2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题22 实数全章六类必考压轴题含解析

2023.2024学年七年级数学下册举一反三系列专题2.2实数全章六类

必考压轴题

【人教版】

必考点11算术平方根的双重非负性

1.若有理数x,y满足y=W-3+-％+1,则％+y的值是（）

A.3B.±4C.4D.±2

2.当x等于（）时，一3-淳有最（）值.

A.2,小B.2,大C.±2,小D.±2,大

3.在实数范围内，代数式|"一（%+5/-2|-3|的值为（）

A.IB.2

C.3D.以上答案都不时

4.已知a、b、c满足+b-4+|a-c+2|=7b-C-b,则a+b+c的平方根为

5.若|2021-a|+Va-2025=G,则a-202"的值为.

6.若72x—6+\y-12|=0,求，^的平方根是.

7.已知实数“、b、c满足Vb-4+|a+1|=7b-c+&-b

（1）求证：b=c；

（2）求一a+h+c的平方根.

必考点2无理数的估算

1.已知43?=1849,44?=1936,452=2025,462=2116.若九为整数且r?<V2021<n+1,则n的值为（

A.43B.44C.45D.46

2.若无理数%="+6，则估计无理数x的范围正确的是（）

A.2Vx<3B.3<x<4C.4<x<5D.5Vx<6

3.已知〃?是整数，当|〃L标|取最小值时，小的值为（）

A.5B.6C.7D.8

4.3表示不大于k的最大整数，如［3.151=3,［-2.7］=-3,⑷=4,则模迎反串泮变药码的值为

（）

A.1011B.2021C.2022D.1012

5.对于实数a,我们规定，用符号［口］表示不大于伤的最大整数，称［6］为Q的根整数，例如：［圾］=3,

［x/10］=3.我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：［遍］=2t［或］=1.若对%连续

求两次根整数后的结果为1,则满足条件的整数”的最大值为（）

A.5B.10C.15D.16

6.我们在初中已经学会了估算后的值，现在用即表示距离返最近的正整数.（〃为正整数）比如：的表示

距离”最近的正整数，.・・%=1；。2表示距离四最近的正整数，・・・。2=1；%表示距离K最近的正整数，

/.a3=2……利用这些发现得到以下结论：

①de=2；②a”=2时，〃的值有3个；③%—出+—+。9一。1（）=0；a4--a+•••H——=20；⑤当

l2alO0

工+2+-+2=100时，〃的值为2550.

ala2an

五个结论中正确的结论有（）个.

A.2B.3C.4D.5

7.若整数“满足3+帼4%工病+2,则%的值是.

8.对于任何实数〃，可用［Q］表示不超过。的最大整数，如［4］=4,［V5］=l.现对72进行如下操作：72

第一次|夕2|=8笫二次|我|=2第三次|或|=1,类似地，只需.进行3次操作后变为I的所有壬整数中，最

大的是.

必考点3N探究平方根和立方根的规律

1.如卜.表，被开方数〃和它的算术平方根a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得机，〃的值

分别为（）

a0.06250.6256.2562.5625625062500625000

a0.250.791mn2579.1250791

A.m=0.025,n«7.91B.m=2.5,n=7.91C.m«7.91,n=2.5D.m=2.5,n«0.791

2.观察被开方数。的小数点与立方根窗的小数点的移动规律，填空:

a0.001110001000000

0.1110100

已知证*1.817,贝1J恂而、

3.我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如C等，有些数则不能直接求得，如石，但可以通过计

算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：

a••・0.04440040000•••

而•・・X2yZ,..

(1)表格中的三个值分别为：x=：y=；z=；

(2)用公式表示这一规律：当1=4x100〃(〃为整数)时，，伞=；

(3)利用这一规律，解决下面的问题：

已知低双42.358,则①dO.O556P:②A/55600P.

4.为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下

表中.

(1)请你帮助闫老师将表格内容补充完整；

表1.

第1组第2组笫3组第4组第5组第6组第7组

..x/0.01VD?TVT国V100VioooV10000..

..0.10.316—3.16—31.6—..

(2)请你仿照表1中的规律，将表2补充完整.

表2.

第1组第2组第3组第4组第5组第6组

..V03百V30V300V3000..

..0.17320.5477—5.477——..

(3)通过表1和表2,你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现.

(提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、

第4组、第6组中的被开方数和结果).

5.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如机，有些数则不能直接求得，如V5,但可以通过计

算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：

n160.160.00161600160000・・.

4X0.04y400•••

(1)表格中x=；1y=；

(2)从表格中探究〃与迎数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题:

①已知7^=1,435,则两人；

②已知,3.3489=1.83,若近=0.183,则x=.

6.【初步感知】

⑴直接写出计算结果.

①旧=;

②+23=;

③+23+33=;

©V13+24+33+43=

【深入探究】观察下列等式.

①1+2=。+产

②1+2+3=”户

③1+2+3+4=生詈：

@l+2+3+4+5=^|^；

根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容.

/c\(1+2022)x2022

(2)=-----------；

(3)1+2+3+…+7i+(ri+1)=»

【拓展应用】计算：

(4)〃3+23+33+…+993+1003.

(5)113+123+133+…+193+203.

7.数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上自道智力题：求59319的立方根，

华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道怎样迅速地求出计算结果吗？请你按

下面的步骤试一试.

第一步：VV1000=10,71000000=100,且lOOOV59319VlOOOOOO

/.10<V59319<100,即59319的立方根是一个两位数.

第二步：・・,59319的个位数字是9,而93=729.

:.能确定短页词的个位数字是9.

第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59,而27V59V64.

V27<V59<闹，可得30<V59319<40.

•••59319的立方根的十位数字是3.

・•・59319的立方根是39.

根据上面的材料解答卜面的问题：

(1)填空：1728的立方根是一个_____位数，其个位数字是；

(2)仿照上面的方法求157464的立方根”，并验证。是157464的立方根.

8.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如〃，有些数则不能直接求得，如但可以通过计

算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：

n160.160.00161600160000•••

40.40.0440400・,.

(I)表中所给的信息中，你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来)

(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知之心丽亡1.435,求下列各数的算术平方根:

©V0.0206«；@V206«；

(3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知返«1.260,则恼而«.

必考点4利用“夹逼法"求整数部分和小数部分

1.对于任意实数%,%均能写成其整数部分凶与小数部分{灯的和，其中[刈称为％的整数部分，表示不超过工

的最大整数，{灯称为》的小数部分，即x=[X]+{4}.比如1.7=[1.7]+{1.7}=1+0.7,[1.7]=1.{1.7]=0.7,

-1.7=[-1,7]+{-1.7]=-2+0.3,[-1.7]=-2,{-1.7}=0.3,则下列结论正确的有()

①{一?=《②04{x}<1；③若{%-2}=0.3,则％=2.3；@{x}+{y}={x+y)+1对一切实数％、y均成

•J

立；⑤方程{x}+g}=1无解.

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.我们知道b是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于

1<V3<2,所以百的整数部分为1,小数部分为V5-1.根据以上的内容，解答下面的问题：若夕的小

数部分为m相的整数部分为b,则a+b-近的值是.

3.观察：因为标V时<M，耳2c遍<3,所以V5的整数部分为2,小数部分为—2.

请你观察上述规律后解决下面的问题：

(1)规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：用=0,[伺=2.按此规定，那么[同+1]的值为

(2)若VH的整数部分为a,小数部分为4|c|="T,求。(。--6)+12的值.

4.如图，每个小正方形的边长均为L

(1)图中阴影部分的面积是;阴影部分正方形的边长Q是

(2)估计边长a的值在两个相邻整数与之间.

(3)我们知道兀是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此兀的小数部分我们不可能全部写出*,我们可以

用3来表示它的整数部分，用6-3)表示它的小数部分.设边长a的整数部分为％,小数部分为y,求(x-y)

的相反数.

5.阅读材料：实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分

与小数部分确定方法存在区别：

①对于正实数，如实数9.23,在整数9〜10之间，则整数部分为9,小数部分为9.23-9=0.23.

②对于负实数，如实数一9.23,在整数一10--9之间，则整数部分为一10,小数部分为-9.23-(-10)=0.77.

依照上面规定解决下面问题：

(1)已知近的整数部分为a,小数部分为人求a、b的值.

(2)若x、y分别是10-g的整数部分与小数部分，求3。+后)的值.

(3)设％=而+1,a是x的小数部分，b是-x的小数部分，求(a+8)2的值.

6.先阅读下面材料，再解答问题：

材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而

零与无理数的积为零.由此可得：若a+b标=0,其中小。为有理数，标是无理数，贝必=0,匕=0.

证明：・・・Q+b标=0,a为有理数

.3A/沅是有理数

•.Z为有理数，布是无理数

工匕=0

.*.a+Ox/m=0

.*.a=0

(1)若a+b6=3+6，其中a、〃为有理数，请猜想a=,b=,并根据以上材料证明

你的猜想；

⑵已知41的整数部分为a,小数部分为4且4,y为有理数，My,a,》满足lly+E(y-6Tx)=(b+

2)VTT+a，n,求工,)，的值.

7.下面是小李同学探索5而的近似数的过程：

;面积为107的正方形边长是同7,且10<V而<11

工设/而=10+工，其中0<x<l,画出如图示意图，

;图中S近女=102+2x10・x+VS正方行107

・•・1。2+2x10十107

当『较小时，省略/，得20¥+100之107,得到x=0.35,即10.35.

(1)、/兀的整数部分是：

⑵仿照上述方法，探究质的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)

必考点5N与实数运算相关的规律题

I.计算下列各式：

(I)"+23=;

(2)Vl3+23+33=；

(3)Vl3+23+33+43=；

(4)Vl3+23+33+43+53=；

(5)Vl3+23+33+-+203=；

(6)猜想“3+23+33+...+"=.(用含口的代数式表示)

2.观察下列各等式及验证过程：

险证后1=底==3备

展一＞=［器验证-3==罟

朋一》=摩'验证

针对上述各式反映的规律，写出用〃(〃为正整数)表示的等式一

3.观察下列等式，并回答问题:

®|1-V2|=5^-1;

@\42-V3|=V3—>/2；

@|\^3—V4|=x/4—V3；

@|\/4—V5|=V5-V4；

(1)请写出第⑤个等式：，化简：|闻一6|=；

(2)写出你猜想的第〃个等式：；(用含〃的式子表示)

(3)比较宇与1的大小.

4

4.先观察下列等式，再回答问题：

①小+3+*=1+:7^=0

②J1+专+专=1+；-8=1

③J1+卷+*=1+1

(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想Jl+?+4=.

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用〃的式子表示的等式：.

对任何实数〃可［0表示不超过〃的最大整数，如［4］=4,［网=1,计算：Jl+,+»/+,+,+

J1+或+3+…+J+点+衰的值

5.【观察】请你观察下列式子.

第I个等式：71=1.

第2个等式：/1T3=2.

第3个等式：“+3+5=3.

第4个等式：“+3+5+7=4.

第5个等式：“+3+5+7+9=5.

【发现】根据你的阅读回答下列问题：

(1)写出第7个等式.

(2)请根据上面式子的规律填空：“+3+5+-+(2九+1)=

(3)利用(2)中结论计算：(4+12+20+28+…+44+52.

6.已知一列数：4,a2,a3,a4,a5...an,满足对为一切正整数n都有

1_1111_111111_]

、/S7VS72、/a2a3\/574^2703

高+盍+/+高=儡'之+盍+*+忌+…成立'且％=I•

(1)求做，。3的值;

（2）猜想第几个数即（用几表示）：

(3)求相通+2a3+Ja3a4+…+J。2021a2022的值•

7.观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：

(I)(1x5+4=V9=3,

(2)(2x6+4=1/I6=4,

(3)V3x74-4=V25=5,

(4)(4x8+4=V36=6.

(I)观察算式规律，计算，5x9+4=:V19x23+4=.

(2)用含正整数九的式子表示上述算式的规律：.

(3)计算：11x5+4-《2x6+4+《3x7+4-《4x8+4+•••+72021x2025+4.

必考点6N与实数有关的应用O

1.如图①,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开,所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形.由

此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法.

（I）图②中4、B两点表示的数分别为,；

（2）请你参照上面的方法：

把图③中5XI的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形.在图③中画出裁剪线，并在图④的正方形网格中

画出拼成的大正方形，该正方形的边长。=.（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）

2.如图1,有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它翦拼成一个正方形.

(1)拼成的正方形的面积是,边长是：

(2)仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在

图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由.

图1图2

3.观察图形，每个小正方形的边长为1.

(1)则图中阴影部分的面积是，边长是.

(2)已知阴影正方形的边长为x,La<x<b,若。和是相邻的两个整数，那么Q=,b=.

(3)若设图中阴影正方形的边长为K,请在下面的数轴上准确地作出数.r所表示的点，若还有一人点H与它的

距离为1,则这个点8在数轴上所表示的数为.

IjI1III»

-1012345

4.动手试一试：

图I是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图中的虚线AB，8C将它剪开后，重新拼成一个

大正方形ABCD.

图1IS2

(1)在图1中，拼成的大正方形ABCD的面积为，边AD的长为；

(2)知识运用：现将图1水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点8与数轴上表示一1的点重

合，若以点B为圆心，8C边的长为半径画圆，与数轴交于点石，则点石表示的数是；

(3)变式拓展：图3是由25个边长均为I的小正方形组成的图形，

①你能从中剪出一个面积为13的大正方形(大正方形的顶点都在小正方形的顶点上)吗？若能，请在图中

画出示意图；若不能，请说明理由；

②在①的条件下，在图3中的数轴上标出原点，请你利用直尺和圆规在数轴上找出表示该大正方形边长的

点，并直接写出该点表示的数.

5.“说不完的鱼”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.

(1)正到底有多大?

卜.面是小欣探索鱼的近似值的过程，请补充完整：

我们知道面积是2的正方形边长是近，且鱼＞1.4.设&=1.4+工，画出如下示意图.

由面积公式，可得/+=2.

因为工值很小，所以/更小，略去/，得方程，解得%》—(保留到0.001),即迎k.

(2)怎样画出或？请一起参与小敏探索画企过程.

现有2个边长为1的正方形，排列形式如图(1),请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分

割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.

小敏同学的做法是：设新正方形的边长为依题意，割补前后图形的面积相等，有公=2,解得％=

鱼.把图（1）如图所示进行分割,请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形.

r丁r1

1i

1j

rnrnTn

1i

1i

—1—rn丁1

11

111J

rn~ir十.1

11

11

图⑴图⑵图(3)图(4)

请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3）,请把它们分割后拼接成一个新的正方

形.要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不

要求写分析过程.

专题2.2实数全章六类必考压轴题

【人教版】

必考点1N算术平方根的双重非负性

1.若有理数x,y满足y=〃-3+，3-％+1,则x+y的值是（）

A.3B.±4C.4D.±2

【分析】根据算术平方根的非负性，计算得出％=3,从而得出y=l,然后把小y的值相加，即可得出答案.

【详解】解：根据题意，可得：巴一3]?,

t3-x>0

解得x=3,

••y=1，

/.x+y=3+1=4.

故选：C.

2.当工等于（）时，一3-百二淳有最（）值.

A.2,小B.2,大C.±2,小D.±2,大

【分析】根据算术平方根的非负性得到-3-"W-3即可得到答案.

【详解】解：•・•瓦三正20，

A-V4^x2<o,

A-3-V4^x2<-3,

・•・当4一/=0,即％=±2时，-3—V?。7有最大值，

故选D.

3.在实数范围内，代数式||尸9+5尸-253|的值为（）

A.1B.2

C.3D.以上答案都不对

【分析】根据算术平方根的非负性，化简绝对值即可求解.

【详解】解：由二次根式被开方数大于等于0可知：-（x+5）2=0,

・•・原式=||0-2|-3|=|2-3|=|-1|=1.

故选：A.

4.已知〃、b、c满足"a+b—4+|a-c+2|=\/b-c+\/c-b,则a+b+c的平方根为.

【分析】利用非负数的性质求出小b,。的值，根据开平方，可得答案.

【详解】解：由题意得，b-c>0Rc-b>0,

:.匕>c且c>b,

••b-C>

:.da+b-4+|a-c+2|=7b-c+7c-b=0,

.,._.(a+b=4

由非负数的性质，得｛:二二3,即时。=一2，

一(h=c

a=1

解得b=3,

c=3

a+b+c=7,

・・・a+b+c的平方根是土夕.

故答案为：土汨

5.若|2021-a|+，a-2025=a,则a-20212的值为.

【分析】根据算术平方根的非负性求得a的范围，进而化简绝对值，根据算术平方根的意义即可求解.

【详解】解：112021—a|+—2025=a,a-2025>0,即aN2025,

A|2021-a|=a-2021,

••a—2021+Va—2025=a,

即Ya-2025=2021,

/.G-2025=20212,

Aa-20212=2025,

故答案为：2025.

6.若72x-6+\y-12|=0,求的平方根是.

【分析】根据非负数的性质列出方程求出％、y的值，代入所求代数式计算即可.

【详解】解:根据题意得：2x-6=0,y-12=0,

解得：x=3,y-12,

:.yjxy=y/3x12=V36=6,

二历的平方根是±遍.

故答案为：±75

7.已知实数a、b、c满足lb—4+|a+1|=V/—c+Jc-b

⑴求证：b=c；

（2）求-a+b+c的平方根.

【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；

（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0,求得a,b,c的值，进而求得一a+b+c的平方根.

【详解】（1）证明：*.*\!b-c>0,yjc—b>0,b-c>0,c—b>0,

•••b=c；

（2）解：vy/b-4+|a+1|=y/b-c+Vc-b,b=c,

•••Vb—4+|a—1|=0,

•••a=-l,b=4,

c=b=4,

-a+b+c=l+4+4=9,

9的平方根是±3.

必考点24无理数的估算

I.已知43?=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若"为整数且九<V2021<n+1,则兀的值为（）

A.43B.44C.45D.46

【分析】由题意可直接进行求解.

【详解】解:V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

A442<2021<452,

・・・44<V2021<45,

An=44；

故选B.

2.若无理数%="+遥，则估计无理数x的范围正确的是（）

A.2<x<3B.3<x<4C.4cx<5D.5Vx<6

【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题.

【详解】解：•♦•4<5<9

.,.V4<V5<V9

••-2<>/5<3

,V5+2〈返+眄

vV+-2

.-.4<2+V5<5

.-.4<x<5

故选：C.

3.已知，〃是整数，当|，〃-闻|取最小值时，机的值为()

A.5B.6C.7D.8

【分析】根据绝对值是非负数，所以不考虑切为整数，则|m-师|取最小值是0,又0的绝对值为0,令m-

>/40=0,得出m=同，再根据〃?是整数，找出最接近闻的整数可得：机=6.

【详解】解：因为-同|取最小值，

\m-V40|=0,

•••m—V40=0,

解得：m—V40,

vm2=40,

6<m<7,且m更接近6,

.•.当m=6时，|m—4而|有最小值.

故选：B.

4.⑶表示不大于x的最大整数，如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,则I痂⑶厮器”2。2.2022]的值为

()

A.1011B.2021C.2022D.1012

【分析】根据因表示不大于x的最大整数可得至=[VI3司=2,[H51]=3,…，

[V2021X2022]=2021,然后计算即可.

【详解】解：V[V1V2]=1,[72x3]=2,[V35C4]=3,…，[\/2021x2022]=2021,

.[-/1><2)+[>/2><3]+-+(72021x2022]

••1011

1+2+3+-+2021

二ion

^X(1+2O21)X2O21

1011

=2021

故选:B.

5.对于实数a,我们规定，用符引表示不大于西的最大整数，称[6]为a的根整数，例如；[内]=3,

［710］=3.我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：［6］=2T［或］=1.若对工连续

求两次根整数后的结果为1,则满足条件的整数x的最大值为（）

A.5B.10C.15D.16

【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案.

【详解】解：当尸5时，［而］=2->［得=1,满足条件；

当工=10时，［4司=3->［百］=1,满足条件；

当工=15时，［6］=3T［6］=1,满足条件；

当工=16时，［S%］=4T［C］=2,不满足条件；

・•・满足条件的整数3的最大值为15,

故答案为：C.

6.我们在初中已经学会了估算后的值，现在用Q”表示距离的最近的正整数.（〃为正整数）比如：%表示

距离近最近的正整数，.・・%=1；。2表示距离遮最近的正整数，・・・。2=1；。3表示距离逐最近的正整数，

Aa3=2……利用这些发现得到以下结论：

①。6二2;②Qn=2时，〃的值有3个；③即一0.2+。3-…+。9—Qio=0：④工+—+,*,H------=20;⑤当

aia2aioo

工+上+..•+•£=100时,〃的值为2550.

ala2an

五个结论中正确的结论有（）个.

A.2B.3C.4D.5

【分析】①根据%表示距离n最近的正整数，进行判断；②根据即=2,确定〃的值；③分别求出

进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规

律进行倒推，即可得解.

【详解】解：①。6表示距离乃最近的正整数，

a6=2；故①正确；

②/=2时，n=3,4,5,6,

・•・”的值有4个；故②错误；

•Q］=1,0,2=1,。3=2,Q4=2,a,=2,06=2,Q7=3,Qg=3,tig=3,a］。=3,

**-1-14-2----+3—3=0；故③正确；

•a1—I,。？=1,。3=2,。4=2,=2,=2,a7=3,—3,cig—3,a1。—3,

・・・2个1,4个2,6个3,8个4,…，

A-+-+--•+—=1x2+4xi+6x-+8xi+-+18x-+10x-=19；故④错误；

。2Qioo234910

(§)—+--+4--=100=50x2=2xl+4x：+6x：+・・,+100x—,

%a2an2350

An=2+4+6+-+100=x50=2550；故⑤正确；

综上：正确的是①⑨§),共3个；

故选B.

7.若整数“满足3+悔4%工匠+2,则%的值是.

【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数很和体的大小，进而得出3+%和屈+2的大小

即可.

【详解】解：,.•43=64,53=125,而64V65V125,

.*.4<765<5,

•••7<3+V65<8,

又：...82=64,92=81,而64<65V81,

:.8<V65<9,

:.10<V654-2<11,

又•.整数为满足3+V65<%<V65+2,

Ax=8或无=9或％=10,

故答案为：8或9或10.

8.对于任何实数小可用佃］表示不超过a的最大整数，如⑷=4,［何=1.现对72进行如下操作：72

第一次［g］=8第二次［我］=2第三次［闷=1,类似地，只需进行3次操作后变为I的所有王整数中，最

大的是.

【分析】根据规律可知，最后的取整是1，得出前面的一个数字最大的是3,再向前一步推取整式3的最大

数为15,继续回得到取整是15的最大数为225；反之验证得出答案即可.

【详解】解：•••［网=1,［>/15］=3,［V225|=15；

所以只需进行3次操作后变为I的所有正整数中，最大的是225

故答案为:225

必考点3'探究平方根和立方根的规律

1.如下表，被开方数〃和它的算术平方根逅的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得〃?，〃的值

分别为()

a0.06250.6256.2562.5625625062500625000

0.250.791mn2579.1250791

A.m=0.025,n«7.91B.m=2.5,n«7.91C.m«7.91,n=2.5D.m=2.5,n«0.791

【分析】根据算术平方根的定义解决此题.

【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍,

从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，

工可得：6.25的算术平方根为2.5.62.5的算术平方根约为7.91,

故选B.

2.观察被开方数。的小数点与立方根幅的小数点的移动规律，填空:

a0.001110001000000

0.1110100

已知泥、1.817,贝右

【分析】根据题中所给规律可直接进行求解.

【详解】解：由题意得:

VV6«1.817,

AV6000«18.17；

故答案为18.17.

3.我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如根等，有些数则不能直接求得，如花，但可以通过计

算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表：

a・・・0.04440040000・•・

•・・X2yz・..

(1)表格中的三个值分别为：％=；y=；z=

(2)用公式表示这一规律：当々=4x100〃(〃为整数)时，g

(3)利用这一规律，解决下面的问题：

已知«2.358,则①VO.O55a；②"55600=

【分析】(1)直接利用算术平方根定义计算填表即可；

(2)归纳总结得到一般性规律，然后求出遍的信即可:

（3）利用（2）得出的规律即可解答.

【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：x=0.2；y=20；z=200.

故答案为0.2；20；200.

（2）解：当Q=4X100n（〃为整数）时，Va=2xlOn.

故答案为2x10、

（3）解：若/5丽x2.358,则①-0.0556«0.2358：（2）755600x235.8.

故答案为:0.2358；235.8.

4.为了进一步研究算术平方根的特点，闫老师用计算器计算出了一些数的算术平方根，并将结果填在了下

表中.

（1）请你帮助闫老师将表格内容补充完整；

表1.

第1组第2组第3组第4组第5组第6组第7组

...Vo.oiVolaVioV100VioooV10000....

...0.10.316—3.16—31.6—...

（2）请你仿照表1中的规律，将表2补充完整.

表2.

第1组第2组第3组第4组第5组第6组

...V0.03V03V3V30x/300V3000...

...0.17320.5477—5.477——...

⑶通过表1和表2,你能发现什么规律？请用文字或符号概括你的发现.

（提示：如果没有思路，你可以先观察第1组、第3组、第5组、第7组中的被开方数和结果，再观察第2组、

第4组、第6组中的被开方数和结果）.

【分析】（1）根据表中的数据，可以发现数字规律，即可求得答案

（2）观察第1组、第3组、第5组中的被开方数和结果以及第2组、第4组、第6组中的被开方数和结果,

可得出答案

（3）根据（1）（2）中发现的规律解答即可

【详解】（1）解：根据题意，得近=1.455=Wioooo=100.

故答案为:1：10；100.

(2)解：已知^/5^3=0.1732,

V3=1.732,V300=17.32.

•.♦已知同=5.477,

V3000=54.77.

故答案为：1.732；17.32；54.77.

(3)解：通过观察表1和表2可发现，被开方数的小数点向左或向右移动2九位，算数平方根的小数点就随之

向左或向右移动九位.

5.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如U，有些数则不能直接求得，如行，但可以通过计

算器求.还有一种方法可以通过•组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：

n160.160.00161600I6(X)(X)・・・

4X0.04y400・・・

(1)表格中x=；y=；

⑵从表格中探究〃与近数位的规津，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知VZ而Y.435,则“20600y；

②已知，3.3489=1.83,若«=0.183,则工=.

【分析】(1)把n=0.16代入x=4求解叩可；把n=1600代入y-京求解即可；

(2)①根据被开方数小数点向右移动了4位，则算术平方根小数点向右移动两位求解;

②根据算术平方根小数点向左移动1位；则被开方数小数点向左移动了2位求解.

【详解】(1)解：当n=0.16时，x=Vn=V0.16=0.4,

当n=1006时，x=Vn=Vl600=40,

故答案为：0.4,40；

(2)解：①已知小访R.435,则，/20600I143.5；

故答案为：143.5；

②已知力3.3489=1.83,若依=0.183,则工=0.03489.

故答案为：0.03489.

6.【初步感知】

⑴直接写出计算结果.

①仔=;

②V13+23=：

③V13+23+33=;

刨2+24+33+43=;

【深入探究】观察下列等式.

①1+2=生衿

②1+2+3=111^：

③1+2+3+4=(1+；)“；

@1+2+34-4+5=

根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容.

Q)_(1+2022)x2022

(3)1+2+3+…+n+(九+1)=,

【拓展应用】计算：

(4)V13+23+334-+993+1003；

(5)113+123+133+…+193+203.

【分析】(1)直接计算即可：

(2)根据前4个式子的规律填空即可；

(3)根据规律可得1+2+3+・,-+/1+(〃+1)=("+1，+2)；

(4)根据(1)的计算可得原式=1+2+3+…+100；

33333333

(5)根据规律可得原式=(1+2+3+-+19+20)-(p+23+3+.-+9+10),再根据规律计算即可.

【详解】(I)解：①旧=1；

②Y13+23=3；

③V13+23+33=6；

④V13+24+33+43=10：

故答案为：①1②3③6010

(2)解：由规律可得：1+2+3+...+2022=5"/"",

故答案为：1+2+3+...+2022；

(3)解：1+2+3+♦••+〃+(〃+1)=(〃+】,+2).

故答案为：，+】芈+%

(4)解：原式-1+2+3+...+100-(1°"1*1°°=5050；

2

(5)解：原式=(13+23+33+-+193+203)-(13+23+33+-+93+103)

=(Vl3+23+-+203)2-(Vl3+23+...+103)2

=(1+2+...+20)2-(1+2+...+10)2

/21X20、?11X10i

=<—)2-<z—>x

=2*552

=41075.

7.数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求