2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题63 相似三角形的判定-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析

2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.3相似三角形的

判定•重难点题型

【苏科版】

”娠区初

”。苧三

【知识点1相似三角形的判定】

判定定理八八

判定定理1:简称为两角对应相等，两个三角形相似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如图，如果NA=NA',/B=NB=则

两个角对应相等，那么这两个三角形相似.△AHCs/WB'C.

简称为三边对应成比例，两个三角形相

判定定理2:

似.

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么

……ABBCAC

如图，如果——=——=——■,则

这两个三角形相似.AB'B'CA!C

简称为两边对应成比例且夹角相等，两

判定定理3:

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且个二角形相似.如图，如果=，

ABAC

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

NA=NA',则△ABCs出RC、

【题型1相似三角形的判定（判定定理1）］

【例I】（2021•越秀区校级二模〉如图，在△ASC中，四边形。6尸石是平行四边形.求证：AADEsAEFC.

上

【变式1-1］（2021•越秀区校级二模）如图，在△B4B中，点C、D在AB上，PC=PD=CD,4A=/BPD,

求证：AAPCSMBD.

【变式1-2］（2020秋•宁德期末）如图，在矩形A8CO中，点E是BC边上的点，ACIDE,垂足为尸.求

证：△ABCS/XES

【变式1-3］（2020秋•淮安期末）如图，在矩形ABC。中，E为4。上一点，ETLLEC交A8于凡连接产G

求证：XAEFsXDCE.

D

B

【题型2相似三角形的判定（判定定理2）］

【例2】根据下列条件,判断△A8C与aA'B'C是否相似，并说明理由

(1)AB=12,8c=15,AC=24,A'B'=25,B'C'=40,C'A'=20

(2)A8=3,8C=4,AC=5,A'B'=12,B'C=16,CrA'=20

【变式2-1］（202（）秋•南召县期中）如图，在△人8c和△/!'B'C中，D.D,分别是人8、/VB'上一

而时，判断△”共M"一是否相似，并说明理由.

【变式2・2】（2020秋•肥东县月考）如图，在矩形A8EF中，四边形A3C“、四边形COG"和四边形。E/G

都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由.

【变式2-3］如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△。七尸的顶点都在格点上，Pi、尸2、

P3、尸4、P5是△OEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）试证明△A8C为直角三角形；

（2）判断△ABC和△。石尸是否相似，并说明理由；

【变式3-2］（2021春•朝阳区校级期末）如图所示，在四边形A8C。中，C4是N8CQ的角平分线，且4C2

=CD・BC,求证：△ABCs^DAC.

D

【变式3-3］（2020秋•蜀山区校级期中）如图，在△A3C中，点。、E分别在A3、AC上，DE、8c的延

长线相交于点凡且EF・DF=CQBF.求证：△（?；48s△。从区

【题型4相似三角形的判定（多结论问题）】

【例4】（（2021•阿勒泰地区一模）如图，G,£分别是正方形ABCQ的边A3,8C上的点，且AG=CE,

AE1EF,AE=EF,现有如下结论：①8£=。“；②△AGE丝尸;③NFCD=45°；@AGBE^AECH.其

中，正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式4-1］（2020春•淄川区期末）如图，在正方形A6CQ中，£为。。的中点，P为BC边上一点、,在下

列条件中：

®ZAPB=ZEPC；②AB・PC=EC・BP；③P为8c的中点：④PB：BC=2：3.其中能得到△48。与4

ECP相似的是（）

D

A.①②③④B.①@④C.①②④D.②®

【变式4-2］（2020秋•南召县期中）如图，在△ABC中，DE//BC,AD：DB=I：2,DE=2,则下列叙述

正确的是（）

①8C=4；=士③‘"DE=」；④△AOFSAABC.

EC2SA.BC4

A.①②@@B.①②③C.①②④D.②®

【变式4-3]（2020秋•天心区期中）如图，在△/WC中，点。、七分别在边入仄4C上，下列条件中能判

断△48CS/\AE。的是（）

①NAED=NB；®ZADE=ZCi（3）^=—：.

A.①②B.①②③C.①②④D.①©③④

【题型5相似三角形的判定（网格问题）】

【例5】（2021春•芝景区期末）如图，小正方形的边长均为1,则A、B、C,。四个选项中的三角形（阴

影部分）与AA4c相似的是（）

BC

AOHB.C.D.

相似三角形有（）

D.4对

【变式5-2]（2020秋•鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、例、N都是方格中的格点（即小正方

形的顶点），要使△OEA'与△A8C相似，则点尸应是G、“、M、N中的（)

A.H或NB.G或HC.M或ND.G或M

【变式5-3]（2020秋•成华区期末）如图，在6X6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1,已知

RtZ\A8C是网格中的格点三角形，则该网格中与RtZ\ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是，

符合条件的格点三角形共有个.

【题型6相似三角形的判定（动点问题）】

【例6】（2021春•龙口市期末）如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=10cm,8c=8。〃.点M从点C

出发，以2cmJs的速度沿。向点A匀速运动，点N从点8出发，以lends的速度沿BC向点C匀速运

动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动.

2

（1）经过几秒后，△"（小的面积等于8c面枳的£?

KJ

（2）经过几秒，与△ABC相似？

【变式6-1］（2021春•濮阳期末）在△ABC中，AB=6cm,4c=%、/”，动点。从点6开始沿84边运动，

速度为动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2c加s.如果。，E两动点同时运动，那么当它

们运动s时，由。，A,E三点连成的三角形与AAB。相似.

A

B

【变式6-2]（2020秋•渭滨区期末）如图所示,在平行四边形。5C。中,NA=90°,AB=6cm,BC=12cm,

点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1c〃心，点/由点3出发沿8c方向向点C匀速移

动，速度为2c〃?/s,如果动点E尸同时从A,8两点出发，连接EF,若设运动时间为⑶解答下列问题:

（1）当，为多少时，△BEf'为等腰直角三角形；

（2）是否存在某一时刻/,使AEFBsAFDC?若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

【变式6-3]（2020秋•舒城县期末）如图，在△4BC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cv〃，点P从点4

出发沿边AC向点C以\cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其

中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.

（1）如果点P，。同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为&7/？

（2）如果点P,。同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

O

APC

专题6.3相似三角形的判定•重难点题型

【苏科版】

”片芦，?三

【知识点1相似三角形的判定】

判定定理八八

5lfttC

判定定理1:简称为两角对应相等,两个三角形相似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的如图，如果/A=NA\=,则

两个南对应相等，那么这两个三南形相似.

简称为三边对应成比例，两个三角形相

判定定理2:

似.

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么

mABBCAC

如图'如果A®"C'=AC',则

这两个三角形相似.

△ABCs/XAbC.

简称为两边对应成比例且夹角相等，两

判定定理3:

AD4r

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且个二角形相似.如图，如果=,

ABA（J

对应的夹角相等，那么这两个三角形相似.

/A=N/T,则AABCs/\4zrc’.

【题型1相似三角形的判定（判定定理1）】

[例I]（2021•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，四边形OBFE是平行四边形.求证：^ADE^/XEFC.

上

【解题思路】根据平行得角相等，即可得证相似.

【解答过程】证明：•・•四边形。BFE是平行四边形，

：.DE//BC,EF//AB,

：・/CEF=NA,ZAED=ZC，

：,^ADE^AEFC.

【变式1・1】（2021•越秀区校级二模）如图，在△力8中，点C、。在A8上，PC=PD=CD,NA=NBPD,

求证：AAPCsMBD.

【解题思路】根据等腰三角形的性质得出/PCO=NPQC,根据三角形的外角性质得出N4+/APC=N

PCD,NB+NBPD=NPDC,求出NB=N4PC,再根据相似三角形的判定推出即可.

【解答过程】证明：・・・尸。=。。，

:・/PCD=NPDC,

*/ZA+ZAPC=/PCD,ZB+ZBPD=ZPDC,

又•:ZA=ZBPD,

：.ZB=ZAPC,

・•・△APCs△尸BO.

【变式1-2］（2020秋•宁德期末）如图，在矩形ABC。中，点E是边上的点，ACIDE,垂足为F.求

证：△ABCs△石s

【解题思路】利用“两角法”证得结论.

【解答过程】证明：•・•四边形ABC。是矩形,

・・・NB=N3CQ=90°.

AZACB+ZACD=90°.

又•・・AC_LO£,

.,.ZCDE+ZACD=90°.

4ACB=/CDE.

・•・△ABCS/XECO.

【变式1・3】(2020秋•淮安期末)如图，在矩形A8C。中，E为AD上一点,£7LL£C交AB于R连接“

求证：AAEFsN)CE.

【解题思路】用/产£C=9()°,可得到△?!£/；和△OC£一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似.

【解答过程】证明：•・•/五EC=90°,

AZAEF+ZDEC=90a,

•・•四边形A8CO是矩形，

/.ZA=Z£>=90°,

•.•/A+N'AfE+NAE尸=180°,

AZAFE+ZAEF=90°,

:・NDEC=ZAFE,

又•・•ZA=ZD,

XAEFsMDCE.

【题型2相似三角形的判定（判定定理2）］

【例2】根据下列条件，判断△ABC与aA'B'C是否相似，并说明理由

（1）AB=12,8c=15,AC=24,A'B'=25,B'C=40,C'Af=20

（2）A8=3,8c=4,AC=5,A'B'=12,B'C=16,C'A'=20

【解题思路】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论.

（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论.

••AB123BC153AC243

【解答过程】解•：（1）•二f-9——，

ClAi205AfBf255BrO405

:.XbBCsXNB'Cf

AB31BC41AC51

(2).——-----一，-----—

A®124B，。164AiCi204

:.ABCsMNB'C

【变式2-1］（2020秋•南召县期中）如图，在△ABC和△4'B'C中，。、D'分别是A8、A'"上一

ADArDrCDACAB

点，当丁时，判断△与是否相似，并说明理由.

7AB7-A，B，KCfDTf=ArC7f=ArBrABCAA'B'C

［解题思路】根据相似三角形的判定解答即可.

【解答过程】解：相似，理由如卜•：

••ADAiDr

•AB~AfBf'

ADAB

•♦=9

ArDrArBi

CDACAB

又..._____.____=____,

*C，D，AICIArB^

*CDACAD

C，D，-AtCr~A，。，'

：.4AOCs［\ND'C'，

AZA=ZA>,

ACAB

又m----=-----,

•ArCfArBf'

・••△ABCs/vVB'C.

【变式2-2］（202（）秋•肥东县月考）如图，在矩形A8石尸中，四边形A/3C"、四边形CQGH和四边形QER7

都是正方形，图中的△ACQ与相似吗？请说明理由.

【解题思路】设小正方形的边长为1,分别求得两个三角形各边的长，再根据各边是否对应成比例来判

定两三角形是否相似.

【解答过程】解：结论：相似.

理由：设正方形的边长为1,则AC=&,CD=1,AD=V5,EC=2,EA=V10,

.匹CDAD\［2

'EC~CA~EA~2

:.AACD^AECA.

【变式2-3］如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△。灯的顶点都在格点上，为、P?、

P3、P4、P5是△。七尸边上的5个格点，请按要求完成下列各即：

（1）试证明△ABC为直角三角形；

（2）判断△ABC和△。石尸是否相似，并说明理由；

（3）直接写出一个与△A8C相似的三角形，使它的三个顶点为P1、尸2、03、04、P5中的三个格点.

【解题思路】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断即可；

（2）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可；

（3）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可.

【解答过程】（1）证明:由勾股定理得:AB2=22+42=20,AC2=22+12=5,BC2=32+42=25,

即AB2+AC2=BC2,

所以AA8c是直角三角形；

（2）解：相似，

理由是：由勾股定理得：DF=是22+22=2&,DE=V42+42=472,EF=V224-62=2710,

由（1）知：AB=2VS,AC=V5,BC=5,

〜DFDEEF2同

所以一=—

ACABBC5

所以8c和相似;

（3）解：和△ABC相似的三角形是2P4P5,

2222

理由是：•・•由勾股定理得：P5P2=V1+3=V10,P2P4=V1+I=V2,P4P5=2近,

又,・泡8=2归AC=V§,BC=5,

ACABBC

••京=*=荻'

△ABCs△尸4P5P2.

【题型3相似三角形的判定（判定定理3）］

【例3】（2020秋•浦东新区校级月考）如图，点。，E分别在线段AB和AC上，BE与C。相交于点O,

AD*AB=AE*AC,DF//AC,求证：△OO产口△。。^.

【解题思路】根据相似三角形的判定得出4A酩与△ACZ）相似，利用相似三角形的性质得出N8=NC

再利用平行线的性质和相似三用形的判定解答即可.

【解答过程】证明：・・・AD・4B=AE・AC,

*ADAC

••=9

AEAB

•；N4=NA,

XABEsZACD,

：.ZI3=ZC,

'：DF//AC,

:,/C=/ODF,

・・・N8=NOQF,

,?NDOF=NBOD,

:ADOFs/\DOB

【变式3-1]（2021春•肇州县期末）如图，点UC分别在△4QE的边A。，AE上,且AC=3,43=2.5,

EC=2,08=3.5.求证：XABSXAED.

【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可.

【解答过程】证明：：AC=3,43=2.5,EC=2,DB=3.5.

,\AE=5,AD=6,

AC31AB2.51

•••----9----f

AD62AE52

ACAB

••~-9

ADAE

NA=NA,

^ABC^/\AED.

【变式3-2］（2021春•朝阳区校级期末）如图所示，在四边形A8C。中，C4是N8CZ）的角平分线，且4C2

【解题思路】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可.

【解答过程】证明：・・・AC平分NBC。，

/./ACB=ZACD,

VAC2=CD-BC,

•A_CBC

•♦=9

CDAC

・•・/XABC^ADAC.

【变式3-3]（2（）2（）秋•蜀山区校级期中）如图，在△A8C中，点。、七分别在48、AC上，。£、5c的延

长线相交于点?，且EF・DF=CF・BF.求证：XCABsXDAE.

【解题思路】根据相似二角形的判定得出得出进而证明△CA"S/VA上

即可.

【解答过程】证明：0・OF=b・8F.

•E_F__C_F

••BF一请

•：4EFC=/BFD,

：AEFCs/\BFD,

：,/CEF=/B,

・・・NB=NAEO,

•••/G4B=NOAE,

【题型4相似三角形的判定（多结论问题）】

【例4】（（2021•阿勒泰地区一模）加图，G,E分别是正方形4NC。的边A&AC上的点，且人G=CE

AELEF,AE=EF,现有如下结论：①8E=O"：②△AGEtZXECF；③NFCD=45°；®AGBE^AECH.其

中，正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解题思路】由N4EG=45°知N8£A>45°,结合NAEF=9（T得NHECV45。，据此知“CVEC,即

可判断①；求出NGA£+NAEG=45°,推出NG4E=NFEC，根据S4S推出△G4E0△（?£：「，即可判断

②；求出N4GE=NECF=135°,即可判断③;求出N产ECV45°,根据相似三角形的判定得出△GBE

和△EC”不相似，即可判断④.

【解答过程】解：•・•四边形人8C。是正方形,

:・AB=BC=CD,

*：AG=CE,

：.BG=BE,

・・・N8EG=45°,

：.ZBEA>45°,

VZ4EF=90°,

AZHEC<45°,

则HC<EC,

:,CD-CH>BC-CE,即DH>BE,故①错误；

•:BG=BE,N8=90°,

：.ZDGE=ZBEG=45Q,

・・・NAGE=135°,

：.ZGAE+ZAEG=45°,

V4E1EF,

AZAEF=90°，

♦：NBEG=45°,

:.NAEG+NFEC=45°,

：.ZGAE=ZFEC,

在△GAE和△口?尸中，

AG=CE

乙GAE=LCEF

AE=EF

•••△GAEg/XCE尸（SAS）,・••②正确；

AZAGE=ZECF=\35Q，

AZFCD=135°-90°=45°,二③正确；

•：NBGE=NBEG=45°，ZAEG+ZFEC=450，

AZF£C<450,

•••△G8£和不相似，・••④错误：

故选：C.

【变式4-1］（2020春•淄川区期末）如图，在正方形A8CQ中，E为CO的中点，P为BC边上一点、,在下

列条件中：

①NAPB=NEPC：②AB・PC=EC・BP；③尸为的中点；④PB：BC=2：3.其中能得到△人8。与4

ECP相似的是（）

A.①②@@B.①©④C.①②④D.@®

【解题思路】根据正方形的性质求出NB=NC=90°,AB=BC=CD,再逐个判断即可.

【解答过程】解：•••四边形46C。是正方形，

r.Zfi=zc=90°,

/APB=ZEPC,

和△ECP相似，故①正确；

VAB*PC=EC・BP,

ABBP

•••_^_，

ECCP

•・・NB=NC,

•••△AB尸S/\ECP,故②正确，

•IP为8c的中点，E为。。的中点，

11

ABP=CP=^BC,CE=^CD,

•・•四边形ABC。是正方形，

:・AB=BC=CD,

:.BP=CP=CE,

•A_B_2PC

»•——=2,—=1,

BP1CE

ABPC

却--*—»

BPCE

即△48尸和不相似，故③错误;

设P8=2r,BC=3x,

则PC=3x-2x=x,48=BC=3x,CE=^BC=会,

•A_B3x3PCx2

••—9~~Q—,

BP2x2CE-x3

2

ABCE

即=—,

BPPC

ABBP

•*•=,

CEPC

VZfi=ZC=90°,

即△A8P和△ECP相似，故④正确；

所以正确的为①@

【变式4-2]（2020秋•南召县期中）如图，在△人BC中，DE//BC,AD：DB=\：2,DE=2,则下列叙述

正确的是（）

①8C=4；=%③必匹=-；④

EC2SAABC4

A.①®B.①②③C.①②④D.®®

【解题思路】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可.

【解答过程】解：YDE〃BC,

・•・/XADEsXABC,

.ADDEAE1S-DE/DE、1

•・布/=就=9厚=（小=3'

AE1

•••_,

EC2

VDE=2,

・"C=6,

J②④正确,

故选：D.

【变式4-3]（2020秋•天心区期中）如图，在△ABC中，点E分别在边48、AC上，下列条件中能判

新的是（）

①NAED=N&②NAOINC③禁=祭唠二祭

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【解题思路】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.

【解答过程】解：・・・乙4二乙4,

；・/AED=ZB或NAOE=ZCH寸，^ABC^/\AED.

ttADAC

,'AE~AB"

.ADAE

''~AC=~AB

,:NA=NA,

・•・XABCsXAED,

故①②③可以判断三角形相似，

故选：B.

【题型5相似三角形的判定（网格问题）】

【例5】（2021春•芝呆区期末）如图，小正方形的边长均为I,则4、B、C、。四个选项中的三角形（阴

影部分）与△A4C相似的是（）

BC

A.[^0B,OHBC,D.

【解题思路】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案.

【解答过程】解：已知给出的三角形的各边分别为企、2、同、

只有选项A的各边为1、鱼、而与它的各边对应成比例.

故选：A.

【变式5-1］（2021•龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

【解题思路】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可.

【解答过程】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：病，

第二个三角形的三边的三边之比为：V2：V5：V5,

第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：百，

第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：企，

只有第一和第三个三角形的三边成比例，

所以只有第一和第三个三角形相似，

故选：A.

【变式5・2】（2020秋•鹿邑县期末）如图，A、8、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方

形的顶点），要使aOE广与△ABC相似，则点尸应是G、“、M、N中的（）

A.H或NB.G或〃C.M或ND.G或M

【解题思路】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答.

【解答过程】解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、d、同，只能尸是M或N时,

其各边是6、2713,2710.与△A8C各边对应成比例，

故选：C.

【变式5-3]（2020秋•成华区期末）如图，在6X6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1,已知

RtZL48C是网格中的格点三角形，则该网格中与RtZ\A8C相似且面积最大的格点三角形的面积是

符合条件的格点三角形共有16个.

【解题思路】根据的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2,在6X6的网格图

形中可得出与RtZ\A8C相似的三角形的短直角边长应小于4,在图中尝试可画出符合题意的最大三角形,

进而解答即可.

【解答过程】解：在RIA48C中，AC=\,BC=2,

：,AB=V5,AC：BC=\z2,

・••与RtZ\A4C相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2,

D

若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X6网格图形中，最长线段为672，但此时画出

的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4,

在图中尝试，可画出EF=2同,。尸=5企的三角形，

„^O_27W_5V2_Z7T

-1-2-V5-V10,

；・^ABC^/XDFE,

:./DEF=/C=90°,

・•・此时△QEF的面积为：710x27104-2=10,尸为面积最大的三角形，

RtZ\A8C的三边为1：2：遥的直角三角形，

•・•相似,直角边为1：2,

，直角边最长应为与如图中4个，

每旋转90°又有4个，

・••共4X4=16（个）.

故答案为：10；16.

【题型6相似三角形的判定（动点问题）】

【例6】（2021春•龙口市期末）如图，在RtZVlBC中，NC=90°,AC=\（）cfn,BC=Scm.点例从点C

出发，以2cmis的速度沿C4向点A匀速运动，点N从点8出发，以lends的速度沿BC向点C匀速运

动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动.

（1）经过几秒后，的面积等于△ABC面积的5？

（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？

2

【解题思路】（1）设经过4秒，△MCN的面积等于AABC面积的3根据三角形的面积和已知列出方程,

求出方程的解即可；

（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出/即可.

【解答过程】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的|.

1、12

-x2x（8-x）=4X8XJOX

225

解得X1=X2=4.

2

答：经过4秒后，△MCN的面积等于△A8C面积的m

（2）设经过f秒，△A/CV与AA8C相似.

vzc=zc,

・•・可分为两种情况:

解得i=~

解得/=当

答：经过一或一;秒，△MCN与△A8C相似.

713

【变式6-1]（2021春•濮阳期末）在△A4C中，AB=6cm,AC=9cm,动点。从点6开始沿ZM边运动，

速度为1c〃心；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s.如果。，E两动点同时运动，那么当它

们运动_|资产_$时，由Q.4.E三点连成的三角形与△AR2相似.

//

【解题思路】分两种情形①当而二就时，②当”=布时.分别构建方程求解即可.

【解答过程】解：根据题意得：AE=2/,BD=1,

AAD=6-t,

•・•NA=/A,

・•・分两种情况:

,AEAD,

①当一=—时,

ABAC

即段=~9~,解得:3

Z=2;

_,AEAD

②当就"方时’

2t6-t18

即w=解得:l=

a18

综上所述：当/=3或一时，△AQE与△A3C相似.

/7

【变式6-2]（2020秋•渭滨区期末）如图所示,在平行四边形OBCZ）中,/A=90°,AB=6cm,BC=\2cm,

点E由点4出发沿44方向向点B匀速移动，速度为15心，点尸由点3出发沿5c方向向点C匀速移

动，速度为25心，如果动点£,尸同时从A,3两点出发，连接“，若设运动时间为自解答下列问题:

（1）当，为多少时，△8EF为等腰直角三角形；

（2）是否存在某一时刻，，使△EFBS^FDC?若存在，求出J的值：若不存在，请说明理由.

【解题思路】（1）由已知条件易证四边形/18C。是矩形，所以N4=NB=NC=90°,若48石尸为等腰

直角三角形，则4£=3凡进而可求出/的值；

（2）若△EF8s△五℃,则BE：CF=BF：DC,结合题目的已知条件可得到关于/的方程，解方程即可

得知是否存在，的值.

【解答过程】解•：（1）•••四边形A8CQ是平行四边形，NA=90°,

・•・四边形ABC。为矩形，

・・・N8=90°.

当所为等腰直角三角形时,只能是BE=5凡AE=t,BE=AB-AE=6-t,BF=2t,

：.2t=6-t.

解得：1=2.

・••当1=2时，△8EF为等腰直角三角形.

（2）存在，理由如下:

,:△EFBs^FDC,

:.BF：DC=BE：CF.

，：BE=6-t,BF=2t,CF=\2-2t,

•6T_2t

"12-2t.6,

解得：或，=6.

又・・・/=6时，3与E重合，所以不符合题意，舍去，

综上所述，当时，

乙XEFBSXFDC.

D

【变式6-3]（2020秋•舒城县期末）如图，在AABC中，ZC=90°,AC=6anfBC=8cm,点P从点、A

出发沿边AC向点C以\cmls的速度移动，点。从点C出发沿CB边向点B以2cMs的速度移动，当其

中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.

（1）如果点P，。同时出发，经过几秒钟时aPCQ的面积为8。/?

（2）如果点P,Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△A3C相似？

【解题思路】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm,PC=（6-x）cm,CQ=2xcnu依据△PCQ

的面积为8,由此等量关系列出方程求出符合题意的值.

（2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可.

[解答过程】解：（1）设心后，可使△PC。的面积为8cm2.

由题意得，AP=xcm,PC=（6-x）cm,CQ=2xan,

M-（6-x）・2x=8,

2

整理得』-6x+8=0,

解得xi=2,X2=4.

所以P、。同时出发，2s或4s后可使△PC。的面积为8C/”2.

（2）设f秒后以P、C、。为顶点的三角形与△ABC相似，则PC=（6-f）cm,CQ=2tcm.

,.PCQC6-t2t

当△PCQS/^ACB时，—=—,n即一=—,

ACBC68

解得：仁竽.

PCQC6-t2t

当△PCQs/\BCA时，一=—,即一=一,

BCAC86

解得：U普.

综上所述，经过W秒或行秒时，以P、C、。为顶点的三角形与△ABC相似.

OJLJL

专题6.4相似三角形的性质.重难点题型

【苏科版】

E：

♦

【知识点1相似三角形的性质】

①相似三角形的对应角相等.

如图，△A3CS/\A*C',则有

Z4=ZA\NB=NB',ZC=ZC\

②相似三角形的对应边成比例.

如图，则有

ABBCAC，/，心」八一、

——-=^（k为相似比）.

SB'B'CAC

③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角

的平分线成比例，都等于相似比.

如图，4ABCs,AM.A"和4。是

△ABC中8c边上的中线、高线和角平分线，

A'M\AH'和4。是△AbC中9C边上的中

线、高线和角平分线，则有

ABBCAC卜AMAHAA

AfBf~BC-A!C~~4"-AH，-A。zlA

④相似三角形周长的比等于相似比.

如图，△ABCSZ^VEC，，则有iHcs*H*C*

ABBCACAB+BC+AC,

A!B'~81cLSC'~AB1+BV+AC~

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.

如图，△/13cs△4ZC',则有

S-BCAH小小

S&AWC1.B'C-A'H1"UATT

2

【题型1相似三角形的性质（对应角相等问题）】

【例I】（2020秋•岳阳期末）如图，4E与9相交于点C,已知AC=5,BC=3,EC=10,DC=6.求证:

AB//DE.

ABAC

【变式皿】（2。2。秋•德江县期末）如图‘NUN2,-=求证：NCS

【变式1-2]（2020秋•遂川县期末）如图，在等腰直角△/1BC中，4C=8C,。为平面上一动点，在运动

过程上保持AO_L8O于点。，将△BCO沿翻折得到△8ED,在直线AO上取点作Cr〃。£

DGBG

⑴如图I,若3与相交于点G,-=-

（2）猜想△CQ/的形状，并说明理由.

【变式1-3]（2020秋•中方县期末）在锐角△ABC中，点E分别在AC、AB±，AG_LBC与点G,AF

J_OE于F,NEAF=/GAC.

(1)求证：△AEFS^ACG.

求证：NADE=/B.

4/7

(3)若A/)=3,AB=5,求—.

AG

D

B

G

【题型2相似三角形的性质（定应边成比例问题）】

【例2】（（2020秋•崇左期末）如图，在矩形A5C。中，£是BC的中点，连接AE,过点E作交

DC于点?若A8=4,BC=6,则OF的长为（）