全国高中数学联赛试题及解析苏教版10

1990年全国高中数学联赛第一试(10月14日上午8∶00—10∶00)一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2)),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是A．(cos)cos<(sin)cos<(cos)sinB．(cos)cos<(cos)sin<(sin)cosC．(sin)cos<(cos)cos<(cos)sinD．(cos)sin<(cos)cos<(sin)cos2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4B．f(x)=2-xC．f(x)=3－|x+1|D．f(x)=2+|x+1|3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是()A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的4．点集{(x，y)|lg(x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9))=lgx+lgy}中元素个数为()A．0B．1C．2D．多于25．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式eq\b\bc\((\f(x,x+y))\s\up6(1990)+eq\b\bc\((\f(y,x+y))\s\up6(1990)的值是()A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不对6．已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的()二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)的最小值是．2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是．4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．5．设n=1990，则eq\f(1,2n)(1－3Ceq\a(2,n)+32Ceq\a(4,n)－33Ceq\a(6,n)+…+3994Ceq\a(1998,n)－3995Ceq\a(1990,n)=．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．三．(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=eq\f(2ab,a2+b2)，(其中0<θ<eq\f(π,2))，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．四．n2个正数排成n行n列aa11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n……an1an2an3an4……ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=eq\f(1,8)，a43=eq\f(3,16)，求a11+a22+……+ann．五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．

第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．OOOABCDP1OOO234F二．(本题满分35分)设E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}eq\o(\s\up4(),\s\do3())E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1≤i<j≤100，恒有ai+aj≠201；⑵eq\s\do4(\o(\s\up15(100),Σ,\s\do6(i=1)))ai=10080．试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．三．(本题满分35分)某市有n所中学，第i所中学派出Ci名代表(1≤Ci≤39，1≤i≤n)来到体育馆观看球赛，全部学生总数为eq\s\do4(\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(i=1)))Ci=1990．看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐在同一横排，问体育馆最少要安排多少横排才能够保证全部学生都能坐下．

1990年全国高中数学联赛(解答)第一试一．选择题(本题满分30分，每小题5分)1．设α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2)),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是A．(cos)cos<(sin)cos<(cos)sinB．(cos)cos<(cos)sin<(sin)cosC．(sin)cos<(cos)cos<(cos)sinD．(cos)sin<(cos)cos<(sin)cos(1990年全国高中数学联赛)解：α∈(eq\f(,4)，eq\f(,2))0<cosα<sinα<1，∴(cos)cos<(sin)cos；(cos)sin<(cos)cos；选D．2．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)=x，则当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式是()A．f(x)=x+4B．f(x)=2-xC．f(x)=3－|x+1|D．f(x)=2+|x+1|解设x∈[－2,－1],则x+4∈[2,3],于是f(x+4)=x+4，但f(x)=f(x+4)=x+4(x∈[－2,－1])，又设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1],故f(－x)=－x+2，由f(x)=f(－x)=－x+2(x∈[－1，0).f(x)=3－|x+1|=eq\b\lc\{(\a\ac(3－(－x－1)=x+4(x∈[－2，－1])，,3－(x+1)=－x+2(x∈(－1，0))．))故选C．3．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是()A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的解：设内切圆在三边上切点分别为D、E、F，当P在右支上时，PF1－PF2=2a．但PF1－PF2=F1D－F2D=2a，即D与N重合，当P在左支上时，D与M重合．故选C．4．点集{(x，y)|lg(x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9))=lgx+lgy}中元素个数为()A．0B．1C．2D．多于2解：x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9)=xy>0．但x3+eq\f(1,3)y3+eq\f(1,9)≥3eq\r(3,x3·eq\f(1,3)y3·eq\f(1,9))=xy，等号当且仅当x3=eq\f(1,3)y3=eq\f(1,9)时，即x=eq\f(eq\r(3,3),3)，y=eq\f(eq\r(3,9),3)时成立．故选B．5．设非零复数x、y满足x2+xy+y2=0，则代数式eq\b\bc\((\f(x,x+y))\s\up6(1990)+eq\b\bc\((\f(y,x+y))\s\up6(1990)的值是()A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不对解：eq\f(x,y)=ω或ω2，其中ω=cos120°+isin120°．1+ω+ω2=0．且ω3=1．若eq\f(x,y)=ω，则得(eq\f(ω,1+ω))1990+(eq\f(1,ω+1))1990=－1．若eq\f(x,y)=ω2，则得(eq\f(ω2,1+ω2))1990+(eq\f(1,ω2+1))1990=－1．选B．6．已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|>1的点的集合用阴影表示是下面图中的()解：eq\f(4,a2)+eq\f(1,b2)=1，由a2>b2，故得eq\f(1,b2)<1<eq\f(4,b2)+eq\f(1,b2)=eq\f(5,b2)，1<b<eq\r(5)．eq\f(4,a2)+eq\f(1,b2)=1eq\f(5,a2)<1，a2>5．故选C．二．填空题(本题满分30分，每小题5分)1．设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)的最小值是．解：ab≤(eq\f(a+b,2))2=1，从而anbn≤1，故eq\f(1,1+an)+eq\f(1,1+bn)=eq\f(1+an+1+bn,1+an+bn+anbn)≥1．等号当且仅当a=b=1时成立．即所求最小值=1．2．设A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t－60°)，cos(2t－60°))为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．解：点P在单位圆上，sin(2t－60°)=cos(150°－2t)，cos(2t－60°)=sin(150°－2t).当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))运动到(eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2))．线段AP扫过的面积=扇形面积=eq\f(1,6)π．3．设n为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，则n的最小值是．解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2≤x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)．等号当且仅当x=y=z时成立．故n=3．4．对任意正整数n，连结原点O与点An(n，n+3)，用f(n)表示线段OAn上的整点个数(不计端点)，试求f(1)+f(2)+…+f(1990)．解线段OAn的方程为y=eq\f(n+3,n)x(0≤x≤n)，故f(n)等于该线段内的格点数．若n=3k(k∈N+)，则得y=eq\f(k+1,k)x(0≤x≤n)(k∈N*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时f(n)=2；若n=3k±1(k∈N+)时，则由于n与n+3互质，故OAn内没有格点，此时f(n)=0．∴f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[eq\f(1990,3)]=1326．5．设n=1990，则eq\f(1,2n)(1－3Ceq\a(2,n)+32Ceq\a(4,n)－33Ceq\a(6,n)+…+3994Ceq\a(1998,n)－3995Ceq\a(1990,n)=．解：取(－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i)1990展开的实部即为此式．而(－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i)1990=－eq\f(1,2)+eq\f(\r(3),2)i．故原式=－eq\f(1,2)．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩始终站第一个位子，其余7组在8+9－1个位子中选择7个位子，得Ceq\a(7,8+9－1)=Ceq\a(7,16)种选法．7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得Ceq\a(7,16)∙7!∙25!种排列方法．三．(本题满分20分)已知a，b均为正整数，且a>b，sinθ=eq\f(2ab,a2+b2)，(其中0<θ<eq\f(π,2))，An=(a2+b2)nsinnθ．求证：对于一切自然数n，An均为整数．证明：由sinθ=eq\f(2ab,a2+b2)，得cosθ=eq\f(a2－b2,a2+b2)．记An=(a2+b2)ncosnθ．当a、b均为正整数时，A1=2ab、B1=a2－b2均为整数．A2=4ab(a2－b2)，B2=2(a2－b2)2－(a2+b2)2也为整数．若Ak=(a2+b2)ksinkθ、Bk=(a2+b2)kcoskθ均为整数，则Ak+1=(a2+b2)k+1sin(k+1)θ=(a2+b2)k+1sinkθcosθ+(a2+b2)coskθsinθ=Ak∙B1+A1Bk为整数．Bk+1=(a2+b2)k+1cos(k+1)θ=(a2+b2)k+1coskθcosθ－(a2+b2)k+1sinkθsinθ=BkB1－AkA1为整数．由数学归纳原理知对于一切n∈N*，An、Bn为整数．四．n2个正数排成n行n列aa11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n……an1an2an3an4……ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a24=1，a42=eq\f(1,8)，a43=eq\f(3,16)，求a11+a22+……+ann．(1990年全国高中数学联赛)分析由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比．解设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q．∴a44=2a43－a42=eq\f(1,4)．由a44=a24∙q2，得，q=eq\f(1,2).∴a12=a42∙q－3=1．∴d=eq\f(a14－a12,4－2)=eq\f(1,2)，∴a1k=a12+(k－2)d=eq\f(1,2)k(k=1，2，3，…，n)∴akk=a1kqk－1=eq\f(1,2)k·(eq\f(1,2))k－1=(eq\f(1,2))k·k．令Sn=a11+a22+…+ann．则S－eq\f(1,2)S=eq\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(k=1))eq\f(k,2k)－eq\o(\s\up15(n+1),Σ,\s\do6(k=2))eq\f(k－1,2k)=eq\f(1,2)+eq\o(\s\up15(n),Σ,\s\do6(k=2))eq\f(1,2k)－eq\f(n,2n+1)=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n+1)=1－eq\f(n+2,2n+1).∴S=2－eq\f(n+2,2n)．五．设棱锥M—ABCD的底面为正方形，且MA=MD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．解：取AD、BC中点E、F，则ME⊥AD，AB⊥MA，AB⊥AD，AB⊥平面MAD，∴平面MAD⊥平面ABC．∴ME⊥平面ABC．∴平面MEF⊥平面ABC．∵EF∥AB，故EF⊥平面MAD，∴平面MEF⊥平面MAD．∵BC⊥EF，BC⊥ME，∴BC⊥平面MEF，∴平面MEF⊥平面MBC．设AB=a，则ME=eq\f(2,a)，MF=eq\r(a2+\f(4,a2))．a+eq\f(2,a)≥2eq\r(2)，eq\r(a2+\f(4,a2))≥2．取△MEF的内切圆圆心O，作OP⊥EF、OQ⊥ME，OR⊥MF，由于平面MEF与平面MAD、ABC、MBC均垂直，则OP、OQ、OR分别与平面ABC、MAD、MBC垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD、ABC、MBC都相切，设此球的半径为r，则∴r=eq\f(1,2)(a+eq\f(2,a)－eq\r(a2+\f(4,a2)))≤eq\f(2,a+eq\f(2,a)+eq\r(a2+\f(4,a2)))≤eq\f(1,eq\r(2)+1)=eq\r(2)－1．等号当且仅当a=eq\f(2,a)，即a=eq\r(2)时成立．作QH⊥MA，由于OQ∥AB，故OQ∥平面MAB，故球心O与平面MAB的距离=QH，当AB=eq\r(2)，ME=eq\r(2)，MA=eq\f(\r(10),2)，MQ=eq\r(2)－(eq\r(2)－1)=1．∵△MQH∽△MAE，∴eq\f(QH,MQ)=eq\f(AE,MA)，QH=eq\f(MQ·AE,MA)=eq\f(1·\f(\r(2),2),\f(\r(10),2))=eq\f(\r(5),5)>eq\r(2)－1．即O与平面MAB的距离>r，同理O与平面MCD的距离>r．故球O是放入此棱锥的最大球．∴所求的最大球半径=eq\r(2)－1．

第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．证明∵O为⊿ABC的外心，∴OA=OB．∵O1为⊿PAB的外心，∴O1A=O1B．∴OO1⊥AB．作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB交于点F，连DE，则1=2=3，EPD=BPF，∴PFB=EDP=90．∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形．∴O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．同理，O2O4过PO中点．∴OP、O1O3、O2O4三直线共点．二．(本题满分35分)设E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}eq\o(\s\up4(),\s\do3())E．且G具有下列两条性质：⑴对任何1≤i<j≤100，恒有ai+aj≠201；⑵eq\s\do4(\o(\s\up15(100),Σ,\s\do6(i=1)))ai=10080．试证明：G中的奇数的个数是4的倍数．且G中所有数字的平方和为一个定数．证明：⑴取100个集合：{ai，bi}：ai=i，bi=201－i(i=1，2，…，100)，于是每个集合中至多能取出1个数．于是至多可以选出00个数．现要求选出100个数，故每个集合恰选出1个数．把这100个集合分成两类：①{4k+1，200－4k}；②{4k－1，202－4k}．每类都有50个集合．设第①类选出m个奇数，50－m个偶数，第②类中选出n个奇数，50－n个偶数．于是1∙m+0∙(50－m)+(－1)∙n+2∙(50－n)≡10080≡0(mod4)．即m－3n≡0(mod4)，即m+n≡0(mod4)∴G中的奇数的个数是4的倍数．⑵设选出的100个数为x1，x2，…，x100，于是未选出的100个数为201－x1，201－x2，…，201－x100．故x1+x2+…+x100=10080