2023-2024学年重庆市开州区中考数学模试卷含解析

2023-2024学年重庆市开州区中考数学模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在△ABC中，点D在BC上，DE/7AC,DF/7AB,下列四个判断中不正确的是（）

A.四边形AE1DF是平行四边形

B.若NBAC=90。，则四边形AEDF是矩形

C.若AD平分/RAC,则四边形AEDF是矩形

D.若ADJLBC且AB=AC,则四边形AEDF是菱形

2.（2011贵州安顺，4,3分）我市某一周的最高气温统计如下表:

最高气温（℃）25262728

天数1123

则这组数据的中位数与众数分别是（）

A.27,28B.27.5,28C.28,27D.26.5,27

3.如图，点。在第一象限，与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0,2）,B（0,8）,则点0,的坐标是（）

A.15B.12C.9D.6

5.下列命题正确的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

6.已知二次函数y=+41+5的图象如图所示，若4（-3,yJ,B（0,y2）,C（l,必）是这个函数图象上的三点,

则＞?为内的大小关系是（）

A.)']<必<、3%〈凶<乃C・<y)<y2D.J(<<j2

7.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为D,AB=c,ZA=a,则CD长为()

A.c*sin2aB.c*cos2aC.c*sina*tanaD.c*sina*cosa

8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45。方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位

于灯塔P的北偏东30。方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为（）

A.60GnmileB.60nmileC.30nmileD.30nmile

9.在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（）

<5K>c.D.

10.已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为

A・6B.7C.8D.9

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

k-2

11.反比例函数——的图像经过点（2,4）,则k的值等于.

x

BC

12.如图，矩形ABCD中，如果以AB为直径的OO沿着滚动一周，点A恰好与点C重合，那么工的值等于

AB

.（结果保留两位小数）

13.已知。1=—,。2=—,。3=-,a4=----,“5=---，…，则=.（〃为正整数）.

25101726

14.分解因式：~y=.

15.如怪，△ABC内接于。O,AB为（DO的直径，ZCAB=60°,弦AD平分NCAB,若AD=6,则AC=

16.函数y=Jx-2的定义域是________.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1,1）,B（4,2）,C（3,4）.请画出△ABC向左平移5个单

位长度后得到的△A】C.；请画出△ABC关于原点对称的△A.B.C、；在X轴上求作一点P,使△PAB的周长

最小，请画出APAB,并直接写出P的坐标.

18.(8分)如图，在梯形中，40//〃。，从〃=£＞。=5,/\。_1,〃。=9,点〃为边9。上一动点，作〃〃_1£＞。,

垂足”在边QC上，以点尸为圆心，PH为半径画圆，交射线PB于点E.

(1)当圆尸过点4时，求圆P的半径；

(2)分别联结E”和E4,当时，以点8为圆心，「为半径的圆3与圆P相交，试求圆8的半径「的

取值范康；

(3)将劣弧石〃沿直线E”翻折交于点尸，试通过计算说明线段E”和所的比值为定值，并求出次定值.

19.(8分)已知：如图，AB为。O的直径，C是BA延长线上一点，CP切。。于P,弦PD_LAB，于E,过点B作

BQ_LCP于Q,交OO于H,

(1)如图1,求证：PQ=PE；

(2)如图2,G是圆上一点，ZGAB=30°,连接AG交PD于F,连接BF,若tanNBFE=3G，求NC的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，PD=6x/3，连接QC交BC于点M,求QM的长.

20.(8分)在平面直角坐标系中，一次函数y=-3x+b的图象与反比例函数)，=4(1#0)图象交于A、B两点,

4x

BF,求△ABF的面积.根据图象，直接写出不等式—+&的解集.

4x

1L

21.（8分）如图所示，直线y=^x+2与双曲线y:一相交于点A（2,n）,与x轴交于点C.求双曲线解析式；点P在x

2x

轴上，如果AACP的面积为5,求点P的坐标.

22.（10分）武汉二中广雅中学为了进一步改进本校九年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣.校教务处在九年级

所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查：我们从所调查的题目中，特别把

学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“区-比较喜欢”、“C-不太喜欢”、“很不

喜欢％针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计.现将统计结果

绘制成如下两幅不完整的统计图.

所抽取学生对数学学习喜欢程度的调苣统计表

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是—，图②中A所在扇形对应的圆心角是一；

（3）若该校九年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人?

23.（12分）如图，AABC是等腰三角形，AB=ACtNA=36.

（1）尺规作图：作D8的角平分线30,交AC于点。（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）判断BCD是否为等腰三角形，并说明理由.

24.如图所示，已知NCFE+NBDC=180°,NDEF=NB,试判断44即与N4C8的大小关系，并说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

A选项，•・•在AABC中，点D在BC上，DE/7AC,DF/7AB,

/.DE/7AF,DF/7AE,

・•・四边形AEDF是平行四边形；即AjH确；

B选项，•・•四边形AEDF是平行四边形，ZBAC=90°,

，四边形AEDF是矩形；即B正确；

C选项，因为添加条件“AD平分NBAC”结合四边形AEDF是平行四边形只能证明四边形AEDF是菱形，而不能证明

四边形AEDF是矩形；所以C错误；

D选项，因为由添加的条件“AB=AC,ADJ_BC”可证明AD平分NBAC,从而可通过证NEAD:NCAD:NEDA证得

AE=DE,结合四边形AEDF是平行四边形即可得到四边形AEDF是菱形，所以D正确.

故选C.

2、A

【解析】

根据表格可知：数据25出现1次，26出现1次，27出现2次，28出现3次，

，众数是28,

这组数据从小到大排列为：25,26,27,27,28,28,28

・,•中位数是27

，这周最高气温的中位数与众数分别是27,28

故选A.

3、D

【解析】

过O,作6CLAB于点C,过。作。DJ_x轴于点D,由切线的性质可求得。D的长，则可得OT的长，由垂径定理

可求得CB的长，在RSCTBC中，由勾股定理可求得6C的长，从而可求得6点坐标.

【详解】

如图，过O,作O(_LAB于点C,过O,作O，D_Lx轴于点D,连接OB,

,・・o为圆心，

.*.AC=BC,

VA(0,2),B(0,8),

/.AB=8-2=6,

AAC=BC=3,

.*.OC=8-3=5,

・・,G)O,与X轴相切，

A(),D=O,B=OC=5,

在RtAOrBC中，由勾股定理可得O'C=折届百三=庐3=4,

・,・「点坐标为(4,5),

故选：D.

【点睛】

本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握切线的性质和坐标计算.

4、A

【解析】

根据三角函数的定义直接求解.

【详解】

在RSABC中，ZC=90°,AC=9,

VsinZ?=—,

AB

・・・9-=—3，

AB5

解得AB=1.

故选A

5、C

【解析】分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.

详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；

对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；

对角线互相垂直且相等的平行四功形是正方形：

故选：C.

点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉

课本中的性质定理.

6、A

【解析】

先求出二次函数的对称轴，结合二次函数的增减性即可判断.

【详解】

4

解：二次函数y=+4X+5的对称地为直线工二一丁1R=2,

2x(-1)

•・•抛物线开口向下，

・••当x<2时，y随x增大而增大，

•••y<为<必

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了根据自变量的大小，比较函数值的大小，解题的关键是熟悉二次函数的增减性.

7、D

【解析】

根据锐角三角函数的定义可得结论.

【详解】

BC

在朋△ABC中，ZACB=9()°,AB=c乙4=。，根据锐角三角函数的定义可得si〃a二—

tAB

••BC=c*sinat

•・・NA+NB=90。，NDCB+NB=90。,

»*•NDCB=NA=a

在次ADCS中，ZCDB=900,

CD

*»cosZ.DCB=-----,

BC

99

CD=BCcosa=c*sinacosaf

故选I).

8、B

【解析】

如图，作P£J_A〃于E.

在RtAPAE中，•:ZPAE=45°fPA=6dnmile,

五

/.PE=AE=-----x60=30^2n〃i"e，

在RtAPBE中,VN6=30。，

PB=2PE=60V2〃mile.

故选B.

9、D

【解析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A.不是中心对称图形，本选项错误;

B.不是中心对称图形，本选项错误；

C.不是中心对称图形，本选项错误；

D.是中心对称图形，本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

10、A

【解析】

试题分析：根据多边形的外角和是310。，即可求得多边形的内角的度数为720。，依据多边形的内角和公式列方程即可

得(n-2)180°=720°,解得:n=l.

故选A.

考点：多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1

【解析】

b-2k-2

解：・・•点（2,4）在反比例函数），=—的图象上，・・・4=,即A=l.故答案为1.

x2

点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.

12、3.1

【解析】

分析：由题意可知；〃。的长就是。。的周长，列式即可得出结论.

详解：・・•以A8为直径的。。沿着滚动一周，点8恰好与点C重合，・・・8C的长就是。。的周长，・・・7r・A3=5C,

・BC.

»•-----=ir^3・l•

AB

故答案为3.1.

点睛：本题考查了圆的周长以及线段的比.解题的关键是弄懂RC的长就是。。的周长.

2〃+1

13、

»2+1

【解析】

观察分母的变化为〃的1次基加1、2次幕加1、3次累加1…，〃次嘉加1；分子的变化为：3、5、7、9...2//+1.

【详解】

・.357911

解:Vai=—,ai=—,03=—，04=—，as=一，

25101726

2/7+1

"+1

2724-1

故答案为:

/?2+1'

【点睛】

本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案.

14、y(x+1)(x-1)

【解析】

观察原式―-)，，找到公因式y后，提出公因式后发现X2」符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得.

【详解】

解：^y-y

=y(x2-1)

=y(x+1)(x-1).

故答案为：j(x+1)(x-1).

【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式

分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15、273

【解析】

首先连接BD,由AB是。。的直径，可得NC=ND=90。，然后由NBAC=60。，弦AD平分NBAC,求得NBAD的度

数，又由AD=6,求得AR的长，继而求得答案.

【详解】

解：连接BD,

「AB是OO的直径，

AZC=ZD=90°,

VZBAC=60,弦AD平分NBAC,

:.ZBAD=-ZBAC=30°,

2

*一AD厂

・••在RtAABD中，AB=--------?=4,3,

cos30

:.在RtAABC中，AC=AB-cos60°=4石x万=2石.

故答案为26.

16、x>2

【解析】

根据二次根式的性质，被开方数大于等于0,可知：x-l>0,解得x的范围.

【详解】

根据题意得：x-l>0,

解得：x>l.

故答案为：x>2.

【点睛】

此题考查二次根式，解题关键在于掌握二次根式有意义的条件.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)图形见解析；

(2)图形见解析；

(3)图形见解析，点P的坐标为：(2,0)

【解析】

(1)按题目的要求平移就可以了

关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可

(3)AB的长是不变的，要使APAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找

一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与

另一点.

【详解】

(1)AAiBiCi如图所不;

(2)AAzB2c2如图所示：

(3)APAB如图所示，点P的坐标为：(2,0)

【点睛】

1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用

18、(1)x=l(2)-<r<—(1)—=

28EF3

【解析】

3

(1)作AM_LBC、连接AP,由等腰梯形性质知BM=4、AM=1,据此知tanB=tanC=一,从而可设PH=lk,则CH=4k、

4

PC=5k,再表示出PA的长，根据PA=PH建立关于k的方程，解之可得；

(2)EhPH=PE=lk>CH=4k,PC=5k及BC=9知BE=9-8k,由△ABEs/iCEH得竺二乌,据此求得k的值，从而

BECH

得出圆P的半径，再根据两圆间的位置关系求解可得；

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQ_LEG、HN_LBC,先证△EPQ^APHN得EQ=PN,由PH=lk、

3416129

HC=4k,PC=5k^flsinC=-、cosC=-,据此得出NC=-k、HN=-k及PN=PC-NC=-k,继而表示出EF、EH

的长，从而出答案.

【详解】

⑴作AM_LBC于点M,连接AP,如图1,

H

B

图1

二•梯形ABCD中，AD//BC,KAB=DC=5>AD=1>BC=9,

ABM=4,AM=1,

3

..tanB=tanC=—,

4

VPH1DC,

，设PH=lk,贝lJCH=4k、PC=5k,

VBC=9,

/.PM=BC-BM-PC=5-5k,

:.AP2=AM2+PM2=9+(5-5k)2,

VPA=PH,

/.9+(5-5k)2=9k2,

解得：k=l或k=’,

o

17RS

当1€=q-时，CP=5k=^->9,舍去;

8x

Ak=l,

则圆P的半径为1.

(2)如图2,

图2

由(1)知，PH=PE=lk>CH=4k.PC=5k,

VBC=9,

ABE=BC-PE-PC=9-8k,

VAABE^ACEH,

.AfiCF.5Xk

••'=9BRpn=—-9

BECH9一弘4k

13

解得：k=?,

Io

々939

则PH=^,即圆P的半径为n，

1616

,・,圆B与圆P相交，且BE=9-8k=-,

2

559

—<r<一

28

⑴在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQ_LEG于G,HN_LBC于N,

图3

贝|JEG=EF、N1=N1、EQ=QG、EF=EG=2EQ,

/.ZGEP=2Z1,

VPE=PH,

r.zi=Z2,

.\Z4=Z1+Z2=2Z1,

AZGEP=Z4,

/.△EPQ^APHN,

AEQ=PN,

由⑴知PH=lk、HC=4k>PC=5k,

.34

..sinC=~、cosC=—，

55

.1612

ANC=—k、HN=­k,

55

9

APN=PC-NC=-k,

5

AEF=EG=2EQ=2PN=yk,EH=《HN〜EN?=^~k,

.EH2y/5

••-----=------9

EF3

故线段EH和EF的比值为定值.

【点睛】

此题考查全等三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键在于作辅助线.

19、(1)证明见解析(2)30°(3)QM=^^

5

【解析】

试题分析：

(1)连接OP,PB,由已知易证NOBP=NOPB=NQBP,从而可得BP平分NOBQ,结合BQJ_CP于点Q,PE1AB

于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；

(2)如下图2,连接OP,则由已知易得NCPO=NPEC=90。，由此可得NC=NOPE,设EF=x,则由NGAB=30。，

NAEF=90。可得AE=VIr，在RSBEF中，由tanNBFE=36可得BE=3>Ax，从而可得AB=4Gx，贝U

OP=OA=2x/3x,结合AE=0可得OE=&,这样即可得到sinZOPE=—=-,由此可得NOPE=30。,贝l」NC=3。。；

(3)如下图3,连接BG,过点O作OK_LHB于点K,结合BQJ_CP,ZOPQ=90°,可得四边形POKQ为矩形.由

此可得QK=PO,OK〃CQ从而可得NKOB=NC=30"；由己知易证PE=3\^，在RtAEPO中结合(2)可解得PO=6,

由此可得OB=QK=6；在RtAKOB中可解得KB=3,由此可得QB=9；在^ABG中由已知条件可得BG=6,ZABG=60°；

过点G作GN_LQB交QB的延长线于点N,由NABG=NCBQ=60。,可得NGBN=60。,从而可得解得GN=3G，BN=3,

由此可得0N=12,则在RtABGN中可解得0G=3M，由NABG=NCBO=60"可知△BOG中BM是角平分线，由此

可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.

试题解析：

(1)如下图1,连接OP,PB,「CP引OO于P,

・・・OP_LCP于点P,

又・・・BQ_LCP于点Q,

AOP/7BQ,

AZOPB=ZQBP,

VOP=OB,

/.ZOPB=ZOBP,

.\ZQBP=ZOBP,

又•・・PE_LAB于点E,

.•・PQ=PE；

Q

H

(2)如下图2,连接O〃，：CP切OO于P,

・•・NOPC=NOPQ=90。

AZC+ZCOP=90°

VPD±AB

JZPEO=ZAEF=ZBEF=90°

・•・/EPO+NCOP=90。

・•・/C=/EPO

在RtAFEA中,NGAB=30。

:.设EF=x,则AE=E/+tan30°=恳

在RtAFEB中,tanNBFE=373

:.BE=EFtanNBFE=3瓜

:.AB=AE+BE=4瓜

:.AO=PO=2瓜

EO=AO-AE=43X

EOi

，在RtNPEO中，sinZEPO=——=-

PO2

・•・ZC=ZEPO=30°；

R12

⑶如下图3,连接BG,过点O作OK_L”8于K,又BQ_LCP,

/.Z1OPQ=ZQ=NOKQ=90°,

，四边形POKQ为矩形，

.\QK=PO,OK//CQ,

，NC=NKO8=30。，

V0O中PD_LAB于E,PD=66,AB为。O的直径，

.,.PE二-PD=3V3

J

PF

根据⑵得/EPO=30。，在Rt』EPO中，cosZEPO=,

・•・PO=PE+cosZEPO=3&cos30°=6,

AOB=QK=PO=6,

KR

二在RtMQB中，sin/KOB=——，

OB

：./CB=(9Bsin3O°=6x1=3,

2

AQB=9,

在AABG中，AB为。O的直径，

AZAGB=90°,

VZBAG=30°,

/.BG=6,ZABG=60°,

过点G作GN_LQB交QB的延长线于点N,则NN=90。，ZGBN=1800-ZCBQ-ZABG=60°,

ABN=BQcosZGBQ=3,GN=BQsinZGBQ=373，

/.QN=QB+BN=12,

.••在RtAQGN中，QG=7122+(3>/3)2=35/19，

VZABG=ZCBQ=60°,

・・・1^1是4BQG的角平分线，

AQM：GM=QB：GB=9：6,

・・・QM=—x3M=.

155

s>

点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、BG的长及

NCBQ=NABG=60。；（2）再过点G作GN1QB并交QB的延长线于点N,解出BN和GN的长,这样即可在RtAQGN

中求得QG的长，最后在△BQG中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM的长了.

33-6

20、(1)y=--x+-,j=—;(2)12;(3)xV-2或0VxV4.

42x

【解析】

（1）将点4坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点8坐标，即可求

△尸的面积；（3）直接根据图象可得.

【详解】

3k

（1）・・•一次函数y=——x+》的图象与反比例函数y=—（对0）图象交于A（-3,2）、8两点,

4x

3=--X(-2)+bfk=-2x3=-6

3

h=——,k=-6

，一次函数解析式），=・gx+g,反比例函数解析式），=a

（2）根据题意得：

占二4

再=-2

解得：

Ji=3

（3）由图象可得：工V・2或0〈工<4

【点睛】

本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的

关键.

6222o

21、(1)》=一；(2)(一一,0)或一7‘°

x3

【解析】

(D把八点坐标代入直线解析式可求得〃的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得上的值,

可求得双曲线解析式；

(2)设P(x,0)，则可表示出尸C的长，进一步表示出△AC尸的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得P点的

坐标.

【详解】

解：(1)把A(2,〃)代入直线解析式得：〃=3,

：.A(2,3),

把4坐标代入产“，得A=6,

x

则双曲线解析式为尸9.

X

(2)对于直线尸;x+2,

令产0,得到x=4即C(-4,0).

设P(x,0),可得PC=|x+4|.

「△ACP面积为5,

Ay|x+4|*3=5,BP|x+4|=2,

解得：广・：2或22,

33

则,坐标为(一g，。)或-y-»0^.

22、(1)答案见解析；(2)B,54。；(3)240人.

【解析】

(1)根据D程度的人数和所占抽查总人数的百分率即可求出抽查总人数，然后利用总人数减去A、B、D程度的人