2017-2018学年白银市景泰县高二上期末数学试卷(理)(含答案)

2017-2018学年甘肃省白银市景泰县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}2．（5分）已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，其中正确的是（）A．￢p：∃x∈R，使tanx≠1 B．￢p：∃x∉R，使tanx≠1C．￢p：∀x∉R，使tanx≠1 D．￢p：∀x∈R，使tanx≠13．（5分）对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1） B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0） D．开口向右，焦点为4．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）有下列四个命题：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．①② B．②③ C．④ D．①②③6．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B． C．2 D．17．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x8．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．9．（5分）已知数列{an}中，a1=2，an=﹣（n≥2），则a2010等于（）A．﹣ B． C．2 D．﹣210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A． B． C． D．11．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A． B． C． D．12．（5分）P是双曲线﹣=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上）13．（5分）若x，y∈（0，+∞），且x+4y=1，则+的最小值为．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=3，则k=．16．（5分）若椭圆C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），与直线L：x+y+1=0交于A、B两点，过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则=．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：c2＜c，和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．18．（12分）已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e=，且双曲线过点P（2，3）．求双曲线E的方程．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，cosB=﹣．（1）求C；（2）若c=5，求△ABC的面积．20．（12分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣n+1（n∈N*），数列{an}的前n项和为Sn．（1）证明：数列{an﹣n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求Sn．21．（12分）在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

2017-2018学年甘肃省白银市景泰县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．2．（5分）已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，其中正确的是（）A．￢p：∃x∈R，使tanx≠1 B．￢p：∃x∉R，使tanx≠1C．￢p：∀x∉R，使tanx≠1 D．￢p：∀x∈R，使tanx≠1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x∈R，使tanx=1，￢p：∀x∈R，使tanx≠1．故选：D．3．（5分）对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1） B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0） D．开口向右，焦点为【解答】解：∵a=4＞0，∴图象开口向上，焦点为．故选B．4．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．故选C．5．（5分）有下列四个命题：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．①② B．②③ C．④ D．①②③【解答】解：①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是：①“若x，y互为倒数，则xy=1”是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，故②正确；③若x2﹣2x+m=0有实数解，则△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，∴若m≤1⇔则x2﹣2x+m=0有实数解”是真命题，故“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实数解”的逆否命题是：“若x2﹣2x+m=0没有有实数解，则m＞1”是真命题，故③正确；④若A∩B=B，则A⊇B，故原命题错误，∴若A∩B=B，则A⊂B”的逆否命题是错误，故④错误；故选：D．6．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B． C．2 D．1【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．8．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．【解答】解：如图先将F1D平移到AF，再平移到E1E，∠EE1B为BE1与DF1所成的角设边长为4则，E1E=E1B=，BE=2cos∠EE1B=，故选A9．（5分）已知数列{an}中，a1=2，an=﹣（n≥2），则a2010等于（）A．﹣ B． C．2 D．﹣2【解答】解：数列{an}中，a1=2，an=﹣（n≥2），则a2=﹣=﹣，a3=﹣=2，a4=﹣=﹣，a5=﹣=2，…，则数列{an}为最小正周期为4的数列，则a2010=a4×502+2=a2=﹣，故选A．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A． B． C． D．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=3，y1y2=﹣．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×|y1﹣y2|==×=．故选：D．11．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A． B． C． D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．12．（5分）P是双曲线﹣=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：双曲线﹣=1中，如图：∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|=6+1+2=9．故选D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横线上）13．（5分）若x，y∈（0，+∞），且x+4y=1，则+的最小值为9．【解答】解：x，y∈（0，+∞），且x+4y=1，则+=（x+4y）（+）=1+4++≥5+2=9，当且仅当x=2y=时，等号成立，则+的最小值为9．故答案为：9．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，3]．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大为z=3﹣0=3，由图象可知当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即B（1，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=1﹣4=﹣3，故﹣3≤z≤3，故答案为：[﹣3，3]．15．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=3，则k=．【解答】解：过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BC⊥AM，垂足为C，设||=m，||=3m，则由抛物线的定义得|AM|=3m，|BN|=m，∴||=4m，||=2m，∴∠BAC=60°，于是直线l的倾斜角为60°，斜率k=故答案为：．16．（5分）若椭圆C：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），与直线L：x+y+1=0交于A、B两点，过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则=．【解答】解：由直线x+y+1=0，可得y=﹣x﹣1代入mx2+ny2=1得：（m+n）x2+2nx+n+1=0，设A、B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则有：x1+x2=，y1+y2=﹣1﹣x1﹣1﹣x2=﹣2﹣（x1+x2）=，∴M的坐标为：（，），∴0M的斜率k==故答案为：．三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：c2＜c，和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：由不等式c2＜c，得0＜c＜1，即命题P：0＜c＜1，∴命题￢P：c≤0或c≥1，…（3分）又由（4c）2﹣4＜0，得﹣，得命题q：﹣，∴命题￢q：c或c，…（6分）∵p∨q为真，p∧q为假，∴由题知：p和q必有一个为真一个为假．…（8分）当p真q假时：，当q真p假时：﹣．…（10分）综上：﹣或，故c的取值范围是（﹣，0]∪[，1）．…（12分）．18．（12分）已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e=，且双曲线过点P（2，3）．求双曲线E的方程．【解答】解：由双曲线离心率e=，，则，当焦点在y轴时，设双曲线的方程为﹣=λ代入点P（2，3），解得，λ=，故双曲线的方程为﹣=1，当焦点在x轴时，设双曲线的方程为﹣=λ，代入点P（2，3），解得，λ=﹣7，舍．故双曲线的方程为：﹣=1．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，cosB=﹣．（1）求C；（2）若c=5，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为10分）解：（1）∵cosA=，∴sinA=，（1分）∵cosB=﹣．∴sinB=．（2分）故cosC=﹣cos（A+B）=sinAsinB﹣cosAcosB=，（4分）故C=．（5分）（2）∵，（6分）∴可解得a=3．（7分）故S=acsinB=．（10分）20．（12分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣n+1（n∈N*），数列{an}的前n项和为Sn．（1）证明：数列{an﹣n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求Sn．【解答】解：（1）证明：a1=2，an+1=2an﹣n+1，可得an+1﹣（n+1）=2an﹣2n=2（an﹣n），即有数列{an﹣n}是首项为1，公比为2的等比数列；且有an﹣n=2n﹣1，即为an=n+2n﹣1；（2）Sn=（1+2+…+n）+（1+2+…+2n﹣1）=n（n+1）+=n（n+1）+2n﹣1．21．（12分）在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面VAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，∴AB⊥面VAD（2）取VD中点E，连接AE，BE，∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE=AD，∵AB⊥面VAD，AE，VD⊂平面VAD，∴AB⊥VD，AB⊥AE，∴AE⊥VD，AB⊥VD，∵AB∩AE=A，且AB，AE⊂平面ABE，∴VD⊥平面ABE，∵BE⊂平面ABE，∴BE⊥VD，∴∠AEB即为所求的二面角的平面角．在RT△ABE中，tan∠AEB==，∴cos∠AEB=．∴面VAD与面VDB所成的二面角的余