高数知识点总结

高数知识点总结（下册）——北雁友情提供向量代数与空间解析几何空间直角坐标系 卦限：三个坐标面把空间分成八部分，每一部分即为一个卦限（上下同为逆时针）。 空间两点间的距离：向量代数 向量概念（略）。向量的表示法几何表示法（有向线段） 向量相等：模相等、彼此平行且指向相同 逆向量：与向量a大小相等而方向相反的向量称为a的逆向量 单位向量：模为1 零向量：模为0，记为，零向量方向不定，也可以说任意向量的加、减法与数的乘法 向量加法规则 平行四边形法则：两向量、的和是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线，即向量，记为=+(如右图) 三角形法则：（见图如右侧）向量加法运算规律 （1）a+b=b+a (2)(a+b)+c=a+(b+c) （3）a+0=a (4)a+(-a)=0向量减法（即向量加法的逆运算） 数与向量的乘积：数量与向量a的乘积是一个向量，记为a a的模等于|a|与||的乘积，即|a|=|||a| a的方向：当>0时，与a同向；当<0时，与a反向；=0时，它是零向量。数量与向量的乘积规律 （1）(a)=()a (2)(+)a=a+a(对数量分配率) （3）(a+b)=a+b(对向量分配率) 单位向量：把与a同向，模为1的向量叫做a的单位向量，记为 显然有=或 a=|a|向量在轴上的投影（见书）向量的坐标表示 向量的模 方向余弦： 其中把、、叫做向量的方 向余弦 ++=1（任何向量的方向余弦的平方和恒等于1） a的方向余弦，就是的坐标，即 ={，，}方向数：与方向余弦成比例的一组实数l，m，n，即（向量的方向数不是唯一的）向量的数量积定义：两个非零向量a，b的数量积等于两个向量的模和它们间夹角余弦的乘积，记为，即（0） |b|cos（a，b）就是向量b在向量a的方向上的投影零向量与任何向量的数量积为0数量积运算规律（1）ab=ba (2)a(b+c)=ab+ac（3）(ab）=(a)b=a(b)推论：（1）aa= (2)a,b向量垂直ab=0结论：两个非零向量a与b互相垂直的充要条件是ab=0数量积的坐标表达式(1)ab=(2)两向量互相垂直的充要条件是两向量的向量积定义：两向量a与b的向量积食一个向量c，记为c=abC的模C的方向垂直于a和b，即c垂直于a与b决定的平面向量积运算规律(见书17页)（1）a×b=-b×a 结论：两个非零向量a与b互相平行的充要条件是a×b=0推论：i×i=0j×j=0k×k=0向量积的坐标表示两向量平行条件坐标表达式平面及其方程曲面方程概念（见书21页）平面的点法式方程：（设为平面的任意一点，向量n={A,B,C}为平面的一个法线向量）平面的一般式方程：（其中A,B,C不同时为零）重要结论：平面方程中，如缺x,y,z中的某一项，平面就平行或通过（D=0）某个轴，如缺其中两项，则平面就平行或重合（D=0）与那两项所决定的坐标平面平面的截距式方程：两平面的夹角及平面平行、垂直条件 两平面的夹角公式：两平面法线向量分别为, 两平面垂直的充要条件： 两平面平行的充要条件：空间直线及其方程 直线参量式方程：设有一点及一个已知向量（l,m,n不全为零） 直线的标准式方程：（条件同参量式方程） 直线的一般式方程：（直线为两平面交线）空间两直线的夹角及直线平行、垂直条件 两向量夹角余弦公式： 两直线垂直的充要条件： 两直线平行的充要条件：直线与平面的夹角及平行、垂直条件 直线L标准式方程： 平面的方程为： 直线与平面夹角的正弦为： 直线与平面垂直的充要条件： 直线与平面平行的充要条件：多元函数微分学 二元函数的定义见书59页（点函数的概念同上） 二元函数定义域见书61页（几何定义，极限） 二元函数的连续性 定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果当点趋于点时，函数的极限等于在点处的函数值即，称函数在点处连续 表示形式二： 全增量 定义二：设函数在点的某一邻域内有定义，若，则称函数在点处连续最大值与最小值定理 若函数在有界闭域D上连续，则在D上一定取得最大值和最小值，即如下结论 （1）在D上至少存在一点，恒有 （2）在D上至少存在一点，恒有介值定理：若函数在有界闭域D上连续，则在D上必取得介于函数最大值M和最小值m之间的任何值 多元初等函数在其定义域（是指包含在定义域内的区域）内是连续的偏导函数概念（见书69页）（几何意义）高阶偏导数 定理：如果函数在域D上二阶混合偏导数，连续，则在该区域上必有=。 全微分及其应用 全微分概念（见书79页） 定理：如果在点处可微，则它在点处连续 定理：如果函数在点处可微，则在该点处的两个偏导数存在，并且, 全微分计算公式：或 定理：设在点的某邻域内偏导数、存在，且、连续，则函数在点处可微 推论：偏导数连续，函数一定可微：函数可微，偏导数一定存在 函数可微，函数一定连续复合函数的微分法 定理：设函数，在点处有偏导数，而函数在对应点（u，v）处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数和，且（多元复合函数偏导数的基本公式） z、u、v这三个函数都是x的一元函数，故对x的导数写成..全微分形式不变性dz=du+dv(一阶全微分的形式不变性)全微分的运算公式d(u±v)=du±dvd(u*v)=udv+vdud()=(v≠0)复合函数的高阶偏导数（见书95页）隐函数微分方法将y=f（x）带入F（x,y）=0，于是有恒等式F[x,f(x)]=0，其左端可以看成x的复合函数，两端对x求导，得Fx+Fy=0.如果Fy≠0则有=-（由方程F（x,y）=0所确定的隐函数y=f(x)求导公式）由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数的公式 将z=f(x,y)带入方程F(x,y,z)=0于是得恒等式F[x,y,f(x,y)]=0左端可以看做是x,y的复合函数，上式两端分别对x和y求偏导得Fx+Fz=0,Fy+Fz=0若Fz≠0,解出，得，多元函数微分方法在几何上的应用空间曲线的切线与法平面（见书103页）曲线L在点M处的切线方程曲线L在点M的法平面方程x(t)(x-x)+y(t)(y-y)+z(t)(z-z)=0空间曲线的切平面与法线 曲面S在点M处的切平面方程：多元函数的极值设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，若对于该邻域呢异于点的任何点P(x,y)恒有f(x,y)<f(x,y)（或f(x,y)>f(x,y)）则称点为函数f(x,y)的极大值点(或极小值点)定理：设函数z=(x,y)在点(x,y)处去得极值，且在该点的偏导数存在，则函数在该点的两个偏导数必为零即，（极值点的必要条件）驻点：使，同时成立的点称为函数f(x,y)的驻点推论：在偏导数存在的条件下函数的极值点必是驻点(驻点不一定是极值点)定理：设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，假定点是函数的一个驻点即，记则有如下结论：(1),当A<0时，为极大值点，为极大值；当A>0是为极小值点，为极小值。(2),不是极值。(3),可能是极值，也可能不是极值。多元函数的最大、最小值问题（113页）条件极值与拉格朗日乘数法重积分二重积分的定义（见书126页） 注意： 二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数及积分区域D有关，而与积分变量的记号无关 二重积分存在定理：如果函数在闭域D上连续，则函数在D上可积，即二重积分存在二重积分的几何意义： 如果函数0，则二重积分在数值上等于以函数z=所确定的曲面为顶，以积分域D为底的曲顶柱体的体积。二重积分的性质 性质一、函数和（或差）的二重积分等于多个函数的二重积分的和（或差），即 性质二、被积函数的常数因子，可以提到二重积分号的外面，即 性质三、如果积分区域D分为两个区域D1和D2，即D=D1+D2，则 性质四、如果在D上，，则， 性质五、如果在D上， 由性质五得到结论： 性质六、（估值定理）设M和m分别为在闭域D上的最大值和最小值，则，其中为积分域D的面积 性质七、（二重积分中值定理）如果在闭域D上连续，是区域D的面积，则在D上至少存在一点（）使得下式成立二重积分的计算 二重积分在直角坐标系下的计算方法 基本原则：（1）画出积分区域D的图形（详见书133） （2）找x，y的下限累次积分方法 （3）求值（套用公式） 注意：二重积分化为二次积分时，二次积分的上限必须大于下限二重积分在极坐标系下的计算方法二重积分在极坐标系下的表达式 二重积分化为在极坐标系下的要点是： （1）将被积函数中的x，y换成， （2）面积元素换成极坐标系下的表达式 1、极点O在积分域D外部的情况 2、极点O在积分域D内的情况 三重积分的概念与在直角坐标系下的计算法（待续）在柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算法（待续）重积分的应用（待续）曲线积分（出大题）概念（175页） 对弧长的曲线积分——————第一类曲线积分 或即 若B与A重合，这是记为对弧长曲线积分的简单性质 （1） （2） （3）若积分路径L上是由m段弧L1，L2，,……lm组成，则 （4）改变积分路径的方向，对弧长的曲线积分值不变，即 结论：对弧长的曲线积分与积分路径方向无关 若x=g(y),(),则 若，则对弧长曲线积分的计算 1、平面曲线L由参量方程给出 若上具有一阶连续导数，且，又f(x,y)在L上连续，则有 2、平面曲线L由方程y=y(x)给出 设L:y=y(x),(),其中y(x)在就[a,b]上有一阶连续导数，f(x,y)在L上连续，则有对坐标的曲线积分（定义181页） ……第二类曲线积分（组合曲线积分） 注意：对坐标的曲线积分必须规定积分弧段的指向为表明积分的起止点，有时记为 曲线L也可以是封闭曲线，即起点与重点重合（沿闭路的曲线积分） 对坐标的曲线积分常分成向量的形式，设F=P(x,y)i+Q(x,y)j,ds=dxi+dyj于是对坐标曲线积分的性质 （1） （2）改变积分路径的方向，积分值要改变符号，即 或 （3）设L是由有向曲线弧L1和弧L2组成，则有（曲线分段） 对坐标曲线积分的计算 1、设曲线L由参数方程给出，L：，具有一阶连续导数，t=a对L的起点，t=b对L的终点，当t由a变到b时，曲线上的对应点恰好画出曲线L，函数P(x,,y),Q(x,y)在L上连续，则有（坐标曲线积分计算公式） 2、设曲线L以方程y=f(x)给出 格林公式 平面曲线积分与路径无关的条件 定理：设P(x,y),Q(x,y)在单连通域D1内及其边界L上具有连续的一阶偏导数，则 （L取正向）平面曲线积分与路径无关的条件 定义：设函数P(x,y),Q(x,y)在区域D内具有连续的一阶偏导数如果对于D内任意指定的两点A，B以及D内任意两条曲线等式恒成立，则除曲线积分在D内与路径无关，反则…… 结论：如果曲线积分与路径无关，即由曲线积分性质得，上式可化为 重要结论：曲线积分在D1内与路径无关等价于沿D内任意闭曲线C得曲线积分 定理：设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数，则在D内曲线积分与路径无关的充要条件是等式在D内恒成立无穷级数无穷级数的概念（见书202页）等比级数（几何级数） 结论：等比级数当公比q的绝对值|q|<1时，收敛；时发散无穷级数的基本性质 性质一、如果级数收敛，其和为S，k为常数，则级数也收敛，其和为kS性质二、收敛级数也可以逐项相加或逐项相减，也就是说，设有两个收敛级数，，则级数也收敛，其和为 性质三、在级数前加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性，只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的和。级数收敛的必要条件 如果级数收敛，则 注意：如果，级数可能收敛，也可能发散正向级数 概念：如果，则称级数为正向级数 正向级数收敛的必要条件：它的前n项和数列有上界正向级数收敛性的判别法： 1、比较判别法 设 ①， ②为两个正向级数，则有： （1）如果级数②收敛，且，则级数①也收敛 （2）如果级数②发散，且，则级数①也发散比较判别法的极限形式 设与是两个正向级数，如果，则级数与同时收敛或同时发散比值判别法（达朗贝尔判别法） 设正向级数， ③ 其中，如果其后项与前项之比的极限存在，即，则 （1）当q<1时，级数③收敛 （2）当q>1时，级数③发散 （3）当q=1时，级数③可能收敛也可能发散根值判别法（柯西判别法） 如果正向级数通项的n次方根的极限存在，即，则 （1）当q<1时，级数收敛 （2）当q>1时，级数发散（3）当q=1时，级数可能收敛也可能发散要判定一个正向级数是否收敛，通常按下列步骤进行 （1）用级数收敛的必要条件：如果，则级数发散，否则进一步…… （2）用比值判别法(有时也用根值判别法) 如果，则比值判别法失效，则改用比较判别法 （3）用比较判别法 掌握一些敛散性已知的函数，如等比级数，P-级数等交错级数 ① 交错级数收敛性的判别法（莱布尼茨定理） 如果交错级数①满足条件（1），（2），则级数①收敛，其和，其余项的绝对值||绝对收敛与条件收敛②为任意项级数，其各项取绝对值，则得到正向级数③ 定理：如果级数③收敛，则级数②也收敛 定义：如果级数收敛，则称级数为绝对收敛级数 如果级数收敛，而级数发散，则称级数为条件收敛级数 注意：对于任意级数，如果收敛，则绝对收敛；但当发散时，只能判定非绝对收敛，却不能判定它必发散。但如果用比值法判定发散，则级数也发散 定理：如果任意项级数满足条件，则 （1）当q<1时，级数绝对收敛 （2）当q>1时，级数发散幂级数函数项级数的一半概念（见书226页）幂级数及其收敛性（见书227页）正向级数：，记当n充分大时，，且，则，于是 当时，有下列两种情况 如果，则级数③绝对收敛 如果，则级数③发散。推论：只要是个不为0的正数，就会有一个以原点为中心的对称区间,在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，当时，幂级数可能收敛也可能发散，称，为幂级数③的收敛半径。 当=0时，|x|=0<1，级数③对于一切实数x都绝对收敛，这时规定收敛半径 如果幂级数③仅在x=0一点处收敛，则规定收敛半径R=0 定理：如果幂级数③的系数满足则 （1）当0<<+时， （2）当=0时， （3）当，R=0幂级数的收敛区间 定义：设幂级数③的收敛半径为R，且0<R<+，如果幂级数③在x=R处级数收敛，而在x=-R处级数发散，则幂级数③在区间（-R,R]上收敛，这个区间（-R,R]称为幂级数③的收敛区间。 推论：幂级数③的收敛区间为[-R,R),或（-R,R），或[-R,R]，如果幂级数③的收敛半径R=+，则它的收敛区间为（-，+），如果幂级数③的收敛半径R=0，则收敛区间化为一点x=0.幂级数的性质: 性质一、设二幂级数分别在，内绝对收敛，其中R1>0,R2>0,有对于这两个幂级数，可进行下列运算 （1）加法： （2）减法： （3）乘法： 性质二、设幂级数，其收敛半径R>0，则幂级数的和函数f(x)在(-R,R)内是连续的 性质三、设幂级数，其收敛半径为R，则在区间(-R,R)内这个级数可以逐项求导，即 性质四、设幂级数，其收敛半径为R，则在区间(-R,R)，内的任何闭区间上这个级数可逐项积分，即当-R<x<R是，有，即，且收敛半径为R函数展开成幂级数 泰勒级数（见书235页） 函数展开成幂级数:(直接展开法和间接展开法)直接展开法： 把f(x)展开成x的幂级数,如下步骤（最基本方法） （1）求出f(x)的各阶导数 （2）计算f(x)及其导数在点x=0处的值， （3）写成幂级数，并求出它的收敛区间 （4）考察当x在收敛区间内时余项的极限是否为零，如果为零，则由式（3）所求得的幂级数就是f(x)的幂级数的展开式。 类似得到下述函数的x的幂级数展开式 （1） （-1,1） （2）当m为实数时它的收敛半径R=1，在x=1处，展开式是否成立，要据m的数值看右端级数是否收敛而决定，（-1,1）当m=-1，时间接展开法 （1）变量置换法（对已知的级数进行变量置换而得所需幂级数展开式） （2）逐项求导法： 首先找出所给函数是哪个已知级数的和函数的导数，然后利用 逐项求导公式（幂级数的性质三）得到所需要的幂级数展开式 （3）逐项积分法：函数的幂级数展开式的应用（见书241页）；欧拉公式（见书242页）微分方程概念：含有未知函数的导数或微分的方程微分方程的阶：微分方程中的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解：若将某个函数代入微分方程，能使方程两端相等，则称这个函数为该微分方程的解通解：如果微分方程中的解中含有任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解微分方程的初始条件：用来确定通解中任意常熟的条件叫做定解条件，若给出t=0时的条件，则为初始条件（）特解：有初始条件确定了通解中的任意常数后所得到的解一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 若能解出，则方程=f(x,y)称为导数已解出的一阶微分方程 一阶微分方程对称形式可分离变量的微分方程 若一阶微分方程可化为g(y)dy=f(x)dx的形式，则原方程称为可分离变量的微分方程 若g(y),f(x)都是连续函数，设G(y),F(x)分别为g(y),f(x)的一个原函数，则对方程（2）两端积分得，即G(y)=F(x)+C(3) 由式（3）所确定的隐函数y=y(x)就是方程（2）的通解 注意：在解微分方程时，若得到一个含有对数的等式，为了利用对数的性质将结果进一步花间，可将任意常数C写成的形式，k的值可根据实际情况来确定齐次方程 如果一阶微分方程中的函数f(x,y)可化为的函数，即，称这种方程为齐次方程。齐次方程通解的求法： （1）将所给方程化为式（4） （2）令，则，代入方程（4）,得到可分离变量的方程 （3）分离变量后两端积分得，求出积分后，再用代替u，便得齐次方程通解一阶线性微分方程 方程(6)称为一阶线性微分方程（其中p(x),Q(x)都是已知的连续函数，这里方程中的未知函数y及导数都是一次的，Q(x)称为自由项） 若方程（6）变为（7）称为一阶线性齐次微分方程 若，则称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程通解的求法如下 （1）先求一阶线性齐次方程（7）的通解，将方程（7）分离变量，得，两端积分，的方程（7）的通解为 （2）利用常数变量法球一阶线性非齐次微分方程（6）的通解（通解）（参考过程详见书270页）可降解的高阶微分方程 型微分方程 这类微分方程的右端仅含有自变量x，因此，只要连续积分n次，即可得到方程的含有n个任意常数的通解 型微分方程 这类微分方程不显含未知函数y，只需设，则从而将所给方程化为一阶微分方程 型微分方程（这类方程不显含自变量x） 设且把看做y的函数，则有从而将所给方程化为一阶微分方程二阶线性微分方程解的结构 微分方程（1）称为二阶线性微分方程，其中P(x),Q(x),f(x)都是连续函数 当时，方程（1）称为二阶线性非齐次微分方程 当时，方程（2）称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程解的结构 定理：如果是方程（2）的两个解，则也是方程（2）的解，其中C1，C2是任意常数 结论：线性齐次微分方程的解具有叠加性 当是方程（2）的解时，是方程（2）的解，但不一定是方程（2）的通解 定义：设是定义