高考文科数列知识点总结　

高考文科数列知识点总结数列知识点一(考纲要求要求层次内容4ABC数列的概念数列的概念和表示法?等差数列的概念?数列等比数列的概念?等差数列、等比数列等差数列的通项公式与前项和公式?n等比数列的通项公式与前项和公式?n二(知识点(一)数列的该概念和表示法、(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项a记作，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，„„，na序号为的项叫第项(也叫通项)记作;nnnaaaa数列的一般形式:，，，„„，，„„，简记作。a,,3n12n{a}(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那n么这个公式就叫这个数列的通项公式aa说明:?表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式;nafn,,，，nnn?同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。?不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，„„(3)数列的函数特征与图象表示:序号:123456项:456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集N的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集(或它的有限子集)的，函数fn()当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值nafff(1),(2),(3),fn()„„，，„„(通常用来代替，其图象是一群孤立fn，，n的点(4)数列分类:?按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;?按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列a(5)递推公式定义:如果已知数列的第1项(或前几项)，且任一项与它的前一项a,,nna(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的n,1递推公式(二)等差数列a,a,d(为常数)();1.等差数列的定义:dn,2nn,12(等差数列通项公式:*aa，首项:，公差:d，末项:aanddnadnN,，,,，,,(1)()1nn11a,anma,a，(n,m)d推广:(从而d,;nmn,m3(等差中项a，bAA(1)如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项(即:或aaA,bb2A,a，b2,,a,2a,a，a(n,2),2a,a，a(2)等差中项:数列是等差数列nnn-1n，1n，1nn，24(等差数列的前n项和公式:naa()，nn(1),d1221n,，AnBn,，nadS,,，,nadn()1n12222(其中A、B是常数，所以当d?0时，S是关于n的二次式且常数项为0)na特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项21n，n，121naa，，，，，，121n，Sna,,，21(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数，，211nn，，2乘以中间项)5(等差数列的判定方法,,,a,a,da,a,da(1)定义法:若或(常数),是等差数列(n,Nnn,1n，1nn,,a,2a,a，a(n,2),2a,a，a(2)等差中项:数列是等差数列(nnn-1n，1n，1nn，2,,aa,kn，b(3)数列是等差数列,(其中是常数)。k,bnn2,,a,(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。SAnBn,，nn6(等差数列的证明方法,,,a,a,da,a,da,定义法:若或(常数)是等差数列(n,Nnn,1n，1nn7.等差数列的性质:(1)当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函naanddnad,，,,，,(1)d,0n11nndd(1),2数，且斜率为公差;前n和是关于n的二次dSnadnan,，,，,()n11222函数且常数项为0.(2)若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，d,0d,0d,0则为常数列。(3)当时,则有，特别地，当时，则有mnp，,2a，a,a，amnpq，,，mnpq.aaa，,2mnp(4)若、为等差数列，则都为等差数列ab,,,abab，，，,,,,,,,,nnnnn12aSSSSS,,,,(5)若{}是等差数列，则，„也成等差数列nnnnnn232*{}aaaaa,,,,,,,(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数,Nnmmkmkmk，，，23列,,SaS)设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是(7Snn奇偶前n项的和1.当项数为偶数时，2nnaa，，，121n,Saaaana,，，，,,,，,,13521nn,奇2naa，，，22nSaaaana,，，，,,,，,,，24621nn偶2SSnananaand,,,,,=，，nnnn，，11偶奇Snaa奇nn,,Snaann，，11偶2、当项数为奇数时，则2n，1,SSSnaSna(21)(1),，,，,，,Sn，1,,21n，n+1n+1奇偶奇奇,,,,,SSaSna,,,Snn+1n+1奇偶偶,偶,,,a(其中是项数为2n+1的等差数列的中间项)(n+1{}aSn,Sm,(8)等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和Smn,,，，，nmnmn，S(9)求的最值n法一:因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要*注意数列的特殊性。nN,法二:(1)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和na,0,nSa,0，d,0，即当由可得达到最大值时的值(n,n1a,0n，1,(2)“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。na,0,nSa,0，d,0，即当由可得达到最小值时的n值(,n1a,0n，1,,,a或求中正负分界项n法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，nS故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值(或最小值)。若S=S则其对称轴pqnpq，为n,2(三)等比数列a*nq1.等比数列的定义:,,,,02,且，称为公比qqnnN，，，，a,n12.通项公式:annn,11,,,,,,,,0,0aqaaqqABaqAB，首项:;公比:，，1n11qaanm,nm,nn,nm推广:，从而得q,或,qaaq,nmaamm3.等比中项2AAab,,(1)如果成等比数列，那么叫做与的等差中项(即:或aAb,,aAab,b注意:同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)2,,a(2)数列,是等比数列aaa,,n,，nnn11S4.等比数列的前n项和公式:nSna,(1)当时，q,1n1naq1,，，aaq,11n(2)当时，q,1S,,n11,,qq5.等比数列的判定方法an，1{}a,,,或为常数，(0),(1)用定义:对任意的n,都有aqaqqa为等比数nnnn，1an列2aa{}a,,(2)等比中项:(0)为等比数列aaa,nn，,11n，,nnn11n{}a,(3)通项公式:为等比数列aABAB,,,,0，，nnnn{}a,(4)前n项和公式:为SAABSABAABAB,,,,,或为常数'',,','，，nnn等比数列6.等比数列的证明方法a*n{}aaqa,,,,,02,且,qqnnN依据定义:若或为等比数列，，，，nnn，1a,n17.等比数列的性质(1)当时q,1annn,11,,,,,,0aaqqABAB?等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数，，n1qq函数，底数为公比nnaq1,，，aaqaa,1nnn1111?前n项和，系数和SqAABABA,,,,,,,,''n1111,,,,qqqqq常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比*nm,,{}a(2)对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到Naaq,nnm等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。*aaaa,,,(3)若m+n=s+t(m,n,s,t),则.特别的,当n+m=2k时,得,Nnmst2aaa,,nmkaaaaaa,,,,,,,注:12132nnn,,akkn{}a{}b{}ka,{}kab,,{}{}(4)列,为等比数列,则数列,,,(k为非零{}annnnnnbann常数)均为等比数列.*{}aaaaa,,,,,,,(5)数列为等比数列,每隔k(k,)项取出一项()仍为Nnmmkmkmk，，，23等比数列{}a{log}a(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列nan{}aSSS,SS,,,,,(7)若为等比数列,则数列，，，成等比数列nn2nn32nn{}aaaa,,,,,,aaa,,,,,,(8)若为等比数列,则数列,,n12nnnn，，122aaa,,,,,,,成等比数列21223nnn，，(9)?当q,