高等数学 课件 第三节 函数的极限

第一章函数、极限与连续PARTTHREE第三节

函数的极限学习目标：

1.理解极限的概念，能根据极限概念描述函数的变化趋势.理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系，趋于无穷大时函数的极限存在的充分必要条件.

2.了解函数极限的定义，能正确叙述函数极限的定义.

3.了解极限的性质：唯一性，有界性和保号性.一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量的变化趋势：

x

x0，x

x0-，x

x0+，x

，x

-

，x

+

．f(x)=A或f(x)

A(当x

x0)．函数极限的通俗定义：

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限．当x

x0时，f(x)以A为极限记为分析：当x

x0时，f(x)

A

当|x-x0|

0时，|f(x)-A|能任意小

任给e>0，当|x-x0|小到某一时刻，有|f(x)-A|<e

任给e>0，存在d>0，使当0<|

x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e．f(x)=A或f(x)

A(当x

x0)．f(x)=A

e>0，

d>0，当0<|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e

．函数极限的精确定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义．如果对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正数d，使得对于适合不等式0<|x-x0|<d的一切x

，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e

，那么常数A就叫做函数f(x)当x

x0时的极限，记为函数极限的几何意义：y=f(x)Ax0O

yxA-eA+ex0-dx0+d则e>0，

d>0，使当0<|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e

的几何意义：

若f(x)=A，因此对于任意给定的正数e，任意取一正数d，当0<|x-x0|<d时，都有|f(x)-A|=|c-c|=0<e成立，所以举例：

证明:这里|f(x)-A|=|c-c|=0，成立．|f(x)-A|=|x-x0|<e当0<|x-x0|<d=e时，总可取d=e，因此对于任意给定的正数e，能使不等式所以

证明：这里|f(x)-A|=|x-x0|，|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e

，使当0<|x-1|<d时，有只要|x-1|<，即取d=．

证明：因为

e>0，d=>0，

所以

分析：|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，为了使|f(x)-A|<e

，

证明：因为

e>0，d=e>0，所以只需|x-1|<d，即取d=e．|f(x)-2|=|x-1|<e

，使当0<|x-1|<d，有|f(x)-2|=|-2|=|x+1-2|=|x-1|，要使|f(x)-2|<e，

分析：注意函数在x=1是没有定义的．但这与函数在该点是否有极限并无关系．单侧极限:例如,左极限右极限

例5

函数当x

0时f(x)的极限不存在．

因为f(x)的左极限右极限所以极限不存在．

若当x

时，f(x)无限接近于某常数A，二、自变量趋于无穷大时函数的极限类似地，有和记为f(x)当x

时的极限，则常数A叫作函数讨论：极限的通俗定义：叙述？三者之间的关系如何？

e>0，

X>0，当|x|>X，有|f(x)-A|<e

，

设f(x)当|x|大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的正数e，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|>X的一切x，对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e，则常数A叫作函数f(x)当x

时的极限．极限的精确定义：另外两种情形:所以．

证明：故取X=．解不等式得，不等式成立．当|x|>X时，要证存在正数X，

分析：设e是任意给定的正数．因为对

e>0，

X=，使当|x|>X时，有.水平渐近线：直线y=0是函数y=的图形的水平渐近线．已知．xyO11如果，Oxy

p2p2y=arctanx

例如，函数

y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：则直线y=c是函数y=f(x)的图形的水平渐近线．一般地，和．三、函数极限的性质1.局部有界性2.唯一性三、函数极限的性质

定理2

如果在x0的某一去心邻域内f(x)

0(或f(x)

0)，而且点x0的某