）3．（5分）若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．A、C都有可能4．（5分）已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A． B． C． D．5．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）6．（5分）对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：x24568y20406070m根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（）A．85.5 B．80 C．85 D．907．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，78．（5分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（）A．﹣1 B． C．2 D．19．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A． B． C． D．10．（5分）设命题p：x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0，命题q：lg（2x﹣1）≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A． B． C． D．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为．14．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于．15．（5分）从双曲线﹣=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点，设M为线段F1P的中点，O为原点坐标，则|MO|﹣|MT|=．16．（5分）下列说法正确的有①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④定义min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=log3a2n，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．18．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取2人，求两人中恰有1人醉酒驾车的概率．19．（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求∠B的大小；（2）若，且，求△ABC面积的最大值．20．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（2）求四棱锥F﹣ABCD的体积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

2017-2018学年大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大包括12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求）1．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．故选：D．2．（5分）把38化为二进制数为（）A．100110（2） B．101010（2） C．110010（2） D．110100（2）【解答】解：38÷2=19…019÷2=9…19÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故38（10）=100110（2）故选：A．3．（5分）若直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．A、C都有可能【解答】解：∵直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则=2，∴l⊥α．故选：B．4．（5分）已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵=（1，n，2），=（﹣2，1，2），∴2﹣=（4，2n﹣1，2），∵2﹣与垂直，∴（2﹣）•=0，∴﹣8+2n﹣1+4=0，解得，n=，∴=（1，，2）∴||==．故选：B．5．（5分）已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），故选：B．6．（5分）对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：x24568y20406070m根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（）A．85.5 B．80 C．85 D．90【解答】解：∵=5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，∴=54，∴55×4=20+40+60+70+m，∴m=80，故选：B．7．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3，故选：A．8．（5分）执行如图的程序框图，则输出的结果是（）A．﹣1 B． C．2 D．1【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2，i=1执行循环体，可得a=﹣1，i=2不满足条件i≥6，执行循环体，a=，i=3不满足条件i≥6，执行循环体，a=2，i=4不满足条件i≥6，执行循环体，a=﹣1，i=5不满足条件i≥6，执行循环体，a=，i=6满足条件i≥6，退出循环，输出a的值为．故选：B．9．（5分）若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为=，故选：C．10．（5分）设命题p：x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0，命题q：lg（2x﹣1）≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，得[x﹣（a+1）]（x﹣a）＜0，即a＜x＜a+1，即p：a＜x＜a+1，由lg（2x﹣1）≤1，得0＜2x﹣1≤10，解得：＜x≤，若p是q的充分不必要条件，则，解得：≤a≤，故选：A．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，即==﹣1∴离心率为﹣1．故选：A12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A． B． C． D．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为．【解答】解：根据题意，双曲线的焦距为8，即2c=8，则c=4，若点在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为y=x，又由双曲线的方程为，则有=，又由c=4，则a2+b2=c2=16，解可得a2=4，b2=12，则双曲线的方程为：故答案为：14．（5分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于．【解答】解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2．则A1（2，0，2），F）1，0，0），D1（0，0，2），E（0，2，1）则，，==，∴异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于，故答案为：．15．（5分）从双曲线﹣=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点，设M为线段F1P的中点，O为原点坐标，则|MO|﹣|MT|=1．【解答】解：设F'是双曲线的右焦点，连接PF'．∵M、O分别为FP、FF'的中点，∴|MO|=|PF'|．|FT|==5，由双曲线定义得，|PF|﹣|PF'|=8，故|MO|﹣|MT|=|PF'|﹣|MF|+|FT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=﹣4+5=1．故答案为：1．16．（5分）下列说法正确的有①②③④①函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要条件；④定义min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，则f（x）的最大值为．【解答】解：对于①，∵，∴函数f（x）=4cos（2x+）的一个对称中心为（﹣，0），故正确；对于②，∵===4，故正确；对于③，在△ABC中，A＜B⇒0＜sinA＜sinB⇒1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B⇒cos2A＞cos2B，反之也成立，故正确；对于④，∵f（x）=min{sinx，cosx}=，则f（x）的最大值为，故正确．故答案为：①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令cn=log3a2n，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．【解答】解：（1）∵an+1=2Sn+1，n∈N∗，n≥2时，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．∴数列{an}是等比数列，∴an=3n﹣1．…．（6分）（2）c=log3a2n==2n﹣1．bn===（），数列{bn}的前n项和Tn=+…++]=（1+）…（12分）18．（12分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取2人，求两人中恰有1人醉酒驾车的概率．【解答】解：（1）由已知得，（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．（2）利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，酒后驾车6人，从8人中抽取2人，恰有1人为醉酒驾车为事件A，则基本事件总数为：n==28事件A包含的基本事件数为：m==12，所以两人中恰有1人醉酒驾车的概率P（A）=．19．（12分）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．（1）求∠B的大小；（2）若，且，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理==，，因为sinC≠0，所以，又因为0＜B＜π，所以．（2）考虑△BMC，由余弦定理CM2=BM2+BC2﹣2BM•BC•cosB，即，，当且仅当BM=BC时等号成立，所以．20．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；（2）求四棱锥F﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：设DF的中点为N，则，又，∴，∴MNAO为平行四边形∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF．（2）解：过点F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高，∴，∴S△BCD=2，∴．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易证：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB与平面POC所成角的余弦值为…．（4分）（2），设平面PDC的法向量为，则，取z=1得B点到平面PCD的距离…．（8分）（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）如图，已知椭圆C：