陕西省石泉县高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.2 二次函数的性质教学实录 北师大版必修1

陕西省石泉县高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究2.4.2二次函数的性质教学实录北师大版必修1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析陕西省石泉县高中数学第二章函数2.4二次函数性质的再研究2.4.2二次函数的性质教学实录北师大版必修1。本节课旨在引导学生深入理解二次函数的性质，通过实例分析和探究活动，让学生掌握二次函数的图像特征、顶点坐标、对称轴等关键知识点，并能运用这些知识解决实际问题。教学内容与课本紧密相连，符合教学实际，有助于提高学生的数学素养。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过二次函数性质的研究，学生能够抽象出二次函数的图像特征，发展逻辑推理能力；通过建立函数模型，学生能够学会运用数学语言描述现实问题，提升数学建模能力；通过观察和操作，学生能够培养直观想象能力；同时，通过解决实际问题，学生能够提高数学运算的准确性和效率。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在本节课前已经学习了函数的基本概念、一次函数和反比例函数的性质，具备了一定的函数图像识别能力。他们已经能够理解函数的定义域、值域、单调性等基本属性，并能够绘制一次函数和反比例函数的图像。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对数学的兴趣普遍较高，尤其是对函数图像和性质的研究。他们的学习能力较强，能够通过观察和归纳总结出函数的性质。学习风格上，部分学生偏好通过图形直观理解函数性质，而另一部分学生则更倾向于通过代数方法推导性质。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习二次函数性质时可能遇到的困难包括：理解二次函数图像的对称性、顶点坐标与函数性质的关系，以及如何将二次函数的性质应用于解决实际问题。此外，学生可能对二次函数的开口方向和大小对图像的影响理解不够深入，导致在应用时出现错误。四、教学资源-多媒体投影仪

-投影仪屏幕

-白板或黑板

-二次函数图像绘制软件（如Mathematica、GeoGebra等）

-教学课件（PPT或PDF格式）

-二次函数性质相关的教学视频

-实物教具（如弹力球、轻质杆等，用于演示二次函数的实际应用）

-学生活动卡片

-练习题纸

-学生合作学习小组划分名单五、教学流程1.导入新课

详细内容：

（1）教师通过展示二次函数的图像，引导学生回顾一次函数和反比例函数的图像特点，提出二次函数图像的独特之处。

（2）提出问题：“二次函数的图像有什么特点？它的性质有哪些？”引发学生对二次函数性质的好奇心和探究欲望。

（3）简要介绍本节课的学习目标和重点内容，让学生明确学习方向。

用时：5分钟

2.新课讲授

详细内容：

（1）教师通过PPT展示二次函数的一般形式，引导学生回顾二次函数的定义，并介绍二次函数的图像特点。

（2）讲解二次函数的顶点坐标和对称轴，结合图像举例说明，帮助学生理解二次函数的性质。

（3）分析二次函数的开口方向和大小对图像的影响，引导学生掌握如何根据函数解析式判断图像形状。

用时：10分钟

3.实践活动

详细内容：

（1）教师展示几个二次函数的实例，让学生观察图像并分析其性质，如顶点坐标、对称轴等。

（2）学生独立完成几道关于二次函数性质的选择题，巩固所学知识。

（3）教师提供几个实际问题，让学生运用二次函数的性质解决这些问题，如计算二次函数的最值、求解函数的零点等。

用时：15分钟

4.学生小组讨论

详细内容举例回答：

（1）讨论如何根据二次函数的解析式判断图像的开口方向和大小。

回答举例：通过观察二次项系数的正负判断开口方向，系数绝对值的大小判断开口大小。

（2）讨论二次函数的对称轴如何影响图像的形状。

回答举例：对称轴是图像的对称中心，对称轴的位置决定了图像的左右对称性。

（3）讨论如何利用二次函数的性质解决实际问题。

回答举例：通过计算二次函数的最值，可以确定函数的最大值或最小值，从而解决实际问题。

用时：10分钟

5.总结回顾

内容：

（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，强调二次函数的性质和应用。

（2）教师提出几个问题，让学生回答，检查学生对本节课知识的掌握程度。

（3）教师总结本节课的重难点，强调二次函数性质在实际问题中的应用。

用时：5分钟

总计用时：45分钟六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握

2.能力提升

（1）数学抽象能力：学生在学习二次函数性质的过程中，不断抽象出数学概念和规律，提高了数学抽象能力。

（2）逻辑推理能力：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够逐步推导出二次函数的性质，提升了逻辑推理能力。

（3）数学建模能力：学生能够将实际问题转化为二次函数模型，运用所学知识解决实际问题，提高了数学建模能力。

3.学习兴趣

本节课通过实例分析和实践活动，激发了学生对二次函数性质的学习兴趣。学生在探究过程中，体验到数学的趣味性和实用性，进一步提高了学习数学的积极性。

4.实践应用

学生在学习二次函数性质后，能够将其应用于解决实际问题，如计算二次函数的最值、求解函数的零点等。以下是一些具体的应用实例：

（1）计算二次函数的最值：例如，已知二次函数f(x)=-2x^2+4x+1，求f(x)的最大值。

（2）求解函数的零点：例如，已知二次函数g(x)=x^2-5x+6，求g(x)的零点。

（3）分析二次函数图像：例如，分析二次函数h(x)=(x-1)^2+2的图像特点，如顶点坐标、对称轴等。

5.团队合作

本节课采用了小组讨论的形式，学生在讨论过程中相互交流、合作，共同解决问题。这种合作学习方式有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力。

6.自主学习能力

学生在学习过程中，通过自主探究、合作交流等方式，逐步提高了自主学习能力。他们能够独立思考、分析问题，并尝试运用所学知识解决问题。七、板书设计①二次函数的性质

-二次函数一般形式：f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)

-顶点坐标：(h,k)，其中h=-b/(2a),k=c-b^2/(4a)

-对称轴：x=-b/(2a)

-开口方向：a>0时开口向上，a<0时开口向下

-顶点坐标与开口方向的关系

②二次函数的图像

-图像形状：抛物线

-顶点位置：图像的最高点或最低点

-对称性：关于对称轴对称

-顶点坐标与图像位置的关系

③二次函数的应用

-求二次函数的最值

-求二次函数的零点

-分析二次函数图像的特点

-解决实际问题：如物理运动中的抛物线轨迹、经济问题中的成本收益分析等

④练习与思考

-判断二次函数图像的开口方向

-计算二次函数的顶点坐标

-分析二次函数图像的对称性

-应用二次函数解决实际问题八、重点题型整理1.求二次函数的顶点坐标

题目：已知二次函数f(x)=2x^2-4x+3，求该函数的顶点坐标。

答案：顶点坐标为(1,1)。

2.分析二次函数图像的开口方向

题目：判断二次函数f(x)=-x^2+4x-5的开口方向，并说明理由。

答案：开口向下。因为二次项系数a=-1<0。

3.求二次函数的最值

题目：已知二次函数g(x)=3x^2-2x-1，求该函数的最大值或最小值。

答案：最大值。因为二次项系数a=3>0，开口向上，所以函数有最小值。最小值为g(1)=3*1^2-2*1-1=0。

4.求二次函数的零点

题目：已知二次函数h(x)=x^2-6x+9，求该函数的零点。

答案：零点为x=3。因为h(x)=(x-3)^2，所以x=3是函数的零点。

5.应用二次函数解决实际问题

题目：某工厂生产一种产品，每天的生产成本为200元，每件产品的利润为10元，求每天生产多少件产品时，利润最大？

答案：设每天生产x件产品，则总利润y=10x-200。因为二次项系数a=10>0，开口向上，所以函数有最小值。最小值为y(10)=10*10-200=0。因此，每天生产10件产品时，利润最大。

补充说明：

1.求二次函数的顶点坐标时，需要熟练掌握顶点坐标公式，并能够正确计算。

2.分析二次函数图像的开口方向时，关键在于判断二次项系数的正负。

3.求二次函数的最值时，需要先判断函数的开口方向，然后根据开口方向确定最大值或最小值的位置。

4.求二次函数的零点时，可以使用配方法、因式分解等方法，找到函数与x轴的交点。

5.应用二次函数解决实际问题时，需要将实际问题转化为数学模型，然后运用二次函数的性质求解。课堂1.课堂评价

（1）提问评价：教师在课堂上通过提问的方式，检验学生对二次函数性质的理解和应用能力。例如，教师可以提出以下问题：

-二次函数f(x)=-2x^2+4x+1的顶点坐标是多少？

-如何判断一个二次函数的图像是开口向上还是向下？

-二次函数的最值出现在什么位置？

通过学生的回答，教师可以了解学生对知识的掌握程度，并及时进行针对性讲解。

（2）观察评价：教师通过观察学生的课堂表现，评估学生的学习兴趣和参与度。例如，学生是否能够积极参与讨论，是否能够正确使用二次函数的性质解决实际问题，是否能够主动提问等。

（3）测试评价：在课堂或课后进行小测验，以检测学生对二次函数性质知识的掌握情况。测试可以包括填空题、选择题和简答题等形式，以全面评估学生的理解能力。

2.教学评价的实施

（1）提问评价实施：教师根据教学内容，设计一系列问题，鼓励学生积极回答。对于学生的回答，教师要及时给予反馈，表扬正确答案，纠正错误理解。

（2）观察评价实施：教师要注意观察学生的课堂表现，包括学生的眼神、表情、动作等，以了解学生的学习状态。对于表现积极的学生，教师要及时给予鼓励；对于表现不佳的学生，教师要及时进行个别辅导。

（3）测试评价实施：教师定期组织小测验，让学生在规定时间内完成。测试结束后，教师要及时批改并反馈结果，帮助学生发现自己的不足，并针对性地进行复习。

3.教学评价的反馈

（1）课堂评价反馈：教师针对学生在课堂上的表现，给予及时的口头或书面反馈。对于表现好的学生，