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文档简介
第一章函数、极限与连续PARTTHREE第三节
函数的极限学习目标:
1.理解极限的概念,能根据极限概念描述函数的变化趋势.理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系,趋于无穷大时函数的极限存在的充分必要条件.
2.了解函数极限的定义,能正确叙述函数极限的定义.
3.了解极限的性质:唯一性,有界性和保号性.一、自变量趋于有限值时函数的极限自变量的变化趋势:
x
x0,x
x0-,x
x0+,x
,x
-
,x
+
.f(x)=A或f(x)
A(当x
x0).函数极限的通俗定义:
在自变量的某个变化过程中,如果对应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A,那么这个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限.当x
x0时,f(x)以A为极限记为分析:当x
x0时,f(x)
A
当|x-x0|
0时,|f(x)-A|能任意小
任给e>0,当|x-x0|小到某一时刻,有|f(x)-A|<e
任给e>0,存在d>0,使当0<|
x-x0|<d时,有|f(x)-A|<e.f(x)=A或f(x)
A(当x
x0).f(x)=A
e>0,
d>0,当0<|x-x0|<d时,有|f(x)-A|<e
.函数极限的精确定义:设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数d,使得对于适合不等式0<|x-x0|<d的一切x
,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e
,那么常数A就叫做函数f(x)当x
x0时的极限,记为函数极限的几何意义:y=f(x)Ax0O
yxA-eA+ex0-dx0+d则e>0,
d>0,使当0<|x-x0|<d时,有|f(x)-A|<e
的几何意义:
若f(x)=A,因此对于任意给定的正数e,任意取一正数d,当0<|x-x0|<d时,都有|f(x)-A|=|c-c|=0<e成立,所以举例:
证明:这里|f(x)-A|=|c-c|=0,成立.|f(x)-A|=|x-x0|<e当0<|x-x0|<d=e时,总可取d=e,因此对于任意给定的正数e,能使不等式所以
证明:这里|f(x)-A|=|x-x0|,|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e
,使当0<|x-1|<d时,有只要|x-1|<,即取d=.
证明:因为
e>0,d=>0,
所以
分析:|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|,为了使|f(x)-A|<e
,
证明:因为
e>0,d=e>0,所以只需|x-1|<d,即取d=e.|f(x)-2|=|x-1|<e
,使当0<|x-1|<d,有|f(x)-2|=|-2|=|x+1-2|=|x-1|,要使|f(x)-2|<e,
分析:注意函数在x=1是没有定义的.但这与函数在该点是否有极限并无关系.单侧极限:例如,左极限右极限
例5
函数当x
0时f(x)的极限不存在.
因为f(x)的左极限右极限所以极限不存在.
若当x
时,f(x)无限接近于某常数A,二、自变量趋于无穷大时函数的极限类似地,有和记为f(x)当x
时的极限,则常数A叫作函数讨论:极限的通俗定义:叙述?三者之间的关系如何?
e>0,
X>0,当|x|>X,有|f(x)-A|<e
,
设f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的正数e,总存在着正数X,使得对于适合不等式|x|>X的一切x,对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e,则常数A叫作函数f(x)当x
时的极限.极限的精确定义:另外两种情形:所以.
证明:故取X=.解不等式得,不等式成立.当|x|>X时,要证存在正数X,
分析:设e是任意给定的正数.因为对
e>0,
X=,使当|x|>X时,有.水平渐近线:直线y=0是函数y=的图形的水平渐近线.已知.xyO11如果,Oxy
p2p2y=arctanx
例如,函数
y=arctanx的图形的水平渐近线有两条:则直线y=c是函数y=f(x)的图形的水平渐近线.一般地,和.三、函数极限的性质1.局部有界性2.唯一性三、函数极限的性质
定理2
如果在x0的某一去心邻域内f(x)
0(或f(x)
0),而且点x0的某
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