2023年高考全国乙卷数学(文)真题（解析版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

文科数学

一、选择题

/2+%叶（）

A.1B.2C.石D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由题意首先化简2+i2+2『，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+y+2i3=2—l-2i=l-2i，

则|2+12+尔卜|1-24=#+（一2）2=6

故选：C.

2.设全集U={0,1,2,4,68},集合M={O,4,6},N={（）,1,6},则M=q,N=（）

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得为N的值，然后计算Muq.N即可.

【详解】由题意可得Q,,N={2,4,8},则MUQ.,，N={0,2,4,6,8}.

故选:A.

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面

积为（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其

表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体ABC。—44GA中，AB=BC=2,M=3,

点”,/,J,K为所在棱上靠近点片,£,R,A的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体ABCD—ABCD去掉长方体ON/G-LMH片之后所

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：2x（2x2）+4x（2x3）-2x（1x1）=30.

故选：D.

4.在.ABC中，内角AB,C的对边分别是若acosB—反osA=c,且。=（,则

NB=（）

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得NA的值,

最后利用三角形内角和定理可得NA的值.

［详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin（A+8）=sinAcos8+sinBcosA,

整理可得sinBcosA=0,由于8£（0,兀），故sinB>0,

据此可得cosA=0,A='，

c

乙

则B=n—A—C=Tt—---=—.

2510

故选：c.

rpA

5.已知=是偶函数，则()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为/(同二手:为偶函数，则

e<—1

(fie—xFe'

-x)=---------——-——=--------------=0，

」'='7e'"-le-av-leav-1

又因为x不恒为0,可得/一/1)"=0,即/二小心，

则x=(a—l)x,即1=。一1,解得a=2.

故选：D.

6.正方形ABC力的边长是2,石是A3的中点，则EC.EO=()

A.旧B.3C.26D.5

【答案】B

【解析】

［分析】方法一：以｛A8,八。｝为基底向量表示EC,ED，再结合数量积的运算律运算求解；

方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/OEC，进而

根据数量积的定义运算求解.

uunuuinuunuum

【详解】方法一：以｛A氏A。｝为基底向量，可知AB=AD=2,A8AO=0,

ummrumiHIDUUVuunuiruuniuimuun

则EC=E3+4C=-A3+4O,EO=E4+AO=-—AB+AD,

22

umuinn(iummini\(iuunuun\imn,uun、

所以ECEO=一A8+AO•--AB+AD=一一AB+AO=-1+4=3：

[2)I2)4

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

/、z、,、UUUULUI

则七(1,0),C(2,2),力(0,2),可得£C=(1,2),EO=(—1,2),

uuuuim

所以EC-ED=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=6CD=2,

nr2+CF1-DC25+5-4_3

在乙CDE中，由余弦定理可得cos/OEC二一

2DECE2x石x石5

uunmminmuiinuuna3

所以ECEO=ECEDcosZDFC=V5xV5x-=3.

7.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（兀），）|1工/+）/44｝内随机取一点4,则直

线OA的倾斜角不大于:的概率为（）

4

11八11

A.—B.-C.-D.—

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.

【详解】因为区域｛（乂力1（戈2+）,2《4｝表示以。（0,0）圆心，外圆半径R=2,内圆半

径/=1的圆环,

7T

则直线。4的倾斜角不大于一的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角

4

兀

4MoN=—，

4

?兀

结合对称性可得所求概率4_1・

2兀4

故选：C.

8.函数/(月=/+火+2存在3个零点，则。的取值范围是()

A.(e,-2)B.(^0,-3)C.(T,T)D.

(-3,0)

【答案】B

【解析】

【分析】写出/'(幻=3/+〃，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【详解】/(x)=x3+OV+2,Mf\x)=3x2+a,

若要存在3个零点,则要存在极大值和极小值，则〃<0,

令/（元）=3尤2+〃=0,

故选：B.

9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则

甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()

【答案】A

【解析】

分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率.

【详解】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6x6=36种，

若甲、乙抽到的主题不同，则共有A：=30种，

则其概率为3弓0==5,

366

故选:A.

10.已知函数/")=sin(公E+Q)在区间单调递增，直线x=四和x为函数

\63J63

y=/(x)的图像的两条对称轴，则()

V1乙J

A.一直B.--C.1D.正

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入工=-2即可得到答

12

案.

［详解】因为/(幻=sin(s+p)在区间单调免增，

163)

〜…T2兀it7t,,八…e2兀_

所以二•=二-一:=不，且0>0,则7=兀，w=—=2,

2362T

当冗二当时，取得最小值，则2［+0=2E一］，keZ,

662

则O=2E--,keZ,不妨取攵=0,则/(x)=sin2x

故选：D.

11.已知实数苍丁满足/+/2-4龙-2y-4=0,则X-V的最大值是()

A.1+—B,4C.1+3V2D.7

2

【答案】C

【解析】

【分析】法一：令=左，利用判别式法即可；法二：通过整理得（X-2）2+（），-lf=9,

利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设%一），=工，利用圆心到直线的距离小于

等于半径即可.

【详解】法一：令x-y=k,则%=%+），，

代入原式化简得2y2+（2攵-6）丁+&2-4〃-4=0,

因为存在实数V则即（2%-6）2-4><2付一#-4/0,

化简得公一2攵一17<0,解得1—3五WZW1+3近，

故人一丁的最大值是3a+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得（T）?=9,

令x=3cos8+2,y=3sin6+l,其中，£[0,2可，

则x-y=3cos9-3sin6+l=3V^cos（e+；+1,

・.・。£[0,2"],所以e+岁，则夕+工=2花.即。二五时，x-y取得最大值

»■」4|_44J44

3&+1,

法三：由炉十/一4工一2y一4二0可得（工一2）2+（），-1）'=9,

\2-\-k\

设x-y=%,则圆心到直线x-y=k的距离d~1T~

解得1-30/W1+3加

故选：C.

12.设A,8为双曲线V-5=1上两点，下列四个点中，可为线段A8中点的是（)

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.

(一1)

【答案】D

【解析】

【分析】根据点差法分析可得3屋攵=9,对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐

项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设4（&）［）1（占，）’2），则A5的中点MM+SX+%

22

X+）’2

可得加.江&，人看二任

X（一x2-+工2玉+X2

2

-1

人I-I11

因为A3在双曲线上，贝!〈2，两式相减得（司2一石）一支二反=（）

考-%=19

9

所以山二二二4二9

不一石

对于选项A：可得A=l,k"=9,则AB:y=9x-8,

y=9x-8

联立方程《2V消去），得72Y-2X72X+73=0,

A-1

9

此时A=（—2x72）2—4x72x73=—288<0,

所以直线与双曲线没有交点，故A错误:

995

对于选项B：可得％=-2,38二一万，则43:），=一//一5,

95

y——x—

22

联立方程,,消去y得45f+2x451+61=0，

x~二二1

9

此时△=（2x45）--4x45x61=-4x45x16<0,

所以直线与双曲线没有交点，故B错误;

对于选项C；可得上=3,砥8=3,则4〃：y=3x

由双曲线方程可得。=1,£=3,则A3:y=3x为双曲线的渐近线,

所以直线A8与双曲线没有交点，故C错误:

997

对于选项D：2=4,&8=:，则=-:

444

97

y=—x——

•44

联立方程〈2，消去），得63f+126X-193=0，

x2--=1

9

此时△=126?+4x63x193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

二、填空题

13.已知点A0,石）在抛物线Cy2=2px上，则A到C的准线的距离为.

9

【答案】4

4

【解析】

【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为

x=--,最后利用点的丝标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.

4

【详解】由题意可得：伸了=2pxl,则2〃=5,抛物线的方程为产=51，

准线方程为x=-?，点A到C的准线的距离为1一（-g.

4I4J4

9

故答案为：一.

4

△兀、I

14.若夕a0,三,tan0=—,则sin，-cos£=_____.

I2

【答案】-且

5

【解析】

【分析】根据同角三角关系求sin，，进而可得结果.

（Ji'

【详解】因为。e0,-,则sine>0,cose>。，

<2/

winf）I

又因为tan®=^=；,则cos0=2sin。，

cost/2

且cos?O+sin?6=4sin'8+sin?8=5sin2夕=1，解得sin。=@或§皿。=一好（舍

55

去），

所以sine-cos6=sin6-2sin6=-sine=>

5

故答案为：一亚.

5

x-3y<-1

15.若x,），满足约束条件•x+2），V9,则z=2x-y的最大值为.

3x+y>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.

【详解】作出可行域如下图所示：

z=2x-yf移项得y=2x-z,

x=5

联立有二八，解得

_x+2y=9、y=2'

设A（5,2）,显然平移直线y=2x使其经过点A,此时截距-z最小，则z最大,

代入得z=8,

故答案为：8.

16.已知点S,A,反。均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，54_1_平

面ABC,则S4=.

【答案】2

【解析】

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱外接球以及求的性质运算求解.

【详解】设的外接圆圆心为半径为「，

2,二AB-3=？万

则sin/.ACBx/3，可得r=>/3»

T

设三棱锥S—ABC的外接球球心为。，连接OAOQ,则。4=2,。«=gsA,

因为。42=。。：+。俨2,即4=3+』SA2,解得弘=2.

4

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体的特殊点（一般为按、切点）

或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；

（2）若球面上四点尸、A、8、C构成的三条线段出、PB、PC两两垂直，且以=小PB=

b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4必=〃2+分+°2求解；

（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长：

（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

（5）利用平面儿何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的儿何体的直观图，

确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

三、解答题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配

对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺

处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别

记为N，y（i=L2,…,10）.试验结果如下：

试验序号i12345678910

伸缩率大545533551522575544541568596548

伸缩率K536527543530560533522550576536

记马=x-y（i=l,2「-』（）），记4*2,…凸0的样本平均数为1样本方差为S?.

（1）求z，s2：

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显

著提高(如果zN2后,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡

胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)

【答案】(1)彳=11,$2=61；

(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出工亍，再得到所有的z,值，最后计算出方差

即可；

(2)根据公式计算出2后的值，和2比较大小即可.

【小问1详解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548…

x=-----------------------------------------------=552.3o,

1()

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536-一

y=-----------------------------------------------=541.3,

10

三二元—尸552.3-541.3=11,

马=%的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+04-(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-1I)2八

s"=-------------------------------------------------------------------------=61

10

【小问2详解】

由(1)知：5=11，2后=2向=病5，故有N22后，

所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提

高.

18.记S〃为等差数列｛册｝的前〃项和，已知%=11，$0=40.

(1)求｛凡｝的通项公式；

(2)求数列｛|%|｝的前〃项和

【答案】(1)an=\5-2n

<7

⑵1=

rT-14/7+98,/z>8

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解q/,进而可得结果;

（2）先求S”，讨论%的符号去绝对值，结合S”运算求解.

【小问I详解】

设等差数列的公差为",

.2=4+〃=11

a+d=4=13

由题意可得〈10x9]解得《

S10=106/1+--J=402q+9d=8d=-2

乙

所以。,=13—2(〃-1)=15—2〃,

【小问2详解】

〃(13+15-2〃)，

因为S”=-----------二14〃一〃~,

“2

令%-15—2〃>0,解得〃<与，且〃wN-，

当时，则%>0,可得十=同+同+…+㈤=卬+生+…+4〃=S”=14/?-H2；

当“28时，则<0,可得(=⑷+|%|+…+|%|=(q+出+…+/)-(4+…+4)

22

=S7-(S/J-S7)=2S7-S„=2(14X7-7)-(14/7-//)=«-14Z?+98;

_14〃一/7

综上所述：Tn=\

[/?2-14/7+98./?>8

19.如图，在三棱锥P-A8C中，ABJ.BC,AN=2，BC=2叵，PB=PC=®

BP,ARBC的中点分别为D,E,O,点尸在AC上，BF1AO.

（1）求证：族〃平面400；

（2）若NPOF=120°,求三棱锥P-AAC的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵侦

3

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形O/)所为平行四边形，再利用线面平行的判定推

理作答.

(2)作出并证明PM为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【小问1详解】

..——1—

连接。后,。尸，设4下=/AC,则BF=BA+AF=+tBC,AO=-BA+-BC,

2

BFLAO,

121r

则BRAC=[(1T)R4+出C]•(-B4+_8C)=(♦1)B4+-/BC2=4(r-l)+4/=0,

22

解得，=L则尸为AC的中点，由。，20/分别为P3,PA,3C,AC的中点，

2

于是DE//AB,DE==AB,OF//AB,OF==AB,即。E//。/,DE=OF,

22

则四边形O。斯为平行四边形，

EF//DO,EF=DO,又所a平面A。。OOu平面A。。，

所以七///平面400.

【小问2详解】

过?作PM垂百'/O的延长线交于点M,

因为PB=PC,0是BC中点,所以尸013C,

在Rtz\P3O中，PB=x^6,BO=—BC=V2,

2

所以PO=J^二3京=庭=5=2,

因为4B_L3cOF//A8,

所以ObJ_BC,又POcOF=O,PO,OFu平面POF，

所以8cl平面P0尸，又QMu平面P0产，

所以3C_LPM,又BC\FM=O,3c尸Mu平面A3C,

所以PM_L平面ABC,

即三棱锥P-ABC的高为PM,

因为N尸O尸=120。，所以NRW=60。，

所以PM二夕0sin60。=2x正=6，

2

又sMRC=LAB.BC=1x2x26=26,

/1OL.

所以%ABC=LS&ABC,PM='x2垃乂6=巫,

1-CL3Z-i>ii»c3▼3

(i)当。=7时，求曲线y=/(x)在点“/(")处的切线方程.

(2)若函数/(x)在(0,+e)单调递增，求。的取值范围.

【答案】(1)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)卜必之^，.

【解析】

【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和

切点坐标，最后求解切线方程即可；

(2)原问题即/(x)20在区间(0,+8)上恒成立，整埋变形可得

g(x)=cvc2+x-(x+l)ln(x+l)N0在区间(O,+a))上恒成立，然后分类讨论

r/<0,67>-,0<«<-三种情况即可求得实数。的取值范围.

22

【小问I详解】

当。=一1时，/(%)=--1|ln(x+l)(x>-l),

J

则/'("二--rxln(x+l)+——1X——

X\xJx+\

据此可得/(l)=Q/'(l)=_ln2,

所以函数在处的切线方程为)，-0=-ln2(x-l),即(ln2)x+y-ln2=0.

【小问2详解】

由函数的解析式可得■jh】(x+l)+g+〃x—,

满足题意时/'(x)NO在区间(0,+“)上恒成立.

令——-ln(x+l)+—+〃--->0,则一(x+l)ln(x+l)+(x+or2)N0,

令g(x)=6£+x-(x+l)ln(x+l),原问题等价于g(x)NO在区间(0,+8)上恒成立,

则g'(x)=2or-ln(x+l),

当aWO时，由于2arWO,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在区间(0,+e)上单调递

减，

此时g(冗)<g(0)=。,不合题意；

☆〃(x)=g'(x)=2or-ln(x+l)JUJ/z'(K)=2a...—,

入+1

当加之1时，由于白■<1,所以"(X)>O,〃(X)在区间(0,+。)上单调递增，

即g'(x)在区间(。,+。)上单调递增，

所以g'(x)>g'(0)=0,g(x)在区间(0,+力)上单调递增,g(x)>g(O)=O,满足题

意.

当■时，由〃'(X)=2Q!—=0可得/二」--1,

2-x+]2a

当xwfo,」--11时,(1\

厅(x)<0,/?(x)在区间0,--—1上单调递减，即g'(x)单调递

k2a)\2。7

减，

注意到g'(0)=0,故当工6(0,(一1)时，g'(“<g'(o)=()，g(x)单调递减,

由于g(O)=O,故当X£(O,3〉T)时，g(x)<g(o)=o，不合题意.

综上可知：实数”得取值范围是

【点睛】方法点睛:

（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成

基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求

导，必要时要进行换元.

（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法

①函数在区间（。,与上单调，实际上就是在该区间上了‘320（或r（”4o）恒成立.

②函数在区间（。力）上存在单调区间，实际上就是/'（x）NO（或在该区间上存

在解集.

21.已知椭圆的高心率是g,点4（一2,0）在。上.

（1）求。的方程；

（2）过点（一2,3）的直线交。于RQ两点，直线APMQ与丁轴的交点分别为M,N,证

明：线段MN的中点为定点.

【答案】（1）工+£=1

94

（2）证明见详解

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解进而可得结果；

（2）设直线尸Q的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证丝»为定售即

2

可.

【小问I详解】

b=24=3

由题意可得a1=b2+c~,解得，b=2,

c5/5c=\[5

e=—=——

3

所以椭圆方程为£十二=1.

94

小问2详解】

由题意可知：直线PQ的斜率存在，设。。：y二4（工+2）+3,尸（西,）［）,。（工2，%），

>=L（x+2）+3

联立方程y242,消去），得：（4^+9）f+8Z（24+3）R+16（d+3A）=0

.V+T=1

则A=64/(2%+3)2-64(46?+9)俨+3%)=-1728L>0,解得攵<0,

可得华察’

因为A（—2,0）,则直线"：y=」^（x+2）,

人1I乙

2yl

令"。,解得

I内+2

同理可得N。，必、

々+2

2y।2y2

则％+2电+2_[%(%+2)+3]+["(工2+2)+3]

2%+2w+2

[代+(2^+3)](X2+2)+[依+(2A+3)](M+2)2kx}xz+(4A+3)(.X)+.r,)+4(2Z:+3)

(x1+2)(x,+2)内内+2(x+$)+4

108,

——=3

16(公+3%)16M2A+3)|436

4k2+94k'+9

所以线段PQ的中点是定点（0,3）.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数

（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论.

【选修4-4】（10分）

22.在直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

G的极坐标方程为p=2sin。-＜3＜-,曲线。2：＜c.（。为参数，

\42）（y=2sma

71、

2

（1）写出G的直角坐标方程；

（2）若直线y=既与CI没有公共点，也与。2没有公共点，求〃7的取值范围.

【答案】（1）x2+（y-1）2=1,XG[0,1],.Ye[l,2]

（2）（-oo,0）U（2V2,+oo）

【解析】

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注