2024-2025学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.2 双曲线的简单几何性质（教师用书）教学实录 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.22.2.2双曲线的简单几何性质（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.22.2.2双曲线的简单几何性质（教师用书）教学实录新人教A版选修1-1设计意图本节课旨在帮助学生理解和掌握双曲线的简单几何性质，通过引入双曲线的定义和标准方程，引导学生分析双曲线的对称性、渐近线以及离心率等性质，从而加深对双曲线图像和方程的理解，为后续学习打下基础。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模能力，通过研究双曲线的定义和性质，使学生能够从几何直观中提炼数学模型，运用数学语言描述和分析几何现象，提高学生解决实际问题的能力。同时，强化学生的数学运算和直观想象能力，促进学生对数学知识的整体把握和灵活运用。学情分析本节课面向的是高中一年级学生，他们对数学学习已经有了一定的基础，能够理解和应用二次函数、一元二次方程等相关知识。在知识层面上，学生对曲线图像、坐标轴和函数关系有一定的认识，但对于双曲线这一较复杂的曲线类型，多数学生可能较为陌生，需要教师引导他们从已有的知识体系中寻找联系。

在能力方面，学生具备一定的抽象思维能力，但可能缺乏对复杂几何图形深入理解的能力。在解题时，学生的逻辑推理能力较为有限，往往依赖直观感觉而非严谨的数学推理。此外，学生在数学建模方面的能力也需提升，特别是在如何将实际问题转化为数学模型方面。

从素质角度来看，学生在学习过程中表现出不同的学习习惯和行为表现。部分学生能够主动探索问题，勇于提出问题，但也有一些学生在遇到困难时容易放弃。在团队合作学习中，学生的沟通能力和协作精神需要进一步加强。

这些学情特点对本节课的教学产生了以下影响：首先，需要教师通过生动形象的例子和实例来激发学生的学习兴趣，帮助他们建立对双曲线的直观认识。其次，教师应注重引导学生进行逻辑推理，培养他们严谨的数学思维习惯。最后，教师应鼓励学生积极参与课堂活动，通过合作学习提升他们的沟通能力和团队合作精神。教学资源准备1.教材：确保每位学生都拥有新人教A版选修1-1《圆锥曲线与方程》教材，以便于课堂学习和课后复习。

2.辅助材料：准备双曲线的图像、性质描述的图表，以及相关的教学视频，以帮助学生直观理解双曲线的特点。

3.实验器材：无需实验器材。

4.教室布置：设置多个小组讨论区，并准备白板或黑板用于展示几何图形和方程式，以增强学生的直观感受和互动学习。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-教师展示圆锥曲线的图像，引导学生回顾圆锥曲线的定义和分类。

-提问：我们已经学习了椭圆和抛物线的性质，那么双曲线有什么特点呢？

-引入双曲线的定义，提出本节课的学习目标：理解双曲线的简单几何性质。

2.新课讲授（用时15分钟）

-（1）介绍双曲线的定义和标准方程，通过实际例子说明双曲线的几何特征。

-（2）讲解双曲线的对称性，展示双曲线关于坐标轴的对称性，并举例说明。

-（3）分析双曲线的渐近线，通过推导渐近线的方程，帮助学生理解其几何意义。

3.实践活动（用时10分钟）

-（1）学生独立完成双曲线标准方程的变换，将一般式转换为标准式，并验证其正确性。

-（2）通过几何画板或手工绘图，绘制双曲线的图像，观察并描述其性质。

-（3）学生分组讨论，尝试找出双曲线的离心率与实轴长、虚轴长之间的关系。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-（1）提问：如何判断一个点是否在双曲线上？

-（2）举例：给定一个双曲线方程，如何求出其渐近线的方程？

-（3）讨论：双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？

5.总结回顾（用时5分钟）

-教师引导学生回顾本节课的学习内容，强调双曲线的简单几何性质，包括对称性、渐近线和离心率。

-通过举例说明如何应用双曲线的性质解决实际问题，如确定双曲线上的点、求渐近线方程等。

-强调本节课的重难点：双曲线的对称性和渐近线的理解，以及离心率的应用。

-布置课后作业，包括练习题和思考题，巩固学生对双曲线性质的理解。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握：通过本节课的学习，学生能够熟练掌握双曲线的定义、标准方程、对称性、渐近线和离心率等基本概念。他们能够将双曲线的性质与实际应用相结合，如通过双曲线的方程求解焦点、顶点等关键点，以及判断一个点是否在双曲线上。

2.技能提升：学生在本节课中通过实践活动，如绘制双曲线图像、变换方程式等，提升了他们的几何作图能力和数学运算能力。此外，通过小组讨论和合作学习，学生的沟通能力和团队合作精神也得到了加强。

3.思维发展：学生在学习双曲线性质的过程中，锻炼了逻辑推理和抽象思维能力。他们学会了如何从具体实例中提炼出数学模型，并运用数学语言进行描述和分析。这种能力的提升有助于他们在后续学习中更好地理解和解决更复杂的数学问题。

4.应用能力：学生能够将双曲线的性质应用于实际问题中，如物理学中的光学问题、工程学中的曲线设计等。他们能够运用所学知识解决实际问题，提高了数学学习的实用性和价值。

5.学习兴趣：通过本节课的学习，学生对双曲线产生了浓厚的兴趣。他们开始关注数学与实际生活的联系，激发了进一步探索数学知识的动力。

6.自主学习能力：学生在本节课中学会了如何自主学习，包括查阅资料、独立思考、解决问题等。他们能够根据自身情况调整学习策略，提高学习效率。

7.评价与反思：学生在学习过程中，能够对自己的学习效果进行评价和反思。他们能够认识到自己的不足，并采取相应的措施进行改进，如加强练习、寻求帮助等。课堂1.课堂提问

-通过提问，教师可以即时了解学生对双曲线性质的理解程度。例如，提出以下问题：

-“如何根据双曲线的方程确定其焦点坐标？”

-“双曲线的渐近线方程是如何推导的？”

-“离心率在双曲线的几何性质中扮演什么角色？”

-学生回答问题的情况将作为评价学生学习效果的重要依据。

2.观察学生参与度

-教师应观察学生在课堂上的参与度，包括对课堂活动的兴趣、提问的积极性、参与讨论的态度等。

-通过观察，教师可以评估学生是否真正投入到了双曲线性质的学习中，以及他们在小组讨论中的互动情况。

3.课堂练习

-设计一些课堂练习题，让学生在短时间内应用所学知识解决实际问题。

-练习题的设计应涵盖本节课的重点内容，如双曲线方程的变换、渐近线的应用等。

-通过课堂练习，教师可以评估学生对知识点的掌握程度和运算能力。

4.小组讨论评估

-在小组讨论环节，教师应关注学生之间的交流情况，以及他们是否能有效合作解决问题。

-评估内容包括学生是否能够清晰地表达自己的观点，是否能够倾听他人意见，以及是否能够共同完成讨论任务。

5.课堂测试

-设计一份简短的双曲线性质测试，以评估学生对本节课内容的理解和记忆。

-测试题应包括选择题、填空题和解答题，覆盖本节课的关键知识点。

-测试结果将用于了解学生对知识的整体掌握情况，并为后续教学提供反馈。

6.学生自评和互评

-鼓励学生进行自我评价，反思自己在课堂上的表现和学习效果。

-同时，可以组织学生互评，让学生相互指出对方的优点和需要改进的地方。

-这种评价方式有助于提高学生的自我认知和反思能力。

7.及时反馈

-教师应及时对学生的课堂表现和学习成果给予反馈，无论是口头表扬还是书面评价。

-反馈应具体、有针对性，帮助学生了解自己的学习进展，并激励他们继续努力。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：在讲解双曲线的性质时，结合实际案例，如天文中的双曲线轨道、工程中的双曲线设计等，让学生在具体情境中理解双曲线的应用，提高学习的趣味性和实用性。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体资源，如动画、视频等，展示双曲线的动态变化，帮助学生直观地理解双曲线的几何性质，增强教学效果。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对双曲线的理解不够深入：部分学生在学习双曲线性质时，对概念的理解停留在表面，缺乏对双曲线本质的把握。

2.课堂互动不足：在小组讨论环节，部分学生参与度不高，讨论氛围不够活跃，影响了教学效果。

3.评价方式单一：主要依赖课堂测试和作业评价，缺乏对学生学习过程的全面评估。

反思改进措施（三）

1.深化概念教学：通过设计一系列问题，引导学生深入思考双曲线的性质，如通过比较双曲线与椭圆、抛物线的异同，帮助学生建立更全面的知识体系。

2.丰富课堂互动：鼓励学生提问，激发他们的思考，同时设计更多互动环节，如小组竞赛、角色扮演等，提高学生的参与度和积极性。

3.多元化评价方式：除了传统的测试和作业评价，引入学生自评、互评和过程性评价，全面了解学生的学习情况，为教学改进提供更多参考。典型例题讲解例题1：已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(a>0,b>0\)，且离心率\(e=\frac{c}{a}=2\)，求双曲线的渐近线方程。

解答：由离心率\(e=2\)，得\(c=2a\)。又因为\(c^2=a^2+b^2\)，代入\(c=2a\)得\((2a)^2=a^2+b^2\)，解得\(b^2=3a^2\)。所以渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{3}x\)。

例题2：双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)的一个焦点为\(F(3,0)\)，求双曲线的实轴长。

解答：由双曲线的标准方程\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)可知，实轴长为\(2a\)。由于焦点\(F(3,0)\)在\(x\)轴上，且\(c=3\)，由\(c^2=a^2+b^2\)可得\(a^2=c^2-b^2=9-4=5\)，所以实轴长\(2a=2\sqrt{5}\)。

例题3：双曲线\(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1\)的一个顶点为\((0,4)\)，求双曲线的焦距。

解答：由双曲线的标准方程\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\)可知，焦距为\(2c\)。由于顶点\((0,4)\)在\(y\)轴上，且\(b=4\)，由\(c^2=a^2+b^2\)可得\(a^2=c^2-b^2\)。又因为\(b^2=16\)，\(a^2=9\)，所以\(c^2=16+9=25\)，焦距\(2c=2\sqrt{25}=10\)。

例题4：双曲线\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)上一点\(P\)到其右焦点的距离为\(5\)，求点\(P\)到其左焦点的距离。

解答：设点\(P\)的坐标为\((x,y)\)，右焦点为\(F_1(ae,0)\)，左焦点为\(F_2(-ae,0)\)。由双曲线的定义，\(|PF_1|-|PF_2|=2a\)。已知\(|PF_1|=5\)，\(a=2\)，代入得\(5-|PF_2|=4\)，解得\(|PF_2|=1\)。

例题5：双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x